李常洪， 马 佳， 石 磊 （山西大学 管理学院，山西 太原 030006）

·基金项目·

二次循环下逆向物流库存控制模型探讨

李常洪， 马 佳， 石 磊 （山西大学 管理学院，山西 太原 030006）

0 引 言

从Schrady[1]（1969）最早对逆向物流库存控制模型进行研究到现在已经有30年左右的时间，研究内容从确定型逆向物流转向随机型逆向物流，研究对象从单一的某个产品转向制造企业内部的逆向物流。Fleischmann[2]（2002）提出一个基于需求与回收品都服从独立的Poissn分布的基本模型，模型假设回收物品可以与新产品一样销售，且外部订购的提前期不为0，得到库存的最有控制策略与参数，并与传统（S,Q ）库存模型进行了对比，但此模型并没有考虑产品滞后期，物品的处理费用以及退货行为对库存的影响。黄祖庆、达庆利和王冬冬[3]（2004）在国外学者Fleischmann[2]（2002）研究基础上，考虑退回产品修理的滞后期，和存在修理成本，提出一个扩展的EOQ订货模型，结果表明，与经典的EOQ订货模型相比，该模型的订货周期，订货数量及订货平均成本有不同程度的增加，销售商应采取有效措施尽量降低退货率及缩短退货的修复滞后时间。黄祖庆、达庆利[4]（2005）研究了销售商对退回产品基于定期与定量2种不同处理方式下的最优库存控制策略。李新军、达庆利[5]（2006）研究了一种新型的再制造条件下，带有废弃处置的（1,R），（M,1） EOQ模型，此模型中采用新产品的制造和回收产品的再制造2种方式来满足顾客的需求。李常洪、石磊[6]（2009）从定期和最高点订货的两个方面，对一次循环下的逆向物流库存控制模型进行探讨。欧阳惠卿、朱向阳[7]（2010）假设需求和返回是相互独立泊松过程，将（R,Q ）库存策略控制下的逆向物流库存系统建模成马尔可夫链，并依此对逆向物流库存系统的稳态表现进行分析，得到了系统的总成本期。

综上所述，国内外学者对逆向物流库存模型的研究，主要是针对一次循环下的逆向物流库存控制模型进行探讨。而对于二次循环下的逆向物流库存控制模型的研究很少，在国内几乎还没人研究。本文正是在前人对逆向物流库存模型的研究的基础上，对二次循环下的逆向物流库存控制模型进行探讨。

目前，国内外还没有对逆向物流二次循环的明确定义。本文认为回收产品进行修复后重新再利用，这是逆向物流的第一次循环。修复后的产品回到消费群里，如果出现破损等现象，厂家或第三方把已经循环过一次的回收产品再回收一次，进行修复、处理或者报废，这就是逆向物流的二次循环。本文基于以上的逆向物流二次循环的定义，分别对定期订货下，订货周期内第一次回收产品的修复仅有一次，而第二次回收产品的处理也仅有一次的库存控制模型和定期订货下，订货周期内第一次回收产品的修复有n次，而第二次回收产品的处理仅有一次的库存控制模型进行探讨。

1 假设及变量

1.1 模型的基本假设

（1）产品的需求率d，回收率t，s以及回收产品的修复率r，rs是已知确定的，而需求率与回收率是时间的函数。

（2）第一次回收产品经修复成功后，进入新产品库存，与新产品一样出售。而第二次回收的产品经处理后，使用价值发生变化，其价值小于新产品。

（3）对于需求率d，回收率t，s以及修复率r有这样的关系：d≤t,r≥t,t≤s。

（4）在第一次回收情况下 [T- L,T ]修复期是不予回收，在第二次回收情况下 [T- Ls,T ]修复期是不予回收，待到下一订货周期再继续回收产品。

（5）不考虑安全库存。

1.2 模型相关参数及变量的说明

h——单位产品库存持有成本，hr——单位回收产品的库存持有成本，hs——单位产品第二次回收的库存持有成本，p——第二次回收的单位产品修复成功的持有成本，T——新产品的订货周期，Q——新产品的最高订货量，C0——一次订货成本，d——新产品的需求率，L——回收产品的修复期，Ls——回收产品的修复期，Cg——修复第一次回收产品的固定费用，Cs——修复第二次回收产品的固定费用，Cx——修复第一次回收产品的单位变动成本，Csx——修复第二次回收产品的单位变动成本，t——产品的回收率，r——回收产品的修复率，s——产品第二次回收率，rs——产品第二次回收的修复率，D——回收产品从回收到修复完成的时间，Ds——回收产品从回收到修复完成的时间。

