尚利峰

（内蒙古师范大学科学技术史研究院，内蒙古呼和浩特 010022）

数学悖论对数学发展的影响

尚利峰

（内蒙古师范大学科学技术史研究院，内蒙古呼和浩特 010022）

数学史上的三次数学危机都是由数学悖论引起的。论述了数学悖论及其引发的三次数学危机的产生与发展，及数学悖论对数学发展的作用。

数学史；数学悖论；数学危机

随着历时的前进、社会的不断进步，人的意识形态也在不断地发展、前进。数学作为一门科学，属于意识形态范畴，其自身同样也经历了一系列的演化、发展。数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科，透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。本文仅就数学史中数学悖论的起因、影响及其对数学发展的影响作一初步的探讨。

1 从悖论说起

什么是悖论?“悖论”一词源于希腊文，意为“无路可走”，转义是“四处碰壁，无法解决问题”。悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。简单地说，悖论往往表现为这样的命题：如果认为它真，则可以推出它为假；如果认为它假，则可以推出它为真［1］。

从潜科学的观点来看，悖论是一种在已有科学规范中无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的科学规范中得到克服，其存在具有客观性和必然性，它是科学理论演进中的必然产物，在科学发展史上经常出现，普遍存在于各门科学之中。悖论常常以逻辑推理为手段，深入到原理论的根基之中，尖锐地揭露出该理论体系中潜藏着的无法回避的矛盾，所以它的出现必然导致现存理论体系的危机。科学危机的产生，往往是科学革命的前兆和强大杠杆，是科学认识飞跃的关节点和开始进入新阶段的重要标志。

2 数学悖论及其引发的是三次数学危机

数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。所谓数学悖论，是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。数学中有许多著名的悖论，如：说谎者悖论、芝诺悖论、康托尔悖论、罗素悖论等。

数学史上的危机，指数学发展中危及整个理论体系的逻辑基础的根本矛盾。这种根本性矛盾能够暴露一定发展阶段上数学体系逻辑基础的局限性，促使人们克服这种局限性，从而促使数学的大发展。数学史上的三次危机都是由数学悖论引起的，下面作以简要的分析。

2.1 第一次数学危机的产生及其影响

“希帕索斯悖论”导致数学史上的第一次“危机”。毕达哥拉斯学派认为“数的和谐”是宇宙的本质。所谓“数的和谐”就是指一切事物和现象都可以归结为整数与整数的比［2］公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯（Hippasus，470B.C.前后）发现：等腰直角三角形斜边与一直角边是不可公度的，它们的比不能归结为整数或整数之比。这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条，同时也冲击了当时希腊人的普遍见解，因此在当时它就直接导致了认识上的“危机”。希帕索斯的这一发现，史称“希帕索斯悖论”，从而触发了数学史上的第一次危机。

在希帕索斯悖论发现之前，人们仅认识到自然数和有理数，有理数理论成为占统治地位的数学规范，希帕索斯发现的无理数，暴露了原有数学规范的局限性。由此看来，希帕索斯悖论是由于主观认识上的错误而造成的。

希帕索斯的发现，促使人们进一步去认识和理解无理数，同时也告诉人们直觉和经验不一定靠得住，而推理和证明才是可靠的。但是，基于生产和科学技术的发展水平，毕达哥拉斯学派及以后的古希腊的数学家们没有也不可能建立严格的无理数理论，他们对无理数的问题基本上采取了回避的态度，放弃对数的算术处理，代之以几何处理，从而开始了几何优先发展的时期，在此后两千年间，希腊的几何学几乎成了全部数学的基础。当然，这种将整个数学捆绑在几何上的狭隘作法，对数学的发展也产生了不利的影响。

2.2 第二次数学危机的产生及其影响

第二次数学危机主要涉及微积分理论，而其理论基础是建立在无穷小分析之上的。在实际应用中，无穷小分析必须既是零，又不是零。

而当时的英国大主教贝克莱（G.Berkeley，1685～1753）对当时的微积分学说进行了猛烈的抨击。他说牛顿先认为无穷小量不是零，然后又让它等于零，这违背了背反律，并且所得到的结果实际上是0/0，是“依靠双重错误得到不科学却正确的结果”，这是因为错误互相抵偿的缘故。在数学史上，称之为“贝克莱悖论”［3］。这一悖论的发现，在当时引起了一定的思想混乱，导致了数学史上的第二次危机，引起了持续200多年的微积分基础理论的争论。

“贝克莱悖论”提出以后，许多著名数学家从各种不同的角度进行研究、探索，试图把微积分重新建立在可靠的基础之上。法国数学家柯西通过《分析教程》（1821）、《无穷小计算讲义》（1823）、《无穷小计算在几何中的应用》（1826）这几部著作，建立起以极限为基础的现代微积分体系。但柯西的体系仍有尚待改进之处。比如：他关于极限的语言尚显模糊，依靠了运动、几何直观的东西；缺乏实数理论。法国数学家魏尔斯特拉斯是数学分析基础的主要奠基者之一，他改进了波尔查诺、阿贝尔、柯西的方法，首次用“ε-δ”方法叙述了微积分中一系列重要概念如极限、连续、导数和积分等，建立了该学科的严格体系。“ε-δ”方法的提出和应用于微积分，标志着微积分算术化的完成。为了建立极限理论的基本定理，不少数学家开始给出无理数的严格定义。1860年，魏尔斯特拉斯提出用递增有界数列来定义无理数；1872年，戴德金提出用分割来定义无理数；1883年，康托尔提出用基本序列来定义无理数等等。这些定义，从不同的侧面深刻揭示了无理数的本质，从而建立了严格的实数理论，彻底消除了希帕索斯悖论，把极限理论建立在严格的实数理论的基础上，并进而导致集合论的诞生。

