●邵梅生 (平阳中学 浙江温州 325400) ●杨光伟 (浙江师范大学教师教育学院 浙江金华 321004)

计数原理是高中数学选修课中的内容，在中学数学中知识相对独立、思维独特，一直占有重要的地位.基于2个计数原理的排列组合是解决计数问题的重要方法，学生在学习排列组合时很容易犯重复性错误，本文从数学理解的视角研究学生在组合推理中的困难表现，从教学层面分析造成理解障碍的原因.

1 理论基础

“数学理解”已经成为“问题解决”之后数学教育界所重视的一个中心话题.数学教育研究者与一线数学教师分别从不同的层次与视角研究和思考数学理解问题.表征模式的研究是把数学理解看作数学知识的内在心理表征，从符号表征及其形成过程的角度论述理解［1］.

不同的理解对象会有不同的表征.黄燕玲、喻平根据知识的3种形态将“数学理解”划分为陈述性知识理解、程序性知识理解和过程性知识理解这3种类型.陈述性知识是关于事实的知识，是有关“是什么”的知识;程序性知识是个人具有的有关“怎么办”的知识;过程性知识是伴随数学活动过程的体验性知识.他们认为：对一个陈述性数学知识的理解，是从知识的基本单元表征到形成命题网络，再到获得图式的过程.对程序性知识的理解，是指他建立了双向产生式和产生式系统.其中双向产生式是指，学生不仅知道“如果……，那么……”，而且还应知道在什么条件下使用这个“如果……，那么……”.对过程性知识理解的内核是学习者形成完善而深刻的关系表征和观念表征.关系表征是指个体对知识发展过程中知识存在某些关系的体悟;观念表征则是对知识之间发生关系的缘由的领悟［2］.

2 研究方法

本研究采用测试与访谈这2种研究方法.

2.1 测试卷的制定

本调查所采用的学生测试卷是根据Batanero等人的题目改编而成的，选择问题时考虑了以下因素：(1)组合模型：选择、分配和分割;(2)组合运算：全排列、排列、组合、重复排列;(3)元素的性质：字母、数字、人和物;(4)已知参数n和m的值;(5)问题的复杂程度：有限制、无限制、单一运算、复合运算.其中组合模型是法国学者Dubois提出来的，他将简单的组合结构归为选择模型、分配模型和分割模型［3］.调查的13个测试题的详细信息见表1所示.

表1 测试题的详细信息

在这13个题目中，除第7，8，12题之外均是无限制的组合问题，可用单一运算完成，而第7，8，12题是有限制的组合问题，要用到复合运算.

2.2 研究对象

参与问卷测试的对象是温州市平阳中学高三年级8个平行班的400名学生.平阳中学有着七十多年的办学历史，是省一级重点中学.参与访谈的学生有8人，这8名学生来自8个班级，成绩均在中上.

2.3 测试与访谈的实施

测试安排在2009年12月，在正式课堂上进行，时间控制在40分左右.在测试时，邀请所在班级的任课教师监考，尽量避免抄袭现象的发生.有8个班级共有400人参加了此次测试，，收回有效问卷398份.

在考试结束后的当天晚上，笔者从每个班级中抽取了8学生，依次进行交流访谈，这8名学生都犯了典型错误.在访谈时只针对他们做错的题目，尽量让学生详细地说出自己的解题思路与根据.教师针对学生阐述的情况，作进一步的提问与提示，观察学生是否能意识到解题中的错误.

3 测试结果分析

本文数据是把正确答案赋值为1，而把错误答案赋值为0，纵向计算出所有学生在每道题上的正确率，再利用Excel表格统计出学生的典型错误.从被试的正确率统计结果可得学生对于全排列、排列与有重复的选排列掌握较好，这3种运算的正确率均在0.9左右.而其他几种运算错误率较高.不同运算暴露出来的错误是否存在共性呢?经过统计学生在各题中犯的错误类型发现，学生在解决每一个问题普遍地犯了重复性错误，因此集中于对重复性错误的统计，如表2所示.

表2 各题中重复性错误的次数及占错误总数的平均百分比

从表2可知，重复性错误是最严重的错误，这与文献［4］调查统计的结论一致.这种有代表性与普遍性的错误，也许意味着学生对排列组合知识理解中存在某种缺陷.笔者特摘录下学生的解题过程，以寻找导致了重复性错误的原因，如表3所示.

表3 重复性错误中的典型做法及平均百分比

从表3可知学生在解决计数问题时，使用分步计数原理的频率较高，对于全排列、排列及有重复的选排列掌握得较好，原因就在于这3种排列实际上是分步乘法原理运用中的一些计数模型，它们均能用分步原理来处理，而且不会出现重复.犯重复性错误的原因主要在于不恰当地使用了分步乘法原理，其中比较突出的是第12题.由于解题方法的不同，学生给出了多种答案，但错误的性质却是一样的.对于第8题，表面上看是犯了遗漏错误，但从剩余的9双中取2双采用了分2步取却造成了重复，因此从解题思维过程来分析这种错误应当是重复性错误.从上述分析可知，学生并不理解分步计数原理的本质，在应用原理时，只停留在原理的文字语言表征上，把口头语言中的“先，然后”或“第1步，第2步，…”等同于计数原理中的分步，这导致了解题中的重复性错误.

