许文坤，陈云霞，杜 倩，张卫国

（华南理工大学 工商管理学院，广州 510640）

基于拟蒙特卡罗方法的可转债VaR和ES风险度量

许文坤，陈云霞，杜 倩，张卫国

（华南理工大学 工商管理学院，广州 510640）

文章通过使用随机Faure序列和方差减小技术并结合Moro算法，提出了基于Faure序列和Moro算法的拟蒙特卡罗（FMQMC）方法。基于该方法，给出了中国可转债的风险值VaR和ES的度量模型。最后，选取了燕京可转债进行了实证分析，从可转债的VaR和ES估计值、方差以及计算效率几个方面将该方法与普通蒙特卡罗方法(PMC)进行了比较，结果显示FMQMC方法在计算燕京可转债的风险值VaR和ES时不仅方差更小，计算效率更高，而且其估计值也更加接近实际损失。

可转债风险度量；VaR；ES；拟蒙特卡罗；Faure序列；Moro算法

0 引言

可转换债券是一种兼具债权性和期权性的混合型金融产品，由于具有筹资和避险的双重功能，已经成为我国资本市场中一种重要的衍生金融工具。目前国内对可转债的风险度量方面的研究还很少，从而对它的风险的准确度量具有很强的学术价值和重要现实意义。近年来应用比较广泛的风险度量方法是VaR和ES，本文综合考虑了这两种方法，并将其应用于可转债风险度量中。

本文使用随机化的Faure序列并结合Moro算法，对可转债价格的波动进行模拟，并在此基础上给出可转债的风险值VaR和ES计算模型，接着提出了求解风险度量模型的算法步骤，最后结合实证研究，就可转债的风险值VaR和ES估计值、方差以及计算效率几个方面与普通蒙特卡罗（PMC）方法进行了比较研究。

1 可转债的价值构成及其市场风险分析

可转债融合了股票、债券和期权的特点，因此可转债价值可以看作普通债券价值B和隐含期权价值C的总和，表示为CB。

设可转债到期日期为T，可转债价格变动单位日期为一天，初始时刻为t=0，纯债券部分的年利息为I，年限为n，面值为P，无风险利率为r，市场利率为i，标的股票价格为S，T-t为到期期限，σ为股票价格的波动率，X为规定的执行价格。

则普通债券价值为：

期权部分的价值一般根据Black-Scholes公式计算，表示为：

其中

根据公式(1)可以知道可转债纯债券部分价值主要受市场利率、发行面值、年利息以及发行年限的影响，由于在可转债发行后，除市场利率外，其余参数都是确定的，加上中国的利率市场还没有完全放开，故短期内纯债券部分的价值将可以看作是保持不变的，因此可转债的市场风险主要表现在隐含期权的部分。期权部分的价值受诸多因素的影响，但在极短时期内，其价值波动主要受可转债标的股票S的影响。因此可以通过考虑标的股票S的未来价格波动，达到计算可转债市场风险的目的。

根据期权的价格变动与股票变动的关系，以及对可转债市场风险的假设，我们得到可转债价值变动与其标的股票变动的关系，如下公式：

其中，

则

代入δ，Γ值就可以得到相应的△CB=dCB。

2 可转债的风险值VaR和ES

2.1 可转债价格波动过程

这里，我们假设可转债的标的股票S的价格服从几何布朗运动，也就是满足：

那么可以得到股票价格为

结合公式(3)，我们可以得到可转债的价格波动△CB表示为：

其中，d1，Γ的定义如第一节所述。

2.2 拟蒙特卡罗方法

蒙特卡罗方法作为一种非常有效的数值方法，被广泛地应用于高维积分等领域，然而该方法产生的是伪随机数，具有聚集性的特点，而且收敛速度慢。因此本文在计算可转债风险值VaR和ES的估计值时，考虑使用随机化的低差异Faure序列来代替伪随机序列，相应的方法称为拟蒙特卡罗方法。由公式(7)和(8)，模拟可转债价格波动路径△CB就如同模拟随机变量ε，通过使用FMQMC方法来构造随机变量ε，进而得到模拟的可转债价格波动路径。

FMQMC方法中的Faure序列描述如下：

设s为自然数，b是一个素数，令集合Zb={0,1,…,b-1}，则一个s-维Faure序列Fk={x1,x2,…,xs}可通过以下原理构造。

记 k*=(k0,k1,…,km-2,km-1)'，设 C1,C2,…,Cs是 m×k 阶矩阵，其中C1为m阶单位矩阵，

矩阵C3在Faure序列的构造过程中起到非常重要的作用，黄仿伦证明了C3是m阶Pascal矩阵的Cholesky分解，本文利用该结论对Faure序列进行了快速的构造。

在估计可转债风险值VaR和ES时，需要用到公式(7)中提到的标准正态分布随机数ε，而Faure序列构造的是[0,1)均匀分布，因此使用Faure序列在产生随机数之前必须对其进行转换，使其满足标准正态分布。

