张 超,张云凌

(1.河北北方学院理学院数学系,河北张家口075000;2.张家口市第一中学,河北张家口075000)

在现实生活中,存在大量的最优化问题,将它们抽象成优化模型后,大都可以归结为求全局解的问题,从而促使在最近二三十年里,全局最优化以惊人的速度在许多领域取得了快速发展,许多新的理论及算法被广泛的应用于科学和工程中遇到的难题上,特别是最近出现的全局优化方法[1]作为强有力的工具被成功的应用于人们的生产和设计问题中.在解决最优化问题的众多方法中,填充函数法是比较有效的一种方法.本文将讨论使用填充函数法求解带一般约束的全局优化问题[2].

1 构造新填充函数

假设 f(x)在 Rn上连续可微且满足强制性条件(x) =+∞,并且存在一个有界闭区域Ω⊂Rn包含了f(x)所有的全局极小解,除此之外还假设局部极小解的个数为有限个 (每个极小解都是孤立的).

本文就要求解的问题 (P)给出了以下三个假设条件:f(x)是连续的;f(x)有有限个局部极小值;S是连续区域.

在第二条假设中,尽管 f(x)有有限个局部极小值,但是却有可能拥有无限个局部极小解[3].

定义1 假设x＊是f(x)的当前局部极小解,L(x,,ε)被称为f(x)在点处的填充函数,如果它满足以下的性质:

(1)x＊是L(x,,ε)的最大解,且f(x)的整个谷域为L(x,,ε)山域的一部分;

(3)如果f(x)在x＊存在一个比低的谷域B＊,那么在B＊中存在一个点x′使L(x,,ε)在和的连线上取得最小,是 x＊的某个领域中的任意一点.)

注意到定义中的第三条与多年前葛仁浦首次提出的填充函数[4]的概念有所不同,与相连的不是一个点而是 x＊的某个领域的每个点.

下面就是本文所构造的填充函数:

x＊是问题 f(x)的当前局部极小解,ε是一个大于0小于1的正常数.

考虑下面的一般约束化问题:

其中 f(x)是连线可微函数,s={x∈Rn|gi(x)≥0,i=1,2,…,m;hi(x)=0,j=1,2,…,l},

2 填充函数的证明与相关定理

参数ε是一个属于区间 (0,1)之间的数.从以上的证明看出,在计算过程中ε是不用调整的,可以是一个预先给定的非常小的正数.经反复的实验发现:当逐渐变小时,计算效果会越变越好.

3 算 法

根据前面的分析于证明,下面将给出一个实际的算法[8],来求解所构造的新的填充函数,以便得到优于当前最优解得更好的解.具体算法描述如下:

Step1 随机选取一点x∈X,从该点出发在S中最小化f(x)得到了问题(P)的一个最小解x1＊,令ε取一个非常小的正数,另外选一个整数NL.

Step3 如果N≥NL,转到Step6.

Step5 通过初始点x′在集合S中最小化f(x),并且得到了f(x)的一个局部最小解.令=然后就回到Step2.

Step6 停止计算,分别输出问题(P)近似的全局最优解和相应的全局最优值f().

[1] Zhang LS,Ng C,Li D,et al.A new filled f unction method for global optimization[J].Global Optim,2001,20：49-65

[2] 申培萍.全局优化方法 [M].北京：科学出版社,2006：152-209

[3] Han QM,Han JY.Revised filled function methods for global optimization[J].Appl Math Comput,2001(119)：217-228

[4] Ge RP.A filled function method for finding a global minimizer of a f unction of several varables[J].Math Program,1990,46：191-204

[5] 姚亦荣,韩伯顺,张连生.寻求全局最优解的一个新的填充函数 [J].上海大学学报,2006,(09)：308-312

[6] Ge RP,Qin YF.A class of filled f unctions of finding global minimizers of a f unction of several variables[J].Optim Theory Appl,1987,52：240-252

[7] Ge RP,Qin YF.The golball convexized filled functions for global optimization[J].Appl Math Comput,1990,33：131-158

[8] Zhang LS,Wolfe MA.An interval algorithm for nondifferentiable global optimization[J].Appl Math Comput,1994,63：101-122

[9] Zhu WX.A class of filled functions irrelevant to the number of local mini-mizers of global optimization[J].System Math Sci,2002,22(04)：406-413