李文胜 孙健美

（湖北汽车工业学院理学系，湖北 十堰 442002）

计算感生电动势的一种简洁方法

李文胜 孙健美

（湖北汽车工业学院理学系，湖北 十堰 442002）

介绍了在均匀圆对称磁场中，无限长直导线上感生电动势计算的一种新颖、简洁的方法.

感生电动势；磁场；概率

若均匀磁场被限定在半径为R的圆形区域内，且磁场随时间的变化率为该磁场中的“无限长”直导线，设导线被此圆所割的弦长为b，该弦所对应的圆心角为2θ，圆心到此弦的距离为h，如图1所示.考虑到导线的对称性，则其两端A、B间的感生电动势为对于放置在

图1 “积分法”计算用图

式中，Ek1和Ek2分别为r＜R和r＞R区域中的感生电场强度，其大小分别为：不难确定，上述感生电场的电力线是一组与此磁场同心的同心圆，其方向为逆时针方向.把Ek1和Ek2的表达式代入式（1），并考虑到积分元处电场Ek与dl之间的夹角，则式（1）变为

从图1中可见，R与r有以下关系式

由式（4）有

把式（3）和式（5）代入式（2）中，并利用关系cos α·sec α＝1，式（2）化简为

再利用b/2＝Rsin θ，h＝Rcos θ得到“无限长”直导线中的电动势大小为

其方向是由A指向B，即B点的电势高，A点的电势低.以上是通常的解法，因为用到了积分，我们不妨称之为“积分法”.

我们也可以从另一角度考虑，既然是“无限长”直导线，则是否可以想象其两个“端点”在无限远处相联而构成一个闭合的回路，通过计算回路中所穿过的磁通量对时间的变化率，求出此导线中的电动势.此想象是否合理，方法是否正确，还需加以证明.

为便于对照比较，取“无限长”直导线与原磁场的相对位置仍如图1所示.设此“无限长”直导线在“无限远”处相联，构成闭合回路ABCA，此回路围住磁场的区域1，如图2所示.设图2中区域1的面积大小是S1，由图中的几何关系可得

设以顺时针方向作为此回路的正方向，考虑到磁场的方向垂直纸面向里，且由法拉第电磁感应定律，可得该回路中电动势是

式（9）中的负号表示回路中的电动势方向与原所设回路的方向相反，即ABCA回路中电动势的方向是逆时针方向.对AB段而言，其电动势方向由B指向A.

图2 “概率法”计算用图

显然“无限长”直导线在“无限远”处相联还可以构成回路ABDA而围住磁场区域2，如图2所示.设区域2的面积大小为S2，由图中几何关系可得

仍取顺时针方向为此回路的正方向，同理由法拉第电磁感应定律，可以计算出回路ABDA中的电动势为

式（10）中的负号表示回路中的电动势与原所设回路的方向相反，即ABDA回路中电动势的方向是逆时针方向.对AB段而言，电动势的方向是由A指向B.

然而，实际计算时究竟是取ABCA回路，还是取ABDA回路？根据“无限长”直导线的模型，导线的两“端点”既可以在其下方的“无限远”处相联而构成回路ABCA，也可以在其上方的“无限远”处相联而构成回路ABDA，且构成这两个回路中的概率相等，都为1/2.设导线AB两端的电动势ε1、ε2是一随机变量，其概率分别为P1和P2，其分布满足表1.

表1 感应电动势的分布

根据数理统计的原理，导线AB两端的电动势期望值应为

由上面的计算可知，ε1的实际方向由B指向A与εAB反向，而ε2的实际方向由A指向B与εAB同向.因此在计算时，应取ε1＜0，ε2＞0，考虑到上述两个回路存在的概率各为1/2，所以P1＝P2＝1/2.把上述条件代入式（11）并考虑到（9）、（10）两式，可得“无限长”直导线AB两端的电动势为

第二种计算用到了概率的概念，我们不妨称之为“概率法”.比较式（12）和式（8）可见，对上述问题“概率法”和“积分法”所得的结果完全一致.

上面证明的是导线和磁场相交的情况，对于“无限长”直导线和上述特殊磁场的相对位置关系，还有两种情况：一是导线和磁场不相交，即导线在磁场以外的区域；二是导线通过圆形磁场的圆心.仿照上面的计算，容易证明，对于这两种情况，“概率法”和“积分法”所得的结果也完全相同.至此通过实例，我们就证明了用“概率法”求解上述问题的正确性.

综上所述，对于上述“无限长”直导线和圆对称均匀磁场，无论两者的相对位置如何，都可以使用“概率法”方便快捷地求出导线中的感应电动势.究其原因，一是“无限长”直导线的特殊性，二是法拉第电磁感应定律的普适性.使用“概率法”求解此类问题，无需知道感生电场Ek的具体表达式，避免了较复杂的积分计算，物理图像清晰，解题思路新颖，计算简单快捷.笔者在教学中介绍这一方法，受到了学生的欢迎.更重要的是这一新方法还扩充了直接使用法拉第电磁感应定律ε＝－dφ/dt求解感应电动势问题的类型.这对加深学生对有关概念的理解，培养学生创新思维的能力不失为一个有益的尝试，这一尝试在注重素质教育、倡导科技创新的今天具有积极的意义.

［1］ 马文蔚.物理学［M］ 中册 第四版.北京：高等教育出版社，2005

［2］ 梁之舜.概率论及数理统计［M］ 第二版.北京：高等教育出版社，2006

2009－08－23；

2010－04－13）

李文胜（1955年出生），男，湖北荆州人，湖北汽车工业学院副教授，主要从事物理教学与研究工作.