(Be-Nb)模型下的二行动线性决策的抽样信息期望值

2011-10-24王燕飞

统计与决策 2011年4期

关键词：决策问题二项分布期望值

王燕飞

（吉林化工学院理学院，吉林 132022）

(Be-Nb)模型下的二行动线性决策的抽样信息期望值

王燕飞

（吉林化工学院理学院，吉林 132022）

二行动线性决策问题是一类比较普遍的决策问题。文章讨论了两类贝塔分布共轭于负二项分布的决策模型下的二行动线性决策问题的抽样信息期望值的计算定理。

（Be-Nb）模型；二行动线性决策；抽样信息期望值；完全信息

0 引言

在企业经营过程中，做出有利于提高经济效益的决策对于企业的发展是至关重要的，甚至关及生死存亡。二行动线性决策问题是最为常见的决策问题。对于决策者来说，通过抽样等手段，可以获得信息以接近完全信息，从而选取最优决策，获得最大利益。但抽样耗时、费力，那么我们有必要推断抽样的价值，即抽样信息期望值（EVSI）。就此问题，文献[1][2]研究了正态分布共轭于正态分布决策模型下的。文献[3]讨论了分布共轭于普哇松分布模型下的。文献[4]给出了倒分布共轭于指数分布模型下的EVSI。文献[5]得出了倒分布共轭于分布模型下的。文献[6]得出了贝塔分布共轭于几何分布模型下的。负二项分布又名帕斯卡（Pascal）分布，应用广泛。比如医学中的聚集性疾病，保险精算中的非同质性人群的索赔次数，可靠性分析中的导弹飞行试验数量等，均服从负二项分布，具有一定的研究价值。事实上，几何分布是负二项分布的特例。本文介绍了对于文献[6]中更一般的情况，研究了在二行动线性决策问题中，两类贝塔分布共轭于负二项分布的决策模型（即(Be-Nb)模型Ⅰ和(Be-Nb)模型Ⅱ）下的的计算定理。

1 二行动线性决策模型

二行动线性决策模型，即行动a只有二个：a1，a2；状态θ可以是离散或者连续的；收益函数对每个行动都是状态参数的线性函数。即收益函数

不妨设 m1>m2，b10。若 m1

利用收益函数分别计算a1,a2的先验期望收益值，由平衡点(2)，得：

E1-E2=(m1-m2)(Eθ-θ0),根据先验期望准则，由 m1>m2，有：

(1)当 Eθ≤θ0时，a2为最优行动；(2)当 Eθ>θ0时，a1为最优行动。 (3)

由公式，ai的损失函数 L(θ,ai)=maxQ(θ，a)-Q（θ，ai）及(2)，有：

2 （Be-N b）模型下的EVSI的理论分析

2.1 抽样信息期望值（EVSI）

抽样信息期望值为先验与后验期望值的差。

其中，a'为先验期望准则下的最优行动，δ'（x）为后验期望准则下的最优决策函数。L为损失函数，由此可见，EVSI是在抽样前后使用最优行动(或最优决策函数)而使决策者蒙受期望损失的减少量或者由于抽样给决策者带来的增益。即抽样带给决策者的价值。

2.2 (Be-Nb)模型

负二项分布有两种形式：设伯努力试验中，θ为每次试验成功的概率。

(Ⅰ)X 为恰好成功 r次时的试验总数，则 P(X=x|θ)＝θr(1-θ)x-r，(x=r,r+1，…)；

(Ⅱ)X 为 r次成功前失败的次数，则 P(X=x|θ)＝θr(1-θ)x，(x=0，1，2，…)。

我们将其分别记为 Nb(r,θ)Ⅰ型和 Nb(r,θ)Ⅱ型。相应的决策模型记为(Be-Nb)模型Ⅰ和(Be-Nb)模型Ⅱ。下面我们只讨论第一种形式，对于第二种形式同理可得。

(Be-Nb)模型Ⅰ：设总体X服从负二项分布Nb(r,θ)Ⅰ型，即 P(X=x|θ)＝θr(1-θ)x-r，(x=r,r+1，…)。 θ 的共轭先验分布为Be(α，β)。

2.2 (Be-Nb)模型Ⅰ下的先验 EVPI=EθL(θ，a')，其中 a'为先验期望准则下的最优行动

2.3（Be-Nb）模型Ⅰ下的后验EVPI期望值

(1)最优决策函数δ'(x)

利用收益函数（1）分别计算a1,a2的后验期望收益值，及式(2)，有：-=(m1-m2)(E(θ|t)-θ0)。根据后验期望准则，由m1>m2，得：(1)当 E(θ|t)≤θ0时，a2为最优行动；(2)当 E(θ|t)>θ0时，a为最优行动。E(θ|x)==θ0时，a1与 a2等效。故取x0=-α-β，其作用等同于平衡点。

(2)后验 EVPI＝E(θ|x)L(θ,δ'(x))。求法同先验 EVPI，得: