李培梁，单 锐

（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）

ARMA模型的频谱分析检验法

李培梁，单 锐

（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）

文章将窗谱估计的技术应用于时间序列模型的检验，以解决模型构建的正确性和参数估计的准确性。通过实例验证比较的方法进行研究，对同一时间序列模型分别利用混合的拟合不足检验与本文所提的频谱分析模型检验法对其进行检验，结果显示，即使模型在5%的置信水平下通过了Q统计量检验，但模型的设定仍然有可能存在错误，无法通过频谱分析模型检验。表明频谱分析模型检验法相对于时间序列模型构建中广泛使用的Q统计量检验法，在时间序列模型设定的正确性检验方面具有更强的模型检验能力。

时间序列；谱估计；ARMA模型；模型检验

0 引言

时间序列模型的建立是一个反复的过程，每次反复都需要模型检验对模型设定的正确性和模型中参数估计的准确性进行检验。时间序列模型检验最常用的方法是残差分析法，它用来检验由拟合模型所得残差的行为是否像白噪声过程。残差分析法有许多可用的检验方法，如：Fisher检验，广义似然比检验，自适应Neyman检验，χ2检验，和Q统计量检验等，其中Q统计量检验最被推崇使用。它最初是由Box和Pierce(1970)提出的，尽管残差分析法具有很强的模型检验能力，但它存在两方面的局限性，一是，残差分析法用于检验过度拟合的功效通常不高。二是，计算量非常大有时还需要计算非参数检验统计量。

本文的主要目的是将频谱分析引入到时间序列ARMA模型的正确性设定的检验研究中。

1 基于频谱分析的ARM A模型检验方法

用频谱分析法对时间序列ARMA模型进行检验就是比较实际样本的谱密度与ARMA模型生成的谱密度的一致性，所以用频谱分析法验证模型首先得估计时间序列样本的功率谱和模型生成的功率谱，然后根据两者功率谱的异同来判断模型设定是否正确。

1.1 样本谱估计

设Zt是实值平稳过程，其自协方差函数rk为绝对可和，则时间序列Zt的谱为

其中-π≤ω≤π。

实际中往往不可能给出全部Zt序列，那么我们可以用样本自协方差r赞k代替理论上的方差rk以估计f(ω)。然后对于一个给定的n样本时间序列，我们只能计算r赞k其中k=0,1,2,…,(n-1)，因此，估计 f(ω)只能用

所以我们可由(2)式得到样本谱(1)式的估计。

1.2 ARMA模型的谱估计

对于给定的时间序列Z1,Z2,…,Zn，为了近似未知的基本过程，我们可以用一个ARMA(p,q)模型去近似未知过程，其中ARMA(p,q)模型如下：

其中 E(Zt)=μ,准p(B)=(1-准1B-…-准pBp)和 θq(B)=(1-θ1B-…-θqBq)，B 为向后推移算子，即 BpZt=Zt-p，Bqat=at-q。 ARMA(p,q)模型的自协方差生成函数为：

其中σa2为at的方差。平稳ARMA(p,q)模型的谱为

则ARMA(p,q)模型的谱可以用下式估计

③推荐肠内营养，包括高碳水化合物、低脂、适量蛋白饮食。肝性脑病患者详见“肝性脑病”部分。进食不足者，每日静脉补给热量、液体、维生素及微量元素（Ⅲ），推荐夜间加餐补充能量。

1.3 模型检验

基于谱密度函数的ARMA模型的检验基于这样的设想，即如果两个随机过程具有相同的概率分布，那么他们具有相同的频谱特性，即ARMA模型对数据拟合良好，模型有效。他最早用于导弹仿真系统的模型检验。

设 fx与 fy(赞)分别表示样本功率谱密度估计与 ARMA模型功率谱密度估计。根据如果ARMA模型对数据拟合较好，则两者必然有相同的频谱特性，模型设定正确与否通过如下假设进行检验，

H0fx(ω)=fy(ω)

H1fx(ω)≠fy(ω)

由窗谱估计的性质有

其中v称为平滑谱的等价自由度。我们令fx(ω)与fy(ω)的谱商函数为Q=，其估计值为，则由(4)式知xy

若零假设成立(5)式可以简化为

按照(7)式对每一个频点ω进行检验，若每个频点对(7)式成立则，可以认为在显著水平a，时间序列模型建立是成功的，即模型通过验证。

2 实例验证

通过实例验证研究来表明频谱分析模型验证法在时间序列模型设定的正确性检验方面有着重要的作用。首先采用Q统计量对ARMA模型检验，然后使用频谱分析方法进行验证。结果显示频谱分析法具有更强的模型验证能力。

我们对1857——1911年间加拿大Hudson’s Bay湾公司出售山猫皮的年度数据进行ARMA模型建模。ARMA模型结构如(3)式所示。

运用AIC模型信息准则对ARMA模型进行定阶。得到 p=2,q=1，ARMA(2,1)

模型结构如下：

准2(B)Zt=θ1(B)at

其 中 准2(B)=(1-准1B-准2B2)和 θ1(B)=(1-θ1B)

运用极大似然函数估计法对模型中参数进行估计，得到模型如下式：

(1-1.55B+0.94B2)=(1-0.59B)at

可见式中参数显著不为0。利用Q统计量对ARMA(2,1)模型进行验证，结果如表1。由表1可知Q统计量都显著，说明模型ARMA(2,1)拟合良好。

表1 对出售山猫皮的年度数据序列拟合ARMA（2,1）模型的残差自相关系数检验

进一步使用频谱分析法对该模型进行验证。由前面所提到的样本谱与ARMA模型谱估计原理，分别估计得到样本谱密度函数fx(ω)与ARMA模型谱密度函数fy(ω)。

由频谱分析法知，在α=0.05的置信水平下所考察的频带内置信上限和下限没有全部包含“1”，如图1所示。

图1 α=0.05时的联合置信曲线

因此ARMA(2,1)模型尽管通过了Q统计量的检验，但该模型未能通过频谱分析验证，模型设定的正确性被否定。可见频谱分析法可以揭示残差分析检验法无法揭示的内容。从而说明频谱分析法是一种精确有效的模型验证工具。

3 结论

本文在样本谱估计与ARMA模型谱估计的基础上提出一种新的模型验证方法。并通过实例验证表明，频谱分析法相对于时间序列模型检验中广泛使用的残差分析检验法，在检验模型正确性方面具有更强的检验能力。从而说明频谱分析法的提出对时间序列模型的验证有着重大意义。

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O21

A

1002－6487（2011）04－0155-02

李培梁（1983-），男，山西汾阳人，硕士研究生，研究方向：谱分析在时间序列中的应用。

（责任编辑/易永生）