阎熠 闫焱 张晓婷 王悦

文章编号：2096-398X2024）03-0203-06

（华北理工大学 理学院 河北省数据科学与应用重点实验室， 河北 唐山 063210）

摘 要：通过构造满足Engel递减条件的模糊超群H，）上最小的等价关系，使得模糊超群关于等价关系构建的商群等价类的集合）H/是一个Engel群，并通过等价关系的强正则性来刻画该Engel群，最后引入模糊超群的-部分的概念，确定等价关系是可传递的充要条件.

关键词：模糊超群；  等价关系； 强正则关系； Engel群

中图分类号：O152.7    文献标志码： A

Research on Engel groups based on fuzzy hypergroupsand their properties

YAN Yi， YAN Yan， HANG Xiao-ting， WANG Yue

College of Science， Hebei ey Laboratory of Data Science and Application， North China University of Science and Technology， Tangshan 063210， China）

Abstract：By constructing the smallest equivalence relation  on a fuzzy hypergroup H，） satisfying the Engel decreasing condition，the quotient group the set of equivalence classes） H/ constructed by the fuzzy hypergroup with respect to the equivalence relation is an Engel group，and the Engel group is characterized by the strong regularity of the equivalence relation.Finally，the concept of the -part of the fuzzy hypergroup is introduced，and the necessary and sufficient condition for the equivalence relation  to be transitive is determined.

Key words：fuzzy hypergroup； equivalence relation； strong regular relation； engel group

0 引言

1934年，Marty［1］在第八届Scandinavian数学家大会上引入了超群概念，将其作为群的推广，他第一次将超群用于求解群、代数函数和有理分式的一些问题.模糊子集是adeh［2］在1965年作为集合的经典概念的扩展引入的，而模糊代数结构始于1971年Rosenfeld［3］引入的模糊子群.超群在模糊集和粗糙集理论方面均有应用［4］，并与模糊半群、超环等有着密切联系.

在代数超结构理论中，超群利用某些等价关系来与经典代数结构理论相联系，这些等价关系在两种理论之间起着桥梁的作用［5］，更准确地说，在超群上定义的等价关系β，使得超群与该等价关系的商结构总是一个群.

近些年来，研究者对等价关系在超群、模糊超群以及拓扑超群上进行了推广和发展［6］.2012年，Ameri等［7］刻画了一个给定的模糊半群的基本关系，并得到它的基本性质，介绍和研究模糊超半群的完全部分的基本性质，并给出了模糊超半群的完全部分与基本关系之间的关系；2013年，Aghabozorgi等［8］在超群上构造等价关系v，使得商群H/v是一个幂零群；2014年，Ameri等［9］在超群上构造等价关系ξ，使得商群H/ξ是一个Engel群；2015年，Mohammadzadeh等［10］在模糊超群上构造等价关系ζ，使得商群H/ζ是一个可解群；2016年，Jafarpour等［11］在超群上构造等价关系τ，使得商群H/τ是一个可解群；2016年，Nozari［12］研究了模糊超群上的基本关系β，并且研究了模糊超半群上的最小的强正则等价关系γ，使得H/γ是一个交换半群.

基于上述分析，本文在前人的研究基础上，研究构造了模糊超群H，）上新的等价关系，使得模糊超群关于新的等价关系构建的商群H/是一个Engel群，并研究等价关系可传递的充要条件.通过这些工作，能够更深入地了解模糊超群的结构和性质，探讨等价关系在联系超结构与经典代数结构上的作用，为模糊超群的发展提供更多的理论基础.

1 基础知识

定义1［10］ 对于一个非空集合H，H的一个模糊子集μ是一个从H到实数区间［0，1］的函数.设P*H）表示H所有非零模糊子集的集合，同时对于H的两个模糊子集μ1和μ2，若称μ1比μ2更小，记作μ1≤μ2，且对于x∈H，有μ1x）≤μ2x），由此定义：

μ1∨μ2）x）=maxμ1x），μ2x）（1）

μ1∧μ2）x）=minμ1x），μ2x）（2）

H上的一個模糊超运算是一个映射：H×HMT ExtraaA@PH），记作a，b）MT ExtraaA@ab=ab，则结构H，）被称为一个模糊超广群.

定义2［13］ 若对于a，b，c∈H，ab）c=abc），取H的模糊子集μ，对于r∈H有：

aμ）r）=Vt∈Hat）r）∧μt）），μ≠00，μ=0（3）

μa）r）=Vt∈Hμt）∧ta）r）），μ≠00，μ=0（4）

则一个模糊超广群H，）被称为一个模糊超半群.

定义3［13］ 设μ，ν是模糊超半群H，）的两个模糊子集，则对于t∈H，定义μν）t）= Vt∈Hμp）∧pq）t）∧νq））.

