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对一道数学自主招生题的探究

2010-08-27启东中学江苏启东226200

中学教研(数学) 2010年11期
关键词:启东证法正数

●金 山 (启东中学 江苏启东 226200)

2008年南京大学数学自主招生考试中有这样一道试题:

问题 若正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:

证明由均值不等式得

由上述证明过程可知,原不等式可推广为:

下面给出推广1的另外2种不同的证明方法.

设 f(x)=ln(x2+1),x∈(0,1),则

由f″(x)>0知f(x)在(0,1)上是凸函数,由琴生不等式得

另外,由均值不等式得

把式(2),式(3)代入式(1)得

故原不等式获证.

证法2 原不等式等价于

由均值不等式得

代入式(4)左边得

故原不等式成立.

证明首先证明

根据均值不等式得

两式相加得

由推广2的证明过程,还可进一步探究得到有关结论:

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