本文运用Moro逆变换算法，把[0,1)均匀分布转换为累积标准正态分布。该算法将累积标准正态分布的Y轴分为两部分进行处理，一为中央部分，即0.08≤u≤0.92，采用Beasley&Springer法；另一为尾端部分，即u<0.08和u>0.92，使用Chebyschev序列。

对中央部分，采用下式进行估计，其中y=u-0.5，且把an，bn的值列于表1。

对尾端部分，则以截断的Chebyschev数列来计算，其中z=k1[2ln(-ln[0.5-|y|])-k2]，而 cn,k1,k2的值列于表 1。

对于截断的切比雪夫数列，通过下面的Clenshaw递推公式可以得到一个有效的估计。令，则C(z)可由下面递推公式获得：

表1 Moro算法的系数表

表2 燕京可转债关键参数

Moro算法中只涉及几个常数，在Matlab中只需要几行代码就能完成，实现起来非常简单。

由于对于给定的k和基底b，得到的Faure序列是固定的，因此必须对其进行随机化处理，从而构造出低差异随机序列。首先使用对偶变数法达到减小模拟方差的目的，即对Faure 序列 F1取负，得到新的序列 F2=[F1，-F1]。

再对F2使用Cranley-Patterson变换：

再取Fij3的小数部分，就得到了服从标准正态分布的随机 Faure 序列 F={fij}∈(-1,1)s。

因为针对不同部分，Moro算法使用了不同的算法，故该算法对从均匀分布到累积标准正态分布函数的变换方面具有相当高的准确度。由于尾端分布对可转债风险值的度量具有相当大的影响，因此运用Moro算法进行可转债的风险度量更加合适。

2.3 可转债的VaR和ES定义

VaR(Value-at-Risk)是在一个风险范畴中的一个机构的头寸在一个给定持有期间内，由于一般的市场运动而降低，带来损失的统一估计。从金融机构的角度，VaR可以定义为金融头寸在一个给定时间段上，以一个给定的概率发生的最大损失。

ES(Expected Shortfall)模型是VaR基础上的改进模型，它是广义的一致性风险度量模型。在给定置信水平为α的情况下，对于具有离散型损益分布的可转债，其ES模型有如下形式：

设 n 为样本容量，w=int(n(1-α))，{L1,L2,…,Lw}是将可转债损益序列从小到大的顺序排序得出的序列中最小的w个损益。则ES的数学表达式为：

可转债的VaR和ES可以通过以下方式进行计算。首先，结合公式(3)、公式(7)以及公式(8)，使用FMQMC方法模拟出该转债的价格波动路径，得到波动序列 {△CB1,△CB2,…,△CBn}；然后，对该转债价格的波动序列进行排序；最后，在给定置信水平a的的情况下，第(1-a)n个波动值即为VaR的估计值，而前(1-a)n个波动值的期望水平即为ES的估计值。

3 算法设计

设当前时刻为t=0，考虑可转换债券下一交易日的风险，使用FMQMC方法，对可转债标的股价路径进行模拟，进而求出可转债在下一交易日的VaR和ES估计值，算法步骤如下：

步骤1 首先使用随机化的Faure序列产生[0，1)均匀分布的随机数，再通过Moro算法产生标准正态分布随机数ε。

步骤2 重复执行K次步骤1，得到随机数序列εK，其中εK=(ε1,ε2,…,εK)。

步骤3 从当前可转债标的股票价格S0出发，利用步骤2中产生的随机数及公式(6)，模拟出K条股票价格的路径，用Si表示第i条路径在下一交易日的股票价格，则可以得到下一交易日的K个价格{S1,S2,…,SK}，通过公式(7)可以得到下一交易日的 K 个价格波动值{△S1,△S2,…,△SK}。

步骤4 根据步骤3生成的价格波动序列及公式(8)，模拟出期权价格的波动序列{△C1,△C2,…,△CK}，也即得到可转债在下一交易日的价格波动序列{△CB1,△CB2,…,△CBK}，从而得到该转债价格波动的分布，在给定置信水平α的情况下计算出VaR和ES值。

4 实证应用和结果分析

4.1 数据选择

本文选取了2002年10月16日发行的五年期燕京可转换债券为例，该次发行的可转换债券初始转股价格为X=10.59，面值为P=100，票面年利率为I=1.2%，得到其连续日利率为 I’=0.0033%.

燕京股票为该转债的标的股票，其于1997年上市，我们选取1997年7月16日至2006年3月6日的2071个交易日的该股票的收盘价作为历史样本。然后用FMQMC方法模拟可转换债券的价格未来可能发生的情况来估计2006年3月6日后一天的可转换债券的风险值VaR和ES。2006年3月6日燕京股票收盘价格为S0=7.520元。

4.2 收益率、波动率以及到期期限

根据所选燕京可转债的参数，选取无风险年利率为ry=2.65%，得到无风险日利率为r=0.0073%.