2 定期订货下逆向物流二次循环库存控制模型

2.1 一个周期内一次回收产品的修复期只有一次的库存控制模型

在订货周期内，同时存在产品的一次回收和二次回收，且第一次回收的产品修复成功后会补充到新产品库存中，而对于第二次回收的产品，进行处理之后，不会补充到新产品里去，而补充到原材料库存或者报废处理。我们讨论使单位库存总成本最小的库存控制模型。

讨论此种情况下的一个订货周期，从图和假设所知，一个周期内的库存总成本包括新产品的订货成本、库存持有成本；第一次回收和第二次回收产品的修复成本、库存持有成本等。对于新产品的库存成本和第一次回收产品的库存成本，其总成本模型为：

在[0,T -Ls]周期内，第二次回收产品的库存持有产品为：

处理费用为：

其 “新产品”的持有成本为：

其回收产品的持有成本为：

则总成本为：

把上式中的T*与文献[6]中，一个周期内修复期只有一次的库存模型中求出来的

其中Q=Td，要使这一订货周期单位时间库存总成本最小，即对时间T求导即可，则：

2.2 具体算例

假设某公司销售一批产品，产品的销售 （需求率d为0.8），第一次回收 （回收率t为0.2），第二次回收 （回收率s为0.5）在全年是相对稳定的，且在每次订货周期内，第一次回收的产品仅修复一次，其修复率为0.9，修复时间L为0.2月，对于修复成功的产品，和新产品一样全价出售，对于第二次回收的产品，其处理率为0.4，处理时间为0.3，其中已知新产品的库存持有成本为h为6元/件，回收产品的库存持有成本hr为4元/件，第二次回收产品的库存持有成本hs为3元/件，而修复成功后的库存持有成本p为4元/件，一次订货费用C0为30元，回收产品修复的固定成本Cg为20元，第二次回收产品处理的固定成本Cs为15元，回收产品修复的变动成本为1元/件，第二次回收产品处理得变动成本为1元/件。根据以上条件，我们利用公式可得到订货周期T=4.3月。

2.3 一个周期内一次回收产品的修复期有多次的库存控制模型

此模型是在二次循环的情况下的库存控制模型，根据前面分析，新产品的总成本和第一次回收产品的总成本为：

而第二次回收产品的总成本为：

其中，Q=Td，要使C在周期T内单位时间的总成本最小，可先求出单位时间的总成本，并对T求导并令得出

同理，我们令

其中，

则，

很明显，二次循环的库存模型较一次循环的模型，分子、分母多这样几项，即

2.4 具体算列

假设某公司销售一批产品，产品的销售 （需求率d为0.8），第一次回收 （回收率t为0.2），第二次回收 （回收率s为0.5）在全年是相对稳定的，且在每次订货周期内，回收产品修复n次，其修复率为0.9，修复时间L为0.2月，修复成功的回收产品和新产品一样全价出售，且每次产品的回收与修复时间都是一定的D为0.5，对于第二次回收的产品，其处理率为0.4，处理时间为0.3L，但一个订货周期内处理仅有一次，其中已知新产品的库存持有成本为h为6元/件，回收产品的库存持有成本hr为4元/件，第二次回收产品的库存持有成本hs为3元/件，而修复成功后的库存持有成本p为4元/件，一次订货费用C0为30元，回收产品修复的固定成本Cg为20元，第二次回收产品处理的固定成本Cs为15元，回收产品修复的变动成本为1元/件，第二次回收产品处理的变动成本为1元/件。根据以上条件，我们利用公式可得到订货周期T与n的关系式：

