张安梅,初 颖,白素良

(通化师范学院 数学系，吉林 通化 134002)

1 引言

通常假设在一定的时间内种群生存和开发是连续的，但这不能准确的反映在生态系统中季节性和瞬时的开发等问题．在许多物种中，其个体都可以分为幼年和成年两个阶段．本文研究所用的系统模型如下:

(1)

其中，x1(t),x2(t)分别表示幼年和成年种群在t时刻的种群密度，α表示幼年种群的出生率，β表示幼年种群转化为成年种群的转化系数，表示幼年种群的密度制约系数，分别表示幼年和成年种群的死亡率.

首先，研究具有年龄结构的单种群模型(1)的脉冲控制．

其次，对成年捕获模型

{1(t)=αx2(t)-
γ1x1(t)-βx1(t)-ηx21(t);
2(t)=βx1(t)-γ2x2(t)-hx2(t).

(2)

其中，h是捕获努力量．及对幼年捕获模型

{1(t)=αx2(t)-γ1x1(t)-
βx1(t)-ηx21(t)-Ex1(t);
2(t)=βx1(t)-γ2x2(t).

(3)

其中，E是捕获努力量，分别进行研究，给出对应的最优捕获策略．

2 模型的建立

利用脉冲微分方程的比较原理，通过状态反馈和输出反馈，对具有年龄结构模型(1)变换后的系统(6)进行了脉冲控制，分别得到了使系统(1)在正平衡点x**=(γ2(a-b)/η,β(a-b)/η)，(a>b)渐近稳定的充分条件．

{1(t)=αx2(t)-γ1x1(t)-
βx1(t)-ηx21(t),x1(t0)=x10;
2(t)=βx1(t)-γ2x2(t),x2(t0)=x20.

(4)

其中x1(t)>0,x2(t)>0.

{1(t)=ax2(t)-bx1(t)-x21(t),
x1(t0)=cx10>0;
2(t)=x1(t)-x2(t),x2(t0)=
dx20>0.

(5)

其中，a=αβ/γ22,b=(γ1+β)/γ2,c=η/γ2,d=η/β.

(6)

通过状态反馈对系统(6)进行脉冲控制，得到模型

(7)

其中，τk满足0<τ1<τ2<…<τk<…,τk→∞(k→∞)，τ+k为脉冲后的时刻．

3 脉冲控制

系统(7)可以写成如下矩阵形式

{=A+Φ(),t≠τk;
△=B,t=τk;
(t0)=0.

(8)

1-1],Φ()=[-21,0]T,B=[B10

0B2],0=[cx10-(a-b),dx20-(a-b)]T.

定理1[1]对于脉冲控制系统(8)，(a-1)2>4(a-b)如果控制矩阵B中的控制变量B1,B2及脉冲控制区间满足

(i)-1

(ii)[μ+2(a-b)](τk+1-τk)≤-ln(γδ).

则系统(8)的原点是渐近稳定的(即系统(1)在正平衡点x**=(γ2(a-b)/η,β(a-b)/η)是渐近稳定的)．其中μ是AT+A的最大特征值，δ=max{(1+B1)2,(1+B2)2},γ>1,a=αβ/γ22,b=(γ1+β)/γ2,C=η/γ2,d=η/β．

利用输出反馈对系统(6)进行脉冲控制，得到下面模型

y1=C11,y2=C22,t≠τk;

(9)

其中,y1,y2是系统的输出变量,C1>0,C2>0． 同理可得到下面的定理．

定理2[2]对于脉冲控制系统(9)，(a-1)2>4(a-b)．若控制矩阵B中的控制变量B′1,B′2及脉冲控制区间满足

(i)-1

(ii)[μ+2(a-b)](τk+1-τk)≤-ln(γδ).