4 对访谈内容的分析

从访谈知学生对于有重复元素的全排列与组合错误率较高，主要原因在于学生在审题时对于元素是否互异关注不够.但在教师的提醒下，学生能很快地意识到这种错误，并给予纠正.然而由分步原理导致的重复性错误却很难意识到，即使在教师的提醒下，学生对错误有了认识，当问题改变时，还是会不自觉地犯重复性错误.

学生在解决计数问题时，很少有检验反思的习惯，访谈中的8个学生在解题之后都没有检验的意识.对于分步计数原理的内容基本上采用语言叙述，很少给出图形或符号表征，表现在解决问题时，给出分步后，马上写出乘法式子.

5 研究结论

5.1 学生对排列组合的理解情况

(1)对组合推理中的陈述性知识的表征方式较单一，表征内容不准确.学生混淆了排列、组合与排列数、组合数的概念，对符号，的表征以动作操作为主，没有自觉意识到排列组合概念中元素互异性的特征.而对2个计数原理的内容采用语言表征为主，没有深刻理解分步计数原理中“步”的意义.

(2)对组合推理中的程序性知识未能达到双向产生式.学生虽然有解决计数问题的程序性知识：先把问题分类或分步，再采用相应的计数原理.但对于什么是合理科学的分步并不清楚，未能体会到分步是适用于求解有序问题.

(3)对组合推理的过程性知识缺少体验，未能达成观念表征.学生在组合学习中缺少数学探究、自主活动的过程，不能体会分步原理是解决有序问题的方法，也不能体验到蕴含在计数问题背后的集合对应的思想.

5.2 学生理解排列组合的障碍成因

计数能力是与生俱来的，对于一个没有学过组合概念的学生来说，也可以解决简单的计数问题.而系统地学了组合知识后，学生虽然增强了计数的技能，却出现了很难克服的错误.

(1)教师对组合知识理解的不全面导致了教的不足.许多教师并不清楚组合问题的各种运算模型，这就导致了在教学时未能对元素的互异性进行强调.学生解题时也较少关注元素是否互异的信息.其次，教师没有认识到组合知识与其他知识之间的联系，没有意识到计数问题背后的集合对应思想，在解决计数问题时，较少从集合对应的观点来解释一种计数方法的可行性.这使得学生在组合推理时失去了数学思想的指引，不能深刻地反思到重复性错误的成因所在，从而导致了错误的顽固性.

在计数问题的解决过程中，教师提供给学生更多的是一种程序化地操作模式：先把事情分类或分步，再选择加法或乘法得出计数结果.同时由于教师在教学中给学生提供大量的操作机会，学生一旦对方法熟练后，就不再考虑它们或再检验它们.从学生的访谈中可以明显地看出学生解题时出现了功能的固定性.

(2)教师在概念教学时，未能提供多样化的表征机会与充分的变式.教师过高估计了学生的理解能力，导致了在原理教学时进行了过快的抽象.计数原理是个抽象的概念，不像函数或向量知识一样具备“形”的特征，这使得学生只能采用单一的语言表征.而教材采用的文字语言表征中的“步”不能明确体现出有序性，这就容易造成概念的泛化［6］.

在学生获得原理后的练习中，教师未能及时提供充分的变式，促进学生思考分步的意义.教师在一开始教学时，提供的问题情境都是刚好适合分步计数原理来解决的.这就无法暴露出学生理解中的“潜在错误”.如果学生在练习中得不到反例的辨析与反思，缺陷的理解得到强化，那么在后续学习中暴露出错误后，纠正就变得很困难，因为要破除一个旧观念远远比接受一个新观念要困难得多［7］.

［1］ 蔡庆有，刘忠东.对数学理解两种研究模式的探讨［J］.井冈山学院学报，2007(8)：23-25.

［2］ 何小亚.数学学与教的心理学［M］.广州：华南理工大学出版社，2003.

［3］ 杨光伟.对排列组合教学的一点建议［J］.数学通讯，2004(15)：12-14.

［4］ 胡海霞.影响高中生组合推理的因素［D］.华东师范大学，2006.

［5］ 郭朋贵，陈敦莹.数学学习中的理解障碍及其对策分析［J］.高等函授学报：自然科学版，2005(6)：39-41.

［6］ 曹才翰，章建跃.数学教育心理学［M］.北京：北京师范大学出版社，2006：209.

［7］ D.A.格劳斯.数学教与学研究手册［M］.陈昌平，王继延，陈美廉，等译.上海：上海教育出版社，1999.