●黄根联 (职业技术学校 浙江浦江 322200)

近几年全国各地高考试题逐渐强调创新意识和应用意识的考查，强调理论与实践相统一.一些新颖的试题背景、类型在近几年的试卷中从无到有，从粗糙到精致，这些变化都体现了高考命题在有意识地将新课程的理念落实到高考试题中.最近几年的新课程高考变革，在稳定中求发展，在渐变中求提升.既重视了基础知识、基本思想方法的考查;又重视了数学本质、数学文化、数学精神的体现.命题专家精心设计了一批有特色、有味道、有思想的新颖、别致的能力型考题.

1 结论开放，培养学生的探究精神

“开放”是相对于“封闭”而言的，传统数学题多属封闭型.譬如一种明确的条件，一种确定的结论，甚至连解答过程和方法都是确定的.开放题与此相异.有的有明确的条件而无明确的结论，甚至连结果存在与否也不知道;有的有明确结论而无明确的条件，甚至连条件是否存在还不知道.研究性学习逐步在数学学科中渗透，它的精髓是开放式教学，在高考中的体现就是开放性试题，体现了数学活动的开放性和非常规化，以及活动过程中的探究性、实践性和创新性，是高考数学原创题命制的方向之一.一般考试题目的开放度是比较小的，这有利于评价的度的把握.开放可以分为条件开放、结论开放、解答方式多样等.

例1 已知函数f(x)=|x2-ax-b|(x∈R，b≠0)，给出以下3个条件：

(1)存在x0∈R，使得f(-x0)≠f(x0);

(2)f(3)=f(0)成立;

(3)f(x)在区间［-a，+∞)上是增函数.

若f(x)同时满足条件_______和_______(填入2个条件的编号)，则f(x)的一个可能的解析式为f(x)= ______.

分析当满足条件(1)和(2)时，y=|x2-3x+1|等;当满足条件(1)和(3)时，y=|x2+2x+1|等;满足条件(2)和(3)时，y=|x2+3x-9|等.

例2 如图1是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A，B，C，D这4个维修点某种配件各50件，在使用前发现需将A，B，C，D这4个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为( )

A.18 B.17 C.16 D.15

图1

图2

分析由图2，可得f=10+1+5=16.应选C.

探究将上述选择题改为探究题：

(1)请设计一个调动件次最少的方案，并说明理由;

(2)请找出调动件次最少的所有方案并说明理由.

点评本题的背景是运筹学问题，可以给出如下方程组解法：

设A→B件数为x1(当x1＜0时，为B→A，以下同)，B→C为x2件，C→D为x3件，D→A为x4件，则

这里，4个未知数满足3个独立方程，因此无法解出这4个未知数.由基本量思想，可用x1表示x2，x3与 x4，解得

故调动总件数为

其最小值为16.

2 定义新知，重视学生的创新意识

重视创新意识和实践能力的培养，这是增加到新大纲中的一项重要目的和基本原则.新大纲对创新意识和实践能力的含义作了必要的阐释，并提供了“实习作业”、“研究性课题”等教育手段和一些具体的教学方法.在此类题目中，将创新元素具体地落实到新定义、新运算中，与新课标理念完全吻合，也是高考命题的热点和必然趋势.

例3 在R上定义运算⊙：a⊙b=ab+2a+b，则满足x⊙(x-2)＜0的实数x的取值范围为( )

点评本题为定义新运算型试题，正确理解新定义是解题的关键.只要译出条件，就能转化为一元二次不等式求解.

3 素材改编，探求教材内容新意

以某些传统内容为载体进行适当改编，并赋予新意，设计出一些新颖的题目是近几年高考的一大亮点.此类试题形式新颖、解法多样.而新情境的创设是原创的，对所有学生都是公平的，同时还能较好地考查学生的综合能力，备受命题者的青睐.

例4 如图3，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0)，则导函数y=S'(t)的图像大致为( )

图3

分析本题考查函数图像、导数图像、导数的实际意义等知识，重点考查的是学生对数学的探究能力.此题的命题角度新颖、独特、创新，可以使用排除法求解，答案为A.

(1)求A，ω的值和点M，P间的距离;

(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长?

分析(1)依题意得

(2)在 △MNP 中，∠MNP=120°，MP=5.设∠PMN=θ，则0°＜θ＜60°.由正弦定理得

图4

又因为0°＜θ＜60°，所以当 θ=30°时，折线段赛道MNP最长，即将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长.

点评三角函数与实际应用性问题是近几年新课程高考命题的一个热点.

4 立意深刻，挖掘学生的学习潜能

近几年来，高等数学的基本思想、基本方法和基本问题为高考试题的命制提供了新的背景和新的思路.

例6 如图5，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C，D的定圆所围成的区域(含边界)，A，B，C，D 是该圆的四等分点.若点 P(x，y)，点 P'(x'，y')满足 x≤x'且y≥y'，则称点P优于点P'.如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其他点优于点Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧 ( )

分析由题意知，若点P优于点P'，则点P在点P'的左上方.因为当点Q在)DA上时，左上的点不在圆上，不存在其他优于点Q的点，所以点Q组成的集合是劣弧.应选D.

点评本题是新定义图形的一种解析几何模型的新颖题，实质是借助定义，确定点Q形成的图形，然后恰当地选择.