其中μ是AT+A的最大特征值，并且δ=maxi=1,2{(1+BiCi)2}<1,r>1则系统(9)在原点是渐近稳定的(即系统(1)在正平衡点x**=(γ2(a-b)/η,β(a-b)/η)是渐近稳定的)．其中a=αβ/γ22,b=(γ1+β)/γ2,c=η/γ2,d=η/β．

4 优化问题

4.1 成年种群捕获的情况

系统(2)存在平衡点，是方程组

{αx2(t)-γ2x1(t)-βx1(t)-ηx21(t)=0

βx1(t)-γ2x2(t)-hx2(t)=0

(10)

的解．

易知O(0,0)是系统(2)的一个平衡点．

定理3 当αβγ1+β-γ2>h时，系统(2)存在唯一正平衡点且是稳定的结点．

证明 由于方程组(10)有解(x1h,x2h)，其中

x1h=1η[αβγ2+h-γ1-β],

x2h=1ηβγ2+h[αβγ2+h-γ1-β].

因此,当βγ1+β-γ2>h时为正平衡点.同理可证，这唯一的正平衡点是稳定的结点，故当捕获努力量h≥αβγ1+β-γ2时，种群因为过渡开发而灭绝．

在系统(2)中，是以最大可持续均衡收获为管理目标的．相应于捕获努力量h的可持续均衡收获为

Y(h)=hx2h=hβη(γ2+h)[αβγ2+h-γ1-β].

令Y′(h)=0，解得h*=γ2(αβ-γ1γ2-βγ2)αβ+γ1γ2+βγ2.

为最优捕获努力量，由此可得最优种群密度

x*2h=(αβ-γ1γ2-βγ2)(αβ+γ1γ2+βγ2)4αηγ22.

最大可持续均衡收获为

YMSY=(αβ-γ1γ2-βγ2)24αηγ2.

4.2 幼年种群捕获的情况

系统(3)存在平衡点，是方程组

{αx2(t)-γ1x1(t)-
βx1(t)-ηx21(t)-Ex1(t)=0
βx1(t)-γ2x2(t)=0

(11)

的解．易知O(0,0) 是系统(3)的一个平衡点．

定理4 当αβγ1+β-γ1-β>E时，系统(3)存在唯一正平衡点且是稳定的结点．

证明 由于方程组(11)有非零解(x1E,x2E)，其中

x1E=1η[αβγ2-γ1-E],
x2E=1ηβγ2[αβγ2-γ1-β-E].

故 当αβγ1-γ1-β>E时为正平衡点．

J(x1E,x2E)=[-γ1-β-2ηx1E-Εα
β-γ2]=
[-αx2Ex1E-ηxEα
β-βx1Ex2E].

矩阵的特征值满足方程

λ2+[(αx2Ex1E+ηx1E)+βx1Ex2E]λ+
(αx2Ex1E+ηx1E)βx1Ex2E-αβ=0.

不妨设方程的两根为λ1,λ2.则就有

λ1+λ2<0,λ1λ2>0.

且

△=[(αx2Ex1E+ηx1E)+βx1Ex2E]2-
4(αx2Ex1E+ηx2Ex1E)βx2Ex1E+4αβ=
[(αx2Ex1E+ηx1E)-βx1Ex2E]2+4αβ>0.

故λ1<0,λ2<0,(x1E,x2E)是稳定的结点．

易知,当αβγ2-γ1-β≤E时种群因为过渡开发而灭绝．

捕获是以最大可持续均衡收获为管理目标的，因此相应于捕获努力量E的均衡收获函数为

Y(E)=Ex1E=Eη[αβγ2-r1-β-E].

令Y′(E)=0 解得E*=αβ-γ1γ2-βγ22ηγ2.为最优捕获努力量，由此得到最优种群密度

x1E*=αβ-γ1γ2-βλ22ηγ2.

Y(E)的最大值为YMSY=(αβ-γ1γ2-βγ2)24η2γ22.

即最大可持续均衡收获为

YMSY=(αβ-γ1γ2-βγ2)24η2γ22.

参考文献：

[1]张安梅,等.基于年龄结构的种群系统的最优收获控制[J].数学的实践与认识,2009,39(24):10-15．

[2]Chen L S. Models and research methods of mathematical ecology[M].Beijing: Science press,1998.199-231．

[3]Chen L S, Chen J. Nonlinear biodynamical system[M].Beijing: Science press, 1993.215-226．

[4]Clark C W. Mathematical biocenology the optimal management of renew able resource[M].New York:John Wiley & Sons, 1990.245-296．

[5]Song X Y, Chen L S. Optimal harvesting policy for a two species competitive system with stage structure [J]. Mathematical Biosciences．