贾善坡，许成祥

(长江大学城市建设学院，湖北 荆州 434023)

油气管道设计的可靠度反分析方法

贾善坡，许成祥

(长江大学城市建设学院，湖北 荆州 434023)

针对结构可靠性反分析问题，提出了用于计算可靠度的最优化方法，采用约束最优化法建立了可靠度反问题的计算模型。以压力管道为例介绍了可靠度反问题的应用，采用最优化法对管道作了可靠性及相应的反问题计算，并对结果进行分析。算例证明了该方法的有效性和适用性，可用于解决结构可靠度的反分析问题。

可靠度；反问题；管道；优化

在工程实践中，由于计算模式的误差、材料的变异、人为的误差使得管道设计出现大量的不确定因素。只有考虑了结构的外部荷载、结构中的物理参数及几何参数的不确定性的影响，才可以定量地确定管道的可靠概率。至今出现的有关可靠度计算的问题，绝大部分都属于正分析问题，即在给定设计参数的统计特性的情况下，对结构或构件进行可靠度分析，并估算实际工程的可靠度。但是，有许多问题是在给定结构的目标可靠指标的基础上，反算出结构所需的材料参数和几何参数。可靠度反分析问题包括均值和标准差的确定、或者已知变异系数求均值、已知均值求标准差等问题。目前，国外已有这方面的研究成果[1,2]，而在国内很少有报道[3]。笔者研究了基于最优化方法的可靠度反分析问题，推导出设计变量的迭代公式，并用算例证明了该方法的有效性和正确性。

1 基于最优化方法的可靠度计算

s-r干涉模型(应力-强度干涉模型)在可靠性计算中是最为常用的一种模型。在此模型中，s是应力随机变量，指广义应力，它代表产生失效的推动力；r是强度随机变量，指广义强度，表示抵抗失效的阻力。

在sgt;r，即应力超过强度时，表明结构处于不可靠状态，将产生失效，它们的概率分布函数分别为fs(s)和fr(r)，由数学推导可知，其失效概率Pf为[4]:

(1)

结构可靠度问题一般以基本随机变量形成的向量表示，这个向量包括如荷载、环境因子、材料特性、结构尺寸以及建模和预测误差而引入的多个随机变量。在压力管道可靠度分析中，管道的极限状态是由功能函数表示的，其表达形式为:

Z=G(X)

(2)

(3)

(4)

2 可靠度反分析方法

所谓可靠度反问题，就是已知结构的可靠度，需要确定设计参数，以达到在一定的保证率下，结构的抗力不低于荷载效应。因而问题可以看作是在指定可靠度指标的前提下，求解极限状态方程中影响结构的某些设计参数。对于目标可靠度指标β，反问题可以表示为：

给定：可靠度指标β

满足：

min(uTu)=β2G(u)=g(x,d)=0

(5)

式中，u为随机矢量X经当量正态化的标准正态向量，u=(x,d)，d为待求的设计参数；x为已知的随机变量。

在可靠度分析的FORM法[4]中，可靠度指标表示为：

(6)

则可以得出u的表达式为：

(7)

(8)

由式(8)可得：

(9)

给定u和d的初始值，计算功能函数相应的梯度，由式(9)得到一个新的向量u，同时满足uTu=β2；继而得到新的d值，重复上述过程，直至u和d全部收敛。对于多个设计参数问题，可利用上述原理，同时结合最优化算法进行迭代计算。如果约束条件与设计参数的个数相等，可以得到唯一解，如果约束条件数多于设计参数，则需要优化计算。

3 算例分析

以油气管道为例，对其可靠度反问题进行分析。管道随机变量的概率分布、均值、标准差及变异系数如表1所示。在内压作用下，引起管道破坏的主要形式为塑性屈服破坏，应力分布达到了屈服极限，此时应用Von Mises屈服准则。笔者拟应用Von Mises屈服准则来进行判断：

(10)

