楼洪梁，李兴林，徐现昭，卓继志，张仰平 ,余忠华

(1. 杭州轴承试验研究中心博士后科研工作站, 杭州 310022；2. 中国计量学院 质量与安全工程学院,杭州 310018；3.浙江大学 机械系，杭州 310027)

可靠性验证试验中，序贯抽样试验方法能利用试验进程中所产生的信息作出判断，而不必将试验进行到规定的时间或失效数。所以，在一般情况下相对于定时截尾试验或定数截尾试验等一次抽样试验方法来讲，序贯抽样试验方法作出判断所要求的平均累计试验时间及平均失效数要少，可有效降低试验费用[1-2]。序贯抽样试验方法应用于Weibull寿命型产品时，既可以是替换试验，也可以是非替换试验。验证指标既可以是可靠度，也可以是失效率等[2-3]。序贯抽样试验在应用于Weibull寿命型产品时，一般要求其分布的形状参数是已知的。然而，由于制造和材料等因素的影响，即使是同一企业生产的同类型产品，其形状参数也可能不同，更不要说不同企业生产的不同型号产品，这在机械产品中表现尤为突出。对于Weibull分布的序贯试验，大量研究集中在试验方案的制定与优化[4-6]，关于形状参数对序贯试验方案影响的文献相对较少，而实践中又大量存在此类问题[7]。因此，对这一问题展开研究既可以为生产方与使用方提供相对公正的试验方案，又可以为序贯抽样试验相关标准的制定提供理论依据，具有重要的理论与现实意义。

下文以滚动轴承的序贯抽样试验为研究背景，根据Weibull寿命型产品序贯验证试验理论，研究形状参数对产品接收概率和拒收概率的影响，并通过模拟试验定量分析形状参数发生变化时产品接收概率和拒收概率的变化以及生产方风险和使用方风险的变化。

1 Weibull寿命型产品序贯验证试验的思想方法

Weibull分布的概率密度函数f(t)与分布函数F(t)分别为

f(t)=mη-mtm-1e-(t/η)m，

F(t)=1-e-(t/η)m，m,η,t>0,

式中：m为形状参数；η为特征寿命；t为产品的实际工作时间。

设随机变量X服从Weibull分布，其概率密度函数记为f(x,θ)，θ为产品序贯验证试验的寿命参数。假设产品的合格寿命为θ0，极限寿命为θ1，那么对于样本总体为f(x,θ)的样本(x1,x2,…,xn)，随机变量X1,X2,…,Xn的联合概率密度函数为

pkn=f(x1,x2,…,xn;θk)，k=0,1。

根据使样本观察值出现概率为最大的原则，可确定序贯抽样验证试验的判断准则为[1]：预先选择两个常数A和B(B

如果概率比p1n/p0n≥A，则判定为拒收该批产品，停止序贯验证试验；如果概率比p1n/p0n≤B，则判定为接收该批产品，停止序贯验证试验。

在序贯验证试验中，如果要求产品生产方风险为α和使用方风险为β，那么根据文献[1],可取A=(1-β)/α，B=β/(1-α)。

进行非替换的序贯验证试验时随机选取N个样本，在时间t之前有r个失效，ti为第i个样本的失效时间，以可靠寿命t(0.9)为验收指标，给定产品的生产方风险α和使用方风险β，以及合格寿命和极限寿命分别为t0(0.9)和t1(0.9)。在产品的形状参数m已知的情况下，可得到其分布的特征寿命为η=t(0.9)/(-ln 0.9)1/m。根据上述序贯验证试验的判断准则，就可建立Weibull寿命型产品的序贯验证试验方案，其继续试验的判断条件为[1]

-h1+sr

(1)

θ0=-[t0(0.9)]m/ln 0.9；

θ1=-[t1(0.9)]m/ln 0.9;r为失效数。

以横坐标为r、纵坐标为Tr,N(t)建立坐标系，画出两条平行直线T1=h0+sr和T2=-h1+sr，其序贯验证试验方案如图1所示。如果Tr,N(t)≥h0+sr，即p1n/p0n≤B，认为该批产品合格、接收，此时[r,Tr,N(t)]在直线T1=h0+sr的上方，称T1=h0+sr为“合格判定线”；如果Tr,N(t)≤-h1+sr，即p1n/p0n≥A，认为该批产品不合格、拒收，此时[r,Tr,N(t)]在直线T2=-h1+sr下方，称T2=-h1+sr为“不合格判定线”；如果-h1+sr≤Tr,N(t)≤h0+sr，即B

