王月琴

[关键词]曲线方程；直角坐标系集合；约束条件；标准形式一般方法

[中图分类号]G633.6

[文献标识码]A

[文章编号]1004-0463(2009)05(A)-0052-02

学生学习的过程是学生能动地解决问题的过程，教师的职责不仅仅是给学生传授教科书上的知识，更重要的是引导学生能动地解决问题，逐步达到自觉运用知识的水平，受心理素质和认知水平的限制，同一问题不同学生的理解程度是不同的，因而，如何把握这些教学中的客观因素。有意识地选取素材，提炼主题，通过具体实践，充分激发学生解决问题的能动性，刻意培养学生的心理素质，引导学生探求、总结解决问题的办法，从而提高学生解决问题的能力，是教师永远研究的课题，现结合解析几何教材中求曲线方程这一问题进行讨论。

在解析几何中，课本上总结出来的求曲线方程的步骤是：

(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任一点M的坐标；

(2)写出适合条件尸的点肥的集合；

(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)=0；

(4)化方程f(x，y)=0为最简形式；

(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

根据情况可以省略步骤(5)，根据情况也可以省略步骤(2)，在课本所列的这些步骤中，条件“尸太抽象，可具体化为约束条件，在论证曲线与方程的关系时，使用集合形式便于表达这两者之间的关系，在求曲线方程式时，主要由约束条件坐标化写出方程，所以，可以把(2)(3)两步合并成：把约束条件坐标化，写出方程f(x，y)=0，于是可把求曲线方程的步骤概括为：

(1)建立适当的坐标系，设曲线上任一点M的坐标为(x，y)；

(2)把约束条件坐标化，写出方程f(x，y)=0；

(3)化简方程f(x，y)=0。

这三个步骤是简约而具体的，但是，没有经过实践，学生无法理解每个步骤所示内容的深刻性，因此，本人结合作业有意识地给出以下三个类型的习题：

①点M到点A(4,0)和点B(-4，0)的距离之和为12，求点M的轨迹方程。

②两条直线分别绕着定点A和B(AB=2a)在平面上转动，并且转动时，两条直线保持相互垂直，求两条直线的交点P的轨迹方程，(提示：以点A为原点，AB所在直线为x轴建立坐标系；以点z为原点，AB所在直线为X轴建立坐标系；以线段AB的中点为原点，AB所在直线为X轴建立坐标系。)

③两个定点的距离为6。点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程。

大部分学生对①、②题完成较好，而解决③题时出现的问题较多，归纳起来有如下几种情况：A没有建立坐标系而解题，B以其中一定点为原点建立坐标系，C以线段AB的中点为原点建立坐标系。

建立坐标系的过程，实际上是选择坐标系的过程，这是通过所给的三类题目的实践得到的心得，故可把“建立”一词理解为：为了解决问题，我们主动地去选择坐标系，强调我们主动地去解决问题，为了很好地(以最简单的形式)解决问题，需要选取适当的坐标系，“适当”的目的就是为了使方程简单，所以“适当”的原则就是充分利用对称性，这样的说法旨在激发学生的能动性，从心理上减轻他们解决实际问题的压力，提高他们实践的主动性。

同时还有一个非常基本的问题，即同一图形在不同的坐标系下，有不同的方程，既然图形相同，为什么方程不同?(有意引导，主线控制)，显然，这里所说的图形相同是指图形的形状相同，但在不同的坐标系中，它们相应的位置是不同的，所以方程不同，可见方程除反映图形的形状之外，还反应了图形的位置，可见几何特征(图形的形状、位置)一定反应在代数特征上(方程的形式与系数)，反之亦然，第二次总结出求曲线方程的三个必要步骤：

(1)选择适当的坐标系，设曲线上任一点M的坐标为(x，y)；

(2)把约束条件坐标化，写出方程f(x，y)=0；

(3)把方程f(x，y)=0化简，整理成最简形式或标准形式。

这个步骤旨在引导学生理解课本上所列出的步骤，经过第二次总结后，又经历了具体实践，逐句逐词推敲并总结心得，从而培养了学生阅读理解、归纳总结、深化主题、完善表达的能力，并且又提出了新的问题：什么是标准形式?暂时告诉学生曲线的一般形式就是标准形式，在学习了圆的标准方程后，总结出标准形式的意义：

(1)标准形式能具体判定曲线的形状与位置(代数到几何的过程)；

(2)标准形式中的各系数都有一定的几何意义(不变量)；

(3)满足相应约束条件(图形的形状与位置)的轨迹就一定是这种形式(几何到代数的过程)。

再反过来解释化成标准形式的必要性：为确定曲线的形状与位置，一定的形状和位置的曲线都有相应结构的方程，为此，可在一定条件下进一步简化求曲线方程的步骤：用待定系数法求曲线方程，必须强调的是：可用待定系数法求曲线方程的前提是已知曲线的形状和位置，特别对于椭圆、双曲线、拋物线，更要强调曲线的位置的重要性，即对称轴必须与坐标轴平行或重合，这样又体现了选择适当坐标系的原则——充分利用曲线的对称性，于是总结出求曲线方程的一般方法，方法一：题设给出的约束条件难以判定曲线的形状，可按上述三个必要步骤求出曲线方程，方法二：题设给出的约束条件可以判定曲线的形状，可用待定系数法求曲线方程，但要注意曲线的位置。

这样，整个教学的过程贯穿着解析几何的基本问题：几何特征与代数特征的关系，并且以此为主线，分阶段、分层次引导学生总结方法，这样极大地激发了学生的能动性，使学生的能力和潜力得到了充分的发挥。