王庆丰

（中原工学院 经济管理学院，郑州 450007）

基于欧拉法的非等间距GM（1,1）预测模型参数估计

王庆丰

（中原工学院 经济管理学院，郑州 450007）

文章提出了一种新的非等间距GM（1,1）模型参数估计方法，该方法不再构造非等间距序列背景值，而是基于欧拉公式直接求解模型参数来建立预测模型，为非等间距GM（1,1）模型参数求解提供了一条新的思路和解决方法。实例应用表明，利用该方法建立的非等间距GM（1,1）模型显著改善了模拟和预测精度，具有精度高、适用性强等特点。

非等间距；GM（1,1）模型；欧拉法；参数估计

0 引言

灰色系统理论自邓聚龙教授于1982年提出以来，被广泛地应用于工业、农业、社会、经济等领域[1]。作为灰色系统预测理论的基础与核心，GM（1,1）模型因其“小样本”和“贫信息”的研究特质和简单实用的优点在灰色预测中占有重要地位，是应用最早也是迄今为止应用最为广泛的灰色模型。

灰色系统模型的建立大多基于等间距序列，而在实际工作中所得到的许多原始数据并非等间距序列，特别是工程技术领域，这类问题更多。因此，建立非等间距序列GM（1,1）模型具有广泛的现实意义，许多学者对非等间距GM（1,1）模型进行了研究[2～4]。文献[2]提出了时数分离方法，其最大特点是没有对原始的非等时序列进行人为改造，只是通过概念的转换，而得出两个等时序，但是对这种模型的同步预测性需要作进一步的研究。文献[3]在原始非等间距序列的基础上将序列间距作为乘子建立非等间距GM（1,1）预测模型，但模型的构造不能保证和实际相符。文献[4]则将原始序列分解成nk+1个序列，，…，，然后通过数据列的变化寻找出参数a和b的变化规律，再利用这一规律再求出参数a和b的值，进而建立非等间距GM（1,1）预测模型。由于背景值的构造方法是影响预测精度和适应性的关键因素，更多的学者从不同的角度对非等间距GM（1,1）模型的背景值构造问题进行了相应的研究[5～7]。文献[5]利用齐次指数函数来拟合一次累加生成序列，重构非等间距序列的GM（1,1）模型背景值。文献[6]认为可以用x(1)(t)在区间[ki，ki+1]上的中点实际值作为背景值。文献[7]则根据灰色模型的指数特性和积分特点，利用非齐次指数函数来拟合一次累加生成序列，提出一种新的重构非等间距GM（1,1）模型背景值的方法。

然而，上述通过重构背景值来提高非等间距GM（1,1）模型预测精度的方法在实际运用中并不能令人完全满意。本文拟提出一种新的非等间距GM（1,1）模型参数估计方法，该方法将不再构造非等间距序列的背景值，而是基于欧拉公式直接求解非等间距GM（1,1）模型参数来建立预测模型，以期进一步拓广了GM（1,1）模型的应用范围。

1 基于欧拉法的非等间距GM（1,1）模型参数估计

1.1 非等间距GM(1,1)模型建模机理

定义 1 设序列 X(0)={x(0)(k1)，x(0)(k2)，…，x(0)(kn)}，若间距△ki=ki-ki-1≠const，则称 X(0)是非等间距序列。

定义 2 设序列 X(1)={x(1)(k1)，x(1)(k2)，…，x(1)(kn)}，若其中 x(1)(ki)=x(0)(xj)△kj（i=1，2，…，n），则称 X(1)为非等间距序列 X(0)