根据第二章计算的结果，当n取某值时，订货周期T最小值。

若n=1，则订货周期T=3.07月，可以使单位总成本最小；

若n=2，则订货周期T=2.94月，可以使单位总成本最小；

若n=10，则订货周期T=2.43月，可以使单位总成本最小；

若n=20，则订货周期T=2.2956月，可以使单位总成本最小；

若n=21，则订货周期T=2.2967月，可以使单位总成本最小；

若n=22，则订货周期T=2.2995月，可以使单位总成本最小；

…

根据一系列计算，可得知当n=20时，T取得最小值2.2956，企业可以根据自己实际情况，安排一个周期内的回收次数。

3 小 结

在文献[6]研究的一次循环模型中，我们已经发现： （1）当仅有一次回收且为定期订货时，订货周期与回收率与需求率有关，其中，订货周期与回收率成正比，与需求率成反比。 （2）当一个订货周期内回收次数有多次，次数为n，而此n影响订货周期长短，且在当n取某值时，订货周期最短且满足单位时间总成本最小。将上述关于逆向物流一次循环库存模型的结果与本文的结果进行比较，可发现，逆向物流的二次循环与一次循环的结果相比，其订货周期的分母分子变化不大，仅仅多出第二次循环相对应的几项，以此类推，逆向物流的第三次循环，第四次循环甚至第n次循环也同样如此。因此，企业可以根据自己的实际情况来安排一个周期内的回收次数，以满足合理的订货周期。

[1] Schrady M K.A deterministic inventory model for repairable items[J].Naval Research Logistics Quarterly,1967,14:391-398.

[2] Moritz Fleischmann,Roelof Kuik,Rommert Dekker.Controlling Inventories with Stochastic Item Returns:A Basic Model[J].European Journal of Operational Research,2002,138(1):63-75.

[3] 黄祖庆，达庆利，王冬冬.逆向物流具有时滞的一个EOQ扩展订货模型[J].物流技术，2004,5:87-89.

[4] 黄祖庆，达庆利.基于逆向物流定期和定量处理的最优库存控制策略研究[J].东南大学学报，2005,35(2):302-307.

[5] 李新军，达庆利.一种新型的再制造条件下EOQ模型[J].东南大学学报 （自然科学版），2006,36(4):667-671.

[6] 李常洪，石磊.一次逆向物流循环的库存控制模型探讨[J].物流技术，2009,28(10):65-68.

[7] 欧阳惠卿，朱向阳.一种面向逆向物流的库存控制策略[J].上海交通大学学报，2010,44(3):369-372.

Reverse Logistics Inventory Control Model Based on the Second Cycle

LI Chang-hong,MA Jia,SHI Lei (School of Management,Shanxi University,Taiyuan 030006,China)

以二次循环的概念为基础，假设第二次回收的产品经处理后，使用价值发生变化，其价值小于新产品，建立了二次循环下的逆向物流库存模型。讨论了定期订货中，当第二次回收产品的处理仅有一次时，订货周期内第一次回收产品的修复仅有一次和修复有n次这两种情况下的库存模型，并通过算例验证了模型的有效性。

逆向物流；库存模型；二次循环

Take second cycle concept as basis,assume that the value of the product that second time reclaims has been smaller than a new product by that change happened in use value,and built the reverse logistics inventory model with second cycle.In having discussed that fixed-time order,when the treatment thinking that second time reclaims a product has an once only,the renovation reclaiming a product within the period ordering goods for the first time has the once and renovation to have the n inventory model under this second two kinds condition,and the validity having verified a model by calculating an example.

reverse logistics;inventory model;second cycle

F713.2

A

2010-12-29

国家自然科学基金资助项目，项目编号：70501016； “合作管理理论研究”项目，项目编号：0905202； “企业社会责任研究”项目，项目编号：0905508； “汽车业逆向物流合作网络研究”项目，项目编号：2010203。

李常洪（1973-），男，山西洪洞人，山西大学管理学院副院长，教授，博士，博士研究生导师，研究方向：组织生态管理、组织合作与竞争、逆向物流。

1002-3100(2011)03-0038-04