定义4［10］ 若对于x∈H，xH=Hx=χH，则一个模糊超半群H，）被称为模糊超群，其中χH是H的特征函数.

定理1［14］ 若H，）是一个模糊超群，则χaχb=ab，对a，b∈H均成立.

定义5［14］ 设ρ是一个在模糊超群H，）上的等价关系，ρH×H.则对任意的非空子集A和B，定义

AρBaρb（5）

其中a∈A，b∈B.

定义6［14］ 设ρ是模糊超群H，）上的一个等价关系，若ρ满足

xρyaxρayxρyxaρya）（6）

则ρ被称为在左边右边）强模糊正则的.若ρ在左边、右边均强模糊正则，则称它为强模糊正则的.

考虑下列在商群H/ρ上的超运算，对aρ，bρ∈H/ρ：

aρbρ=cρ：a′b′）c）>0，aρa′，bρb′（7）

定理2［10］ 若H，）是一个模糊超半群，并且ρ是H上的等价关系.则有：

i）若H/ρ，）是一个超半群，则关系ρ在H，）上是模糊正则的;

ii）若H/ρ，）是一个半群，则关系ρ在H，）上是强模糊正则的.

2 模糊超群上的强正则关系n

在本节中，将构造并分析定义在模糊超群H上的等价关系n，通过证明其强正则性使得商群H/n是一个Engel群.

定义7［13］ 若H，）是一个模糊超群，对k≥0有：

i）L0H）=H;

ii）Lk+1，sH）=t∈Hxs）r）>0，tsx）r）>0，其中x∈Lk，sH），r∈H.

定义8［9］ 在任意群G中，任意两个元素x，y∈G的交换子被定义为［x，y］=tt∈x－1y－1xy.若AG，则有［A，y］=tt∈A－1y－1Ay，因此［［x，y］，y］=tt∈［x，y］－1y－1［x，y］y.

综上所述，定义［x，ny］=［［x，n－1y］，y］= tt∈［x，n－1y］－1y－1［x，n－1y］y.且有，Ax= tt∈xAx－1.

定理3［10］ 若对n∈瘙綃，n，s=∪m≥1m，n，s，其中1，n，s是对角关系，则对m≥1，m，n，s是一个如下所定义的关系：

xm，n，syz1，…，zm）∈Hm（8）

σ∈Sm：若ziLn，sH），σi）=i，则

∏mi=1zix）=z1…zm）x）>0（9）

∏mi=1zσi）y）=zσ1）…zσm））y）>0（10）

其中Sm是一个m阶的对称群.

显然，关系n，s是自反的和对称的，称n，s是n，s的传递闭包.

定理4［9］ 由于n，s是n，s的传递闭包，则对n∈，有βn，sγ.

定理5 对n∈，关系n，s是一个强正则关系.

证明：设对n∈，n，s是一个等价关系.若要证明n，s强模糊正则，则需要证明它在左边和右边均强模糊正则，即对x，y，z∈H：

xn，syxzn，syz，zxn，szy（11）

设xn，sy成立，则m∈，使得xm，n，sy成立.z1，…，zm）∈Hm，且有σ∈Sm：若ziLnH），σi）=i，使得

∏mi=1zix）>0，∏mi=1zσi））y）>0（12）

再令z∈H，对任意的r，u∈H，有xz）r）>0，yz）u）>0，即：

∏mi=1zizr）=Vp∏mi=1zi）p）∧pz）r）（13）

设p=x，则∏mi=1zizr）>0.由于当ziLnH）时，σi）=i，有：

∏mi=1zσi）z）u）=Vq∏mi=1zσi）q）∧qz）u）（14）

再令q=y，则当ziLnH），σi）=i时，有∏mi=1zσi））z））u）>0.

設zm+1=z，σ′∈Sm+1：

σ′i）=σi），i∈1，2，…，mm+1，i=m+1（15）

则对r，s∈H，

∏mi=1zir）>0，∏mi=1zσ′i）u）>0（16）

当ziLn，sH）时，σ′i）=i.

若xn，sy，则k∈，使得x=u0，u1，…，uk=y

∈Hk+1，即

x=u0n，su1n，s…n，suk=y（17）

由此可得

xz=u0zn，su1zn，s…n，sukz=yz（18）

即xzn，syz.同理可得zx[n，szy.综上所述，n，s在模糊超群H上是一个强正则关系.

证毕.

定理6 对n∈，有n+1，sn，s.

证明：令xn+1，sy，则

z1，…，zm）∈Hm（19）

此时σ∈Sm：若ziLn，sH），σi）=i，使得∏mi=1zix）>0，∏mi=1zσi）y）>0，再令σ1=σ，则有Ln+1，sH）Ln，sH），即得n+1，sn，s.

