陈德前

规律探索问题是一类常见的问题,也是同学们感到比较棘手的问题,下面以2008年中考试题为例,来谈谈这类问题的解法.

例1(宜宾市)如图1,将一列数按图中的规律排列下去,那么问号处应填的数字为.

观察可以发现,4 = 1 + 3,6 = 4 + 2,9 = 6 + 3,13 = 9 + 4,19 = 13 + 6,于是可以猜想,从第4个数起,每个数都是它前面的一个数和前面的第三个数的和,于是问号处应填的数字为19 + 9 = 28.

例2 (泰州市)让我们轻松一下,做一个数字游戏:

第一步:取一个自然数n1 = 5,计算n12 + 1得a1;

第二步:算出a1的各位数字之和得n2,计算n22 + 1得a2;

第三步:算出a2的各位数字之和得n3,计算n32 + 1得a3;

……

依此类推,则a2 008 = .

这是一道设计新颖､具有一定挑战性的好题,解题的关键是从特殊情况入手,找出规律,再应用规律去解决问题.经过计算可以发现,a1 = 25 + 1 = 26,a1的各位数字之和n2 = 2 + 6 = 8,a2 = 64 + 1 = 65,a2的各位数字之和n3 = 6 + 5 = 11,a3 = 121 + 1 = 122,a3的各位数字之和n4 = 1 + 2 + 2 = 5,a4 = 25 + 1 = 26 …… 依此类推,可见这是一个按3个数为一个周期的循环数列,a2 008与a1的值相同,为26.

例3 (潍坊市)图2中的每个图是由若干个圆点组成的形如四边形的图案,当每条边(包括顶点)上有n(n ≥ 2)个圆点时,图案的圆点数为Sn.

n = 2,S2 = 4 n = 3,S3 = 8n = 4,S4 = 12

图2

按此规律推断Sn关于n的关系式为:.

我们来根据给出的3个图形探究规律,看看哪些是不变量,哪些是变量,变量的变化规律是什么.在已知的3个图形中,四边形的四个顶点各有一个圆点;第1个图形中除了四个顶点外,边上没有圆点,与序号n = 2对应可写成4 + (2 - 2) × 4 = 4;第2个图形中除了四个顶点外,边上有各有1个圆点,与序号n = 3对应可写成4 + (3 - 2) × 4 = 8;第3个图形中除了四个顶点外,边上各有2个圆点,与序号n = 4对应可写成4 + (4 - 2) × 4 = 12;因此第n个图形中共有[4 + (n - 2) × 4]个点.还可以这样理解:当n = 2时,每边有2个点,共(4 × 2)个点,顶点上的点重复计算了1次,所以共有(4 × 2 - 4)个点;当n = 3时,每边有3个点,共(4 × 3)个点,顶点上的点重复计算了1次,所以共有(4 × 3 - 4)个点;当n = 4时,每边有4个点,共(4 × 4)个点,顶点上的点重复计算了1次,所以共有(4 × 4 - 4)个点;因此第n个图形中共有(4n - 4)个点.你还有其他的方法吗?写出来与大家交流吧!

在解决规律探索题时,要重视试验,试验是基础,试验是思维的启动器;要注意观察,观察是关键,不注意观察就不会有发现;要善于猜想,猜想是核心,不善于猜想就找不到规律.

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