莫降涛，毛 宏，陈桂梅，范 婷

(广西大学数学与信息科学学院，南宁 530004)

在现代供应链管理中，下游成员越来越占住主导地位。传统以生产商为主体的“生产→销售”模式，即“推”的模式，逐渐被以零售商为主体的“销售→生产”模式，即“拉”的模式所取代。零售商在供应链中逐渐占据主导地位，如沃尔玛、家乐福、国美电器等［1］，对其的研究也越来越受到重视。另外，随着商家服务水平的提高，允许顾客退货可以起到吸引顾客购买的效果，但是，顾客退货和不确定的需求增加了零售商的风险;同时，生产商在销售期末对零售商剩余产品进行回购，不仅可以维护自己的品牌和促进新产品的营销，还可以激励零售商多订货。因此，考虑顾客退货和回购的供应链协调问题具有一定的意义。

目前，供应链协调主要是采用供应链契约来协调的，如常见的收入共享契约、回购契约、数量弹性契约、期权契约等，其研究成果详见Cachon［2］和杨德礼等［3］的综述文献。期权契约规定，买方承诺除在未来购买一定的货物量外，还向卖方以一定的价格购买一定数量的期权。这个期权允许买方在未来根据市场需求情况，按照规定的期权执行价格购买不超过期权购买量的产品。通过期权的购买，买方就获得了调整未来订单的权利，将部分需求风险转移给了卖方，卖方也从期权购买中获得了一定的补偿［4］。Barnes-Schuster等［5］研究了期权契约的弹性问题，论证了期权契约不仅具有弹性，而且能提高供应链的整体利润。张正祥等［6］在现货市场环境下考虑了零售商占主导地位的供应链协调问题，研究了期权契约对双方收益的影响。Wang等［7］也利用期权契约研究了零售商占主导地位的供应链协调问题。但这些利用期权来进行研究的文献，只考虑了商品的单向流动，没有考虑到商品的逆向流动。回购契约是供应商对零售商期末未售完的商品全部或部分进行回购，主要是为了减少不确定的需求给零售商带来的风险［8］。Pasternack［9］首先提出回购契约概念，随后诸多学者对它进行了研究。允许退货可以增强顾客购买信心、减少购买风险、刺激需求，现已成为市场竞争的一个重要手段，国内外学者对顾客退货已进行了一些相关的研究［10－11］。

本文是在文献［7］研究的基础上，考虑了销售期内允许顾客退货、生产商回购销售期末零售商的剩余产品的问题，建立了相应的期权回购契约协调模型。采用与文献［7］类似的思想方法，分析得出:选取适当的期权价和回购价，可以提高供应链的利润，并可将增加的利润在成员之间合理分配，使每个成员的利润都增加，供应链达到完全协调。传统期权契约的期权执行价只与期权价相关，但在采用期权回购契约时，期权执行价由期权价和回购价决定。本文提出的期权回购契约为供应链管理提供了一种新的策略。

1 符号说明与模型假设

考虑由一个生产商和一个零售商组成的销售单一商品的供应链。假设市场需求x∈［0，B］是随机分布的，其均值、概率密度函数、分布函数分别为μ、f(x)、F(x)，其中:F(x)连续可微、递增，且F(0)=0;B为需求可能最大值。假设:销售期内顾客退货率r(0≤r＜1)为一常数，并且退回的货物不能再次销售，退货价为零售价p，即全额退款;零售商和生产商的市场信息是对称的，且双方均是风险中性和完全理性的。

在销售期前，根据市场预测，零售商与生产商通过协商制定期权回购契约(β，b，e)，其中:β为期权价格;b为回购价;e为期权执行价。零售商是供应链主导者，据此契约以批发价w首次订购Q数量的商品;生产商是追随者，根据契约和Q生产不小于Q的商品Qm，单位生产成本为c。零售商期权购买量为Qm－Q。在销售期临近时，若需求大于首次订购量，零售商则以单价e再次购买Q1，且Q1≤Qm－Q。销售期结束后，生产商对零售商未售出和顾客退回的商品以单价b回购。商品残值为v。零售商缺货而导致自身和生产商的单位惩罚成本分别为gr和gm，令g=gr+gm。为了符合实际和简化计算，还假设p＞w＞c＞v，0≤β＜c－v，e＞b，v≤b＜w+v－c。