图5

5 信息交汇，培养学生的转换能力

信息试题是高考数学试题的创新源，信息题就是根据文字、图表、图形等给出的数据信息，通过整理、加工、处理等手段去解决实际问题的一类题目.在解答信息题时，首先要仔细阅读题目所提供的材料，从中捕捉有关信息(譬如数据间的关系与规律图像的形状特点、变化趋势等)，然后对这些信息进行加工处理，并联系相关数学知识，从而实现信息的转换，使问题顺利获解.

例7 记实数 X1，X2，…，Xn中的最大数为max{X1，X2，…，Xn}，最小数为mix{X1，X2，…，Xn}.已知△ABC的3条边长为 a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为

则“l=1”是“△ABC为等边三角形”的 ( )

A.充分而不必要的条件

C.必要而不充分的条件

B.充要条件

D.既不充分也不必要的条件

分析若△ABC为等边三角形，即a=b=c，则

因此l=1;若△ABC为等腰三角形，得

此时l=1仍成立.但△ABC不为等边三角形，所以选项B正确.

点评集合和常用逻辑用语中的信息问题也不例外.这方面试题的破解一要认真审题，二要结合集合、常用逻辑用语的意义.信息交汇问题因为涉及到的知识背景新颖，因此对考生而言更具公平性，破解时更需独立思考以分析、解决问题.

例8 若数列{an}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得am＜n成立，记这样的m的个数为(an)*，则得到一个新数列{(an)*}.例如，若数列{an}是1，2，3…，n，…，则数列{(an)*}是0，1，2，…，n-1，….已知对任意的 n∈N*，an=n2，则(a5)*= ______，((an)*)*= ______.

分析本题以数列为背景，通过创设适度开放，引导考生进行适度的推理探索，此类题型可以说是新课标高考数学试题的一大亮点.答案为2，n2.

点评高考命题对数学思维能力作了新的阐释，它不但包含了原大纲提到的三大数学能力，即逻辑思维能力、空间想象能力与计算能力，而且将其扩展为直观感知、观察发现、归纳类比、空问想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与构建等思维能力.这些正显示了对数学探究能力的更高要求，这一点不仅说明了我国对数学问题的研究在高考的促进下有了一定的发展，也为今后的教学指明了新的方向.

构图对新闻摄影作品的质量及实效性产生直接影响，良好的构图能够快速吸引观众视线，提升摄影作品的震撼力与影响力。[5]与艺术摄影对构图的要求不同，新闻摄影构图应以营造良好的现场感为主，使图片具有较强的视觉冲击力，需摄影人员良好地应用摄影技巧及艺术手法，提升摄影作品灵活性，使其具有独特的艺术感染力。

6 创设情境，体现学生能力差异

一些综合型的情境创设能给学生一个很好的施展才华、发挥能力的机会.高考是为高校招生而进行的选拔性考试，而此类以能力立意的创新试题非常适合设计一些既体现数学学科特点，又考查继续学习潜能的试题.既能很好地体现新课标的理念，又有利于实现数学高考的选拔功能，可谓一箭双雕.

例9 甲、乙2人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽1张.

(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙2人抽到的牌的所有情况.

(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少?

(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则乙胜.你认为此游戏是否公平，说明你的理由.

分析(1)甲、乙2人抽到的牌的所有情况(方片 4 用4'表示)为：(2，3)、(2，4)(2，4')、(3，2)、(3，4)、(3，4')、(4，2)、(4，3)、(4，4')、(4'，2)、(4'，3)、(4'，4)，共有 12 种不同情况.

例10 若A，B是抛物线y2=4x上不同的2个点，弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x＞2时，点P(x，0)存在无穷多条“相关弦”.给定 x0＞2.

(1)求证：点P(x0，0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同.

(2)试问：点P(x0，0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值?若存在，求其最大值(用x0表示);若不存在，请说明理由.

分析此题是一道综合创新题，结合了新定义、探索性等创新元素.

(1)设 AB为点 P(x0，0)的任意一条“相关弦”，且点 A，B 的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2)，则

因为x1≠x2，所以 y1+y2≠0.设直线 AB的斜率为k，弦 AB 的中点是 M(xm，ym)，则

从而AB的垂直平分线l的方程为

又由点 P(x0，0)在直线 l上，得

而 ym≠0，于是

故点P(x0，0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.

(2)由第(1)小题知，弦AB所在直线的方程是

代入y2=4x中，整理得

则x1，x2是方程(1)的2个实根，且

设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则

综上所述，当 x0＞3时，点 P(x0，0)的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2(x0-1);当2＜x0≤3时，点 P(x0，0)的“相关弦”的弦长中不存在最大值.

高考试题对创新意识的考查，主要是要求考生不仅能理解一些概念、定义，掌握一些定理、公式，更重要的是能够应用这些知识和方法解决数学和现实生活中比较新颖的问题.数学教育的目的不只是让学生掌握一些知识，也不是把每个学生都培养成数学家，而是把数学作为材料和工具，通过数学的学习和训练，在知识和方法的应用中提高综合能力和基本素质，形成科学的世界观和方法论.因此，高考试题加强对创新意识的考查，其意义已超出了数学学习，对提高学习和工作能力、对今后的人生都有重要的意义.