图1 使用FMQMC拟合的股票价格路径

图2 使用PMC拟合的股票价格路径

图3 使用FMQMC拟合的期权价格波动路径

图4 使用PMC拟合的期权价格波动路径

可转债标的股价模拟模型中波动率是根据股票的波动率而来的，我们的模型中采用了历史波动率。选取2006年3月6日前的2071个交易日燕京股票的收盘价作为数据样本来计算其日收益率标准差，得到其日波动率σ=0.023062，以245个交易日为一年的年收益标准差为 σy=σ 姨2 45=36%。燕京可转债的到期日为2006年4月19日，则可算得到期期限T-t=0.0734年。

表3 基于PMC方法和FMQMC方法的VaR和ES对比

表4 方差对比

表5 两种方法的时效分析

4.3 结果分析

运用第二节介绍的FMQMC方法，按照第三节提出的算法来计算燕京可转债的VaR和ES，并将其与运用PMC方法的结果进行比较分析。

首先，使用Matlab编程，分别使用FMQMC方法和PMC方法拟合m=1000条股票路径进行实证分析。

已经假定在较短的时间内可转债价格的波动可以由其期权价值的波动近似，我们将上述两种方法模拟得到的未来1000个△V，分别按照从小到大的顺序排列，则在选定置信度为95%下，未来一个交易日的损失风险如表3所示。

2006年3月7日燕京股票的收盘价为7.330元，则实际△S=-0.190，那么实际损失为△V=-0.0650。我们看到实际损失均包含在两种方法计算得到的ES和VaR估计值内，表明PMC方法和FMQMC方法应用于可转债市场风险度量中均是有效的。另外，基于FMQMC方法的VaR和ES估计值明显比PMC方法更接近实际损失，这表明前者比后者更有效。

为了方便对比，分别使用FMQMC方法和PMC方法对燕京可转债进行500次价格波动模拟，计算出选定置信水平为95%下，相应的VaR和ES值，得到的结果如图4至图7所示。

图4 使用FMQMC计算的VaR

图5 使用PMC计算的VaR

图6 使用FMQMC计算的ES

图7 使用PMC计算的ES

从图4至图7，明显的看出使用FMQMC方法计算得到的VaR和ES估计值的方差更小，且更接近于实际损失值。两种方法计算出来的VaR和ES的方差如表4所示。

由表4可知，基于FMQMC方法的VaR和ES估计值的方差均小于传统的PMC方法，该结果显示，由于使用了低差异的Faure序列，使得拟蒙特卡罗方法的结果相对普通的蒙特卡罗方法方差明显降低了，减少的方差约为77%。可见，FMQMC方法不仅能够得到比PMC方法更好的估计效果，而且得到的VaR和ES估计值更加贴近实际损失。

同时，对这两种风险度量方法的计算时间和效率也进行了一个比较，如表5所示。

计算次数为5万次，由表5可得，由于使用了低差异随即序列代替了伪随机序列，使得FMQMC方法在计算速度上要大大地快于PMC方法(本处速度比接近2.27比1)。本次计算使用的计算机平台的主要参数为Intel公司生产的主频率为2600 M的 DualCore处理器，内存为2G。

综合比较两种算法的计算效率，考虑算法效率的计算公式：效率=1/(计算误差×计算时间)，这里我们用标准差表示计算误差，那么在5万次模拟中，FMQMC的计算效率是PMC的5.25倍。

5 结论

本文使用FMQMC方法，对可转债的市场风险度量算法进行研究。由于使用了Faure序列和方差减小技术，从而降低了本模型估计结果的方差，同时也提高了算法的计算精度；另外，对Faure序列的随机化处理避免了Faure序列周期性的问题；再者，基于Faure序列的随机数生成器运行效率远高于伪随机数生成器，使得FMQMC方法比PMC方法更节省时间；其次，Moro逆变换算法的引入，使得可转债中风险值VaR和ES度量更加合理；进一步，根据模型的假设以及中国可转债价值构成的特点，选用了燕京可转债进行了实证分析，并将FMQMC方法与PMC方法进行了比较，发现该方法在计算VaR和ES时不仅方差更小，计算效率更高，而且其估计值也更加接近实际损失。

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F830.9

A

1002－6487（2011）04－0124-04

教育部人文社会科学研究规划基金项目(07JA630048)；教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET-06-0749)

许文坤(1986-)，男，广东惠州人，硕士研究生，研究方向：金融工程与决策理论。

陈云霞(1986-)，女，广东吴川人，硕士研究生，研究方向：金融工程与决策理论。

杜 倩(1985-)，男，黑龙江双鸭山人，硕士研究生，研究方向：金融工程与决策理论。

张卫国(1963-)，男，陕西安康人，教授，博士生导师，研究方向：金融工程与决策理论。

（责任编辑/易永生）