2.3 第三次数学危机的产生及其影响

由于严格的实数理论和极限理论的建立，上述两次数学“危机”得到了解决。但是，由于严格的实数理论和极限理论都是以集合论为基础的，因而由集合论悖论所导致的第三次“危机”，可以看作是前两次危机的继续与深化，它所涉及的问题比前两次更为广泛，因而危机感也更为深刻。

1902年，英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素（B.Russell，1872～1970）宣布了一条惊人的消息：集合论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性!史称“罗素悖论”。1918年，罗素把这个悖论通俗化，成为“理发师悖论”（一个理发师声称将给城里所有不给自己理发的人理发。他应否给自己理发?可以证明：他应给自己理发，又不应给自己理发）。罗素悖论的发现，从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性。于是在数学和逻辑学界引起了一场轩然大波，形成了数学史上的第三次危机［4］。

罗素悖论：以S表示所有不以自身为元素的集合的全体。按照集合论的概括原则（构成集合的原则），S应该是一个集合。现在问S是否是S的一个元素?如果S∈S，则按照S的定义应有S不属于S；如果S不属于S，则按S的定义又应有S∈S。无论哪种情况都导致矛盾。罗素悖论动摇了集合论，也动摇了当时的数学基础。罗素悖论表明不能无条件承认概括原则，然而概括原则的改变将使集合论大为改观，因此对整个数学的影响是巨大的。

为了解决第三次数学危机，数学家们作了不同的努力。由于他们解决问题的出发点不同，所遵循的途径不同，所以在本世纪初就形成了不同的数学哲学流派，这就是以罗素为首的逻辑主义学派、以布劳威尔为首的直觉主义学派和以希尔伯特为首的形式主义学派。这三大学派的形成与发展，把数学基础理论研究推向了一个新的阶段。三大学派的数学成果首先表现在数理逻辑学科的形成和它的现代分支——证明论等——的形成上。

为了排除集合论悖论，罗素提出了类型论，策梅罗提出了第一个集合论公理系统，后经弗伦克尔加以修改和补充，得到常用的策梅罗——弗伦克尔集合论公理体系，以后又经伯奈斯和哥德尔进一步改进和简化，得到伯奈斯——哥德尔集合论公理体系。希尔伯特还建立了元数学。作为对集合论悖论研究的直接成果是哥德尔不完全性定理。

美国杰出数学家哥德尔于20世纪30年代提出了不完全性定理。他指出：一个包含逻辑和初等数论的形式系统，如果是协调的，则是不完全的，亦即无矛盾性不可能在本系统内确立；如果初等算术系统是协调的，则协调性在算术系统内是不可能证明的。哥德尔不完全性定理无可辩驳地揭示了形式主义系统的局限性，从数学上证明了企图以形式主义的技术方法一劳永逸地解决悖论问题的不可能性。它实际上告诉人们，任何想要为数学找到绝对可靠的基础，从而彻底避免悖论的种种企图都是徒劳无益的，哥德尔定理是数理逻辑、人工智能、集合论的基石，是数学史上的一个里程碑。

时至今日，第三次数学危机还不能说已从根本上消除了，因为数学基础和数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决。然而，人们正向根本解决的目标逐渐接近。在这个过程中还将产生许多新的重要成果，如概率论［5］。

3 数学悖论对数学发展的作用

由上述数学悖论所引起的数学史上的三次危机，都是数学深入发展的结果，许多数学家为消除危机作了不懈的努力。这些努力促进了数学的发展，促进了数学基础的研究。

对数学悖论的认识实际上是对数学这一科学历史局限性的认识；而解决数学悖论的过程则是发展认识并超载这种历史局限性的过程。正如黑格尔所说：“矛盾正是对知性的局限性的超越和这种局限性的消解”［6］。在数学和逻辑史上，每一次悖论的发现和相对解决，都推进了数学和逻辑的发展演化［7］。四色问题的发现也属此例。

［1］景天魁.社会认识的结构与悖论［M］.北京：中国社会科学出版社，1990.

［2］李文林.数学史教程［M］.北京：高等教育出版社，2000.

［3］张顺燕.数学的源与流［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［4］马丁·加德纳.从惊讶到思考—数学悖论奇景［M］.北京：科学技术文献出版社，1984.

［5］徐伯华.概率论诞生的思想历程［J］.咸阳师范学院学报，2006，21（4）：16-19.

［6］黑格尔.逻辑学：上卷［M］.北京：商务印书馆，1980.

［7］夏基松.西方数学哲学［M］.北京：人民出版社，1986.

〔编辑 李海〕

The Impact of Mathematical Paradox on the Development of Mathematics

HANG Li-feng
（Institute for hte History of Science and Technology，Inner Mongolia Normal University，Huhhot，Inner Mongolia 010022）

The three mathematical crises in the history of mathematics are caused by the mathematical paradox.This paper discusses mathematical paradox of the three caused the emergence and development crisis in mathematics and mathematical paradox of the role of the devslopment of mathematics.

hestory of mathematics；mathematical paradox；mathematical

G420

A

1674-0874（2011）01-094-03

2010-08-23

尚利峰（1980-），女，内蒙古乌兰察布人，在读硕士，研究方向：数学史。