的一次累加生成（1-AGO）序列。

对一次累加生成序列X(1)建立GM（1,1）模型，对应的微分方程为：

其差分形式为：

这里：

式（2）中的 z(1)(ki)称为 GM（1,1）模型的背景值，为累加生成序列的紧邻均值生成值。

则灰色微分方程x(0)(ki)+az(1)(ki)=b的时间响应式为：

还原式

2.2 基于欧拉法的非等间距GM（1,1）模型参数估计

由公式（5）可见，GM（1,1）模型模拟和预测精度取决于参数a和b，而参数a和b的值在传统方法上又依赖于背景值的构造。因此，背景值z(1)(ki)成为直接影响GM（1,1）模型模拟和预测精度的关键。这里，我们介绍一种不需要构造背景值而直接估计非等间距GM（1,1）模型参数的方法。

表1 某单位教学实验楼第3号沉降点观测数据

将公式（1）变形，设

在[ki-1，ki]区间上对两边取积分，得：

根据欧拉公式，我们直接用矩形面积近似代替该区间上的积分得到：

为了提高计算精度，我们用梯形面积代替小区间的积分，梯形法的计算公式为：

方程（8）为含有待求量x(1)(ki)的方程。由于通常解隐藏x(1)(ki)的方程比较困难，所以我们首先用简单的欧拉法计算x(1)(ki)的近似值，用x*(1)(ki)表示，然后代入方程（8）中，计算x(1)(ki)的值。迭代公式如下：

将式（6）代入上式，并进行化简得：

表2 建筑物沉降量模拟效果和相对误差

将式（13）求得的参数代入式（5）中，可直接得到还原式为

3 应用实例：建筑物沉降预测

为确保建筑物安全，需要在建筑物施工之初布设若干个沉降监测点，在不同时期进行沉降观测。表1为某单位教学实验楼封顶后第3号沉降监测点部分观测数据。

文献[8]以等间隔数列为基础，把非等间距数列转化为等间距数列，再进行一次累加生成处理，进而建立GM(1,1)模型。为便于与文献[8]进行比较，现在采用本文提出的方法对表1数据建模，解得参数。两个模型的模拟效果和相对误差如表2所示。

4 结论

为提高灰色模型的预测精度和适用范围，本文基于欧拉法直接进行非等间距GM（1,1）模型参数估计，而不再构造背景值，为非等间距GM（1,1）模型参数求解提供了一条新的思路和解决方法。针对建筑物沉降监测等实际问题，本文应用该方法分别进行非等间距数据建模，结果显示模拟和预测效果得到了显著改善，这说明该方法具有一定的有效性和可行性。基于欧拉法进行GM（1,1）模型参数估计，不仅适合于非等间距建模，也适合于等间距建模，具有方法简单、精度高、适用性强等特点。该方法的提出具有重要的现实意义和理论意义，使得工程科学、社会科学研究中对于不等间距数据的预测更加准确，有着广泛的应用前景。

[1]刘思峰,党耀国,方志耕.灰色系统理论及其应用[M].北京:科学出版社，2004.

[2]蒋卫东,李夕兵,赵国彦.非等时序列预测的时数分离研究[J].系统工程理论与实践,2003,(1).

[3]王钟羡,吴春笃,史雪荣.非等间距序列的灰色模型[J].数学的实践与认识,2003,33(10).

[4]史雪荣,王作雷,张正娣.变参数非等间距GM(1,1)模型及应用[J].数学的实践与认识,2006,36(6).

[5]戴文战,李俊峰.非等间距GM(1,1)模型建模研究[J].系统工程理论与实践，2005,(9).

[6]李翠凤,戴文战.非等间距GM(1,1)模型背景值构造方法及应用[J].清华大学学报(自然科学版),2007,47(S2).

[7]王叶梅,党耀国,王正新.非等间距GM(1,1)模型背景值的优化[J].中国管理科学,2008,16(4).

[8]吴清海.基于非等间距模型的建筑物沉降预测方法研究[J].测绘科学,2008,33(3).

C931

A

1002-6487（2011）04-0032-02

王庆丰（1973-），男，河南获嘉人，博士，副教授，研究方向：产业经济与灰色系统理论。

（责任编辑/易永生）