式中，σs为材料的屈服强度；σ1、σ2、σ3分别为作用在管道上的3个主应力。

若管道某点的应力状态满足式(10)，则该点就首先发生屈服。对于平面应变问题，Von Mises屈服准则可表示为：

|σr-σθ|=1.154σs

(11)

式中，σr为径向应力；σθ为周向应力。可由式(11)对套管是否损坏进行分析，当|σr-σθ| gt;1.154σs时，套管处于屈服状态，将发生变形损坏。

压力管道的可靠度是其强度大于载荷效应，决定可靠度大小的功能函数为：

G(X)=σs-σseqv

(12)

式中，σseqv为有效应力，即Mises应力。

根据弹性力学理论[5]，管道在内压作用下的应力计算值为：

(13)

式中，a为管道的内半径；b为管道的外半径；p为管道所受的内压。

由式(13)可以看出，最大有效应力在管道的内壁处。因此，根据式(11)和式(13)，式(12)可表示为：

表1 随机变量分布及验算点

(14)

采用优化法对管道进行可靠度分析，经过63次迭代，最终得到可靠度指标β=1.3896，对应的可靠度为91.7674%，验算点的迭代终值见表1，笔者分以下2种情况对设计参数进行反分析：

1)情况1 以管道可靠度指标β=1.3896为已知条件，假定内压的变异系数为设计参数，均值为10MPa，服从正态分布，其余变量的分布形式、均值、标准差及变异系数如表1所示。现在利用前面介绍的设计参数可靠度反问题的求解方法计算内压的变异系数，初始值为0.30，迭代的收敛精度为10-3，经过71次迭代，结果收敛至要求精度，各随机变量的迭代结果如表2所示。迭代终值为0.1978，为了验其精度，将内压的变异系数0.1978代入式(6)，对管道进行可靠度正分析，可得目标可靠度指标为β=1.3969，对应的可靠度为91.8781%。

表2 情况1迭代结果

2)情况2 以管道可靠度指标β=1.3896为已知条件，假定管道的屈服强度均值为设计参数，屈服强度的变异系数为0.1，服从正态分布，其余变量的分布形式及均值、标准差及变异系数如表1所示。现在可靠度反问题的求解方法计算屈服强度均值，初始值为245MPa，经过65次迭代，结果收敛至要求精度，各随机变量的迭代结果如表3所示。迭代终值为251.5399MPa，为了验其精度，将屈服强度均值251.5399MPa代入式(6)，对其进行可靠度正分析，可得目标可靠度指标为β=1.3816，对应的可靠度为91.6449%。

表3 情况2迭代结果

4 结 语

笔者所提出的可靠度反分析法在通常情况下收敛速度较快、计算精度较高，将可靠度反问题用于管道的设计，在理论上是可行的，从而可以避免繁琐的调整工作，对管道的优化设计具有一定的指导意义。该分析方法具有普遍意义，可应用于其他类型结构的可靠度反问题。对于多个设计参数的可靠度反分析问题，需综合考虑结构的多个失效模式，每个失效模式对应于一个功能函数，将其作为等式约束条件，利用最优化可以反求出多个设计参数。

[1]Der Kiureghian A，Zhang Y，Li C C. Inverse reliability problem[J]. J of Engineering Mechanims, 1994,120:1154～1159.

[2] Hong Li. An inverse reliability method and its application[J]. Structure Safity, 1998，20:257～270.

[3]沙丽新,石雪飞.可靠度及其反问题理论在桥梁中的应用[J].建筑技术开发,2003,30(3):19～21.

[4]赵金洲，喻西崇，李长俊.缺陷管道适用性评价技术[M].北京：中国石化出版社，2005.150～191.

[5]吴家龙.弹性力学[M].北京：高等教育出版社，2001.144～167.

[编辑] 易国华

2009-08-11

贾善坡(1980-)，男，2002年大学毕业，博士，现从事油气防灾减灾及油气工程力学方面教学与研究工作。

TE114.3

A

1673-1409(2009)04-N091-03