2 集中式供应链

供应链中零售商和生产商集中决策。供应链系统的期望利润=销售收入－成本+残值－缺货损失，其数学表达式为

因为∏c(Q)″=－［p(1－r)+vr+g－v］f(Q)＜0，即∏c(Q)是凹函数，所以由一阶最优性条件得最优订购量

因集中决策只有一次订购机会，所以生产商的生产量为Qc。

3 分散式下无契约协调的供应链

此时，零售商以最大化自己的利润进行订购。

零售商的期望利润=销售收入－成本+残值－缺货损失，其数学表达式为

经计算得

由最优性一阶条件得最优订购量

由于零售商占主导地位，生产商按照零售商的订购量进行生产，即此时生产商的期望利润为

由于w＞c＞v和g＞gr，易证为了实现供应链协调，必须选择适当的契约来激励生产商的生产量等于集中决策下的最优生产量。

4 分散式下契约协调的供应链

零售商第2次期望订购量为

生产商期末未售出期望量为

生产商期末回购货物期望量包括顾客退货量和零售商到期末未售出量，即

零售商缺货引起生产商缺货期望量为

下面按照决策顺序的逆向进行分析。首先在给定契约参数(e，β，b)和零售商首次订购量Q下，求解生产商的最优生产量Qm。

生产商的期望利润=首次批发收入+第2次批发收入－生产成本+残值－回购费用－缺货损失+期权收入，其数学表达式为

生产商的优化问题为

对于问题(7)，有如下结论:

命题1 在给定契约参数(e，β，b)和首次订购量Q后，生产商的最优生产量满足:当Q＞QT时，=Q;否则=QT，其中

证明根据式(6)得πm(Qm)'=vr+e+gm+β－c－br－(vr+e+gm－v－br)F(Qm)。由一阶最优性条件 πm(Qm)'=0，解得 Qm=QT。

由假设e＞b≥v和f(Qm)≥0计算得

即πm(Qm)是凹函数，所以，Qm=QT是πm(Qm)的最大值点。因此，若Q≤QT，则=QT;若Q＞QT，由于Qm＞QT时，πm(Qm)'＜0，即πm(Qm)单调递减，所以=Q。证明完毕。

命题1说明:当0≤Q≤QT时，生产商的生产量才会多于零售商首次订购量，此时零售商才有可能进行第2次订购，因此，下面仅考虑0≤Q≤QT时的供应链协调问题。

命题2 当0≤Q≤QT时，如果契约参数(e，β，b)满足:e= φ(β，b)，0≤β ＜，v≤b＜ w+v－ c，则有=Qc，即生产商的生产量与集中决策下的最优生产量Qc相等，供应链达到协调。其中:

证明当0≤Q≤QT时，由命题1有，因此等价于根据式(2)、(8)和F(x)的单调性，得

从中解出 e=φ(β，b)。

命题2只是实现供应链协调的必要而非充要条件。为了完全实现供应链协调，生产商最优生产量必须达到Qc，因此零售商需要根据契约确定自己的首次订购量Q，来激励生产商最优生产量达到Qc。

契约下，零售商的期望利润=销售收入－首次订购成本－第2次订购成本+回购收入－缺货损失－购买的期权费，其数学表达式为

零售商的优化问题为

对于问题(10)有下面结论:

命题3 给定契约参数(e，β，b)下，理性的零售商首次订货量 Q(β，b)满足:当时，Q(β，b)=当时，Q(β，b)=0。其中由命题 2定义。

证明因为 v≤b＜w+v－c，所以由 e=φ(β，b)和式(9)得

从命题3可得出:当β=0，b=v时，首次订购量Q(β，b)与分散决策时的订购量相等，此时协调后，零售商的利润没有改变，生产商占有系统额外增加的所有利润。

命题4 如果契约参数(e，β，b)满足条件:v≤b＜w+v－c，则下面的结论成立:①零售商首次订购量Q(β，b)关于β和b分别递减和递增;②当b∈［v，w+v－c)时，零售商、生产商的利润πr和πm分别关于β递增和递减;③ 当时，零售商、生产商的利润πr和πm分别关于b递增和递减;④ 当，零售商、生产商的利润 πr和 πm均与 b 无关。

证明

F(x)为增函数，易证 Q(β，b)关于 b递增。因为 v≤b＜w+v－c，所以

即Q(β，b)关于β递减。

② 将 e= φ(β，b)，Q=Q(β，b)代入得生产商的利润为

即πm(Qc)关于b递减。在达到协调时，集中系统总利润为固定常数且为双方利润之和，所以零售商的利润πr关于b递增。

证明完毕。

接下来寻找适当的β和b，使得实现协调后，系统增加的利润在生产商和零售商之间合理分配。

首先求β=0时，b的上限bmax。

命题5 契约参数(e，β，b)满足 e= φ(β，b)，0≤ β ≤ β0＜ ¯β，v≤b≤bmax时，能使供应链协调，且双方达到共赢，其中β0满足:如果那么否则且满足

证明给定参数v≤b≤bmax。当β→¯β时，Q=0。由式(11)得生产商的利润为，即生产商的利润为负。由命题4知πm随b递减，当β=0时所以有又πm随β递减且连续，故必存在唯一的，使得

下面确定β0。

命题5说明:参数b、β在给定的范围内取值，可以实现供应链协调，且零售商和生产商双方利润均不比分散决策时差，并且选取适当的b、β，可以实现协调后系统增加的利润在零售商和生产商之间按要求分配，分配的比例大小取决于零售商和生产商的谈判情况和双方的博弈能力。

5 数值算例

参照文献［7］的数值算例，假设某零售商和某生产商组成简单的供应链，销售某一短生命周期商品。各项成本参数:p=80，c=40，w=50，gr=10，gm=10，v=10，r=0.1。顾客的需求服从均匀分布，即F～U［0，3 000］。采用Matlab软件，由式(2)和(1)计算得到:集中决策最优订购量Qc和总利润∏c(Qc)分别为1 915.7和20 765;由式(4)、(3)和(5)计算得:分散决策下，最优订购量和总利润分别为1 356.2和16 435，零售商和产商的利润和分别为 7 376.7和 9 058。显然，当 β=0时，bmax=b¯=19.276 9。由命题2得期权执行价

图1描述了回购价和期权价对首次订购量的影响，首次订购量Q(β，b)关于β递减，关于b递增，这与命题4结论一致。图2～4描述了b在取值范围内时，零售商、生产商的利润随β的变化情况，并给出了分散决策时的利润作为参照基准，以便供应链成员选择合适的b、β值，达到双赢，验证了命题5结论。

6 结束语

本文主要在零售商占主导地位的供应链中，建立了顾客在销售期内可以退货、生产商期末对零售商的剩余商品进行回购的期权回购契约协调模型。通过理论分析得出:零售商选取适当契约参数期权价和回购价，可以激励生产商的生产量与集中决策的最优生产量相同，同时双方利润均不低于分散决策时的利润，并且协调后增加的利润可以在二者之间合理分配，实现供应链完全协调。本文建立的期权回购契约是文献［7］期权契约的一种扩展，在无回购假设下，期权回购契约依然适用，只须将b=v即可。

［1］王芳，吴祈宗.惩罚契约下零售商占主导地位的供应链协调研究［J］.科学技术与工程，2008，8(23):6191－6203.

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