图1 序贯试验方案示意图

另外，在实际问题中，为了缩短序贯验证试验作出判断的时间，可采用截尾序贯验证试验方法，如图1所示。

2 Weibull分布下形状参数与接收区间的关系

按照上述方法，从理论上来说，对形状参数为m的Weibull寿命型产品的序贯验证试验应该以合格寿命t0、极限寿命t1、生产方风险α和使用方风险β建立验收条件。从(1)式及其中的参量间关系可知，验收条件与形状参数m有关。然而，对于待检产品批，其形状参数m是未知的，即待检产品批的形状参数与查表所得的用于建立序贯验证试验方案的形状参数可能不同，有时甚至相差较大，这样就改变了生产方风险和使用方风险。例如GB/T 24607—2009规定滚动轴承序贯验证试验的形状参数为1.5[8]，但实际上某些轴承的形状参数可达2.0甚至更大。用于验证方案的形状参数与产品的实际形状参数相差越大，则生产方风险和使用方风险变化也越大。

为便于说明问题，取相同的合格寿命t0(0.9)、极限寿命t1(0.9)、生产方风险α和使用方风险β，形状参数m分别取1.3和1.5，建立其序贯验证试验方案。图2为进行序贯验证试验时的判断图。

图2 不同形状参数时序贯验证试验判断图

由图2可知，用m=1.3建立的序贯验证试验判断准则判定被试产品不合格时(C区)，用m=1.5的准则判定，则产品一定不合格；用m=1.3的准则判定被试产品需要继续试验时(B区)，用m=1.5的准则判定，则绝大部分产品不合格；用m=1.3的准则判定被试产品合格时，用m=1.5的准则判定，则部分产品不合格(A区)；用m=1.5的准则判定被试产品合格时，用m=1.3的准则判定，则产品一定合格。由此可见，用较大m建立的准则判定较小m的产品批时，生产方风险增加；反之，用较小m建立的准则判定较大m的产品批时，使用方风险增加。

3 试验方案模拟评价

对某批轴承进行序贯验证试验，标准规定验收的形状参数m=1.5。假定其合格寿命t0(0.9)=600 h，极限寿命t1(0.9)=300 h，生产方风险α和使用方风险β均为0.1。取投入试验的样本量为截尾数N=9，进行不同序贯试验判断准则下的模拟试验。图1为验收条件m=1.5时序贯试验方案示意图；图2为验收条件m=1.5和m=1.3时序贯验证试验的判断图。具体模拟试验按如下步骤进行。

(1)在t0(0.9)=600 h，m=1.5模拟条件下，由计算机每次产生9个随机数，共产生1 000组，得到验收条件为m=1.5情况下试验的模拟接受率；在t1(0.9)=300 h，m=1.5模拟条件下，由计算机每次产生9个随机数，共产生1 000组，得到验收条件为m=1.5情况下试验的模拟接受率。

(2)在t0(0.9)=600 h，m=1.2模拟条件下，由计算机每次产生9个随机数，共产生1 000组，得到验收条件为m=1.2情况下试验的模拟接受率；在t1(0.9)=300 h，m=1.2模拟条件下，再由计算机每次产生9个随机数，共产生1 000组，得到验收条件为m=1.2情况下试验的模拟接受率。

(3)对步骤(2)中t0(0.9)=600 h，m=1.2和t1(0.9)=300 h，m=1.2模拟条件下产生的各1 000组每组9个随机数用验收条件为m=1.5接收，得到试验的模拟接受率。

(4)其他条件不变，在步骤(2)中分别将模拟条件及相应的验收条件替换为m=1.3，1.4，1.6，1.7，1.8，1.9，重复模拟试验，得到试验的模拟接受率。

(5)其他条件不变，在步骤(3)中分别将模拟条件及相应的验收条件取为m=1.5，重复模拟试验，得到试验的模拟接受率。试验结果见表1。

表1 模拟结果

从表1可知，当模拟数据的形状参数m与试验方案的形状参数相同时，试验结果的生产方风险和使用方风险与方案的设定值接近，当模拟数据的形状参数大于试验方案的形状参数时，使用方风险大大增加，即大量不该接收的产品批被接收；反之则生产方风险大大增加，即大量该接收的产品未被接收。

4 结束语

以轴承的序贯抽样试验为背景，对Weibull寿命型产品的序贯验证试验理论与步骤展开研究，并通过模拟试验定量分析了Weibull分布形状参数变化时产品接收和拒收概率的变化情况。结果表明：用于验证的形状参数与产品批实际的形状参数相差越大，则生产方风险和使用方风险变化也越大。

对于形状参数变化较大的产品，如轴承等机械产品，当不能取得较准确的形状参数时，若用序贯试验方法验证产品的可靠性，则生产方或使用方可能会承担较大的风险。