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构造一次函数解证不等式问题

2010-08-27华腾飞黄湾中学安徽灵璧234213

中学教研(数学) 2010年11期
关键词:正数等价证明

●华腾飞 (黄湾中学 安徽灵璧 234213)

构造一次函数解证不等式是一种强有力的工具.下面举例说明之,希望对大家能够有所启迪.

1 求参数范围

例1 已知函数y=(x-1)log23a-6log3ax+x+1,其中当 x∈[0,1]时,函数恒为正,求 a的取值范围.

分析选x为主元,构造一次函数

一次函数恒为正的充要条件为

分析依题意得a=b=1-c,于是

评注上述2个例子若不变换主元,则需进行分类讨论,运算过程非常冗长,不利于构造参数不等式求范围.

2 解不等式

例3 设不等式x2+px+1>3x+p对一切满足|log2p|<2的值均成立,解此不等式.

分析转换视角,将不等式中的p视为主元,则原不等式可变形为

问题转化为关于p的一次函数为正数时系数的讨论.显然x≠1,因此 f(p)是 p的单调函数,使得f(p) >0( p ∈ (1

,4 ) )成立的充要条件为4

3 证明不等式

例4 设d为正数a,b,c,d中的最大数,求证:

证明构造一次函数

从而无论一次函数f(x)是增函数还是减函数,当x∈(-1,1)时,恒有 f(0) >0,即

于是问题获证.

证明原不等式等价于

由三角形两边之和大于第三边及a+b+c=1,可知

构造一次函数

例9 已知 a,b,c是△ABC的3条边长,若△ABC的周长为2,求证:a2+b2+c2+2abc<2.

证明由已知条件a+b+c=2易知,原不等式等价于

又由三角形两边之和大于第三边及a+b+c=2,

可知

为此可构造一次函数

于是对0<x<1,都有f(x)<0,即

例10 试证:如果对于所有的x∈[-1,1],不等式|ax2+bx+c|≤1成立,那么对这些x的值,不等式|cx2-bx+a|≤2也成立.

证明由绝对值不等式,得

令g(x)=-bx+a+c,则只需证明g(x)≤1,对于x∈[-1,1]成立.由 g(x)在[-1,1]上的图像可知

又由已知当x=0时,|c|≤1,得例11 已知a,b,c是实数,函数

当 -1≤x≤1 时,|f(x)|≤1,求证:当 x∈[-1,1]时,|g(x)|≤2成立.

所以对于函数 g(x)=ax+b,x∈[-1,1],有

例12 正数 a,b,c,A,B,C 满足条件 a+A=b+B=c+C=k,证明:aB+bC+cA < k2.

(1)先证左边的不等式,可构造一次函数

(2)再证右边的不等式,可构造一次函数

由以上数例可以看出一个共同特点:对于难度较大的不等式问题,通过将已知条件经过适当的逻辑组合构造出一次函数,利用一次函数的性质可使问题简捷获解.当然,前提条件是必须进行巧妙地变形,同时还需要灵活地构造一次函数,利用其在有界区间上的函数值的有界性进行判断和证明.因为函数与方程、不等式关系非常密切,巧妙构造辅助函数解题在不等式中具有独特的作用.

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