证毕.

推论1 若H，）是交换模糊超群，则有β=n，s=v=γ.

定义9［9］ 设G是一个群，对任意的y∈G，i∈0，1，…的子群i，yG），有下列性质：

0，yG）=e，1，yG）=〈x∈G;［x，y］=e〉（20）

k，yG）=〈x∈G;［x，ky］=e〉，同时，对于一个固定点s∈G，定义L0，sG）=G，且

Lk+1，sG）=［x，s］，x∈Lk，sG）（21）

根据上述定义，可以得到下列推论.

推论2 一个群G是n-Engel的，当且仅当对y∈G，n，yG）=G.

定理7［10］ 若H，）是一个模糊超群，且ρ是H上的一个强模糊正则关系，则对一个固定点s∈H，有：

Lk+1，sH/ρ）=［t，s］t∈Lk，sH）（22）

其中s是s相对关系ρ的类.

推论3 H/n，s是一个n-Engel群.

证明：设G=H/n，s.下证对s，有

Ln+1－i，sG）i，sG）（23）

设i=0，则有Ln+1，sG）0，sG）=e.根据定理7，可得Ln+1，sH/ρ）=e.再令a∈Ln－i，sG），由于a∈Ln－i，sG），所以［a，s］∈Ln+1－i，sG）.根据归纳假设，Ln+1－i，sG）i，sG）.因此［［a，s］，is］=e，即a∈i+1，sG）.设i=n+1，所以

Ln+1－n+1），sG）=n+1），sG）（24）

对于任意的s均成立，由此可得对于任意的s，有L0，sG）=n+1，sG）.所以G=n+1，sG），即G是n-Engel的，H/n，s是一个n-Engel群.

证毕.

3 基于满足Engel递减条件的模糊超群构建的Engel群

在本节中，将构造并分析定义在满足Engel递减条件的模糊超群H，）上最小的等价关系，通过证明其强正则性使得H/是一个Engel群.

定义10［10］ 设H，）是一个有限模糊超群，s∈H，则定义H上的关系：

=∩n≥1n，s（25）

定理8［10］ 模糊超群H，）上的等价关系ρ被称为Engel的，当且仅当其构建的商群H/ρ是一个Engel群.

定理9［9］ 若存在整数k≥0，则模糊超群H，）在Engel递减条件EDC）下满足：对n≥k，有n，s=.

定理10 关系是满足EDC条件的模糊超群H，）上的强正则关系，使得H/是一个Engel群.

证明：由于=∩n≥1n，s，n，s是H，）上的强模糊正则关系，则也是H上的强模糊正则关系.根据定理9，在Engel递减条件EDC）下：对n≥k，有n，s=，则对m∈，H/=H/m，s，即H/是一个Engel群.

证毕.

推论4 关系是在有限模糊超群H，）上定义的强模糊正则关系，使得H/是一个Engel群.

证明：由于=∩n≥1n，s，n，s是强模糊正则关系，则是H，）上的强模糊正则关系.则k∈，使得k+1，s=k，s，即=k，s，根据k的任意性可知，H/k是Engel群，则H/也成为有限模糊超群H，）上的Engel群.

证毕.

引理1［9］ 对于有限群，Engel条件等价于幂零性.

推论5 关系是有限模糊超群H，）上最小的强模糊正则关系，使得H/是一个Engel群.

4 强正则关系的传递性条件

在本节中，将介绍模糊超群H，）上的-部分，并定义关系可传递的充要条件.

定义11［9］ 设X是模糊超群H，）的一个非空子集.若满足下列条件，则称X为H，）的-部分：对k∈，z1，…，zm）∈Hm，且对σ∈Sm，若zi∪n≥1Ln，sH），使得σi）=i，对于x∈H和y∈H/X，有：

∏mi=1zix）>0，∏mi=1zσi）y）>026）

定理11［15］ 设X是模糊超群H，）的一个非空子集，则下列性质是等价的：

i）X是H的-部分;ii）x∈X，xyy∈X;iii）x∈X，xyy∈X.

定理12 下列条件是等价的：i）对于x∈H，x）是H的-部分;ii）是可传递的.

证明：i）ii））设xy，则

z1，…，zm）∈Hm，使得x=z0z1…zm=y，由于对0≤i≤m，zi）都是一个-部分，则当i∈［0，m］时，有zi∈zi－1），即y∈x），由此可得xy;ii）i））设x∈H，z∈x），则有zy;利用的传递性，有y∈x），再由x∈H，可得y∈X，即x）是H的-部分.

證毕.

定义12［10］ 包含所有A的-部分的交集称为A在H，）中的-闭包，记作A）.下面定义集合MA），其中A为H，）的非空子集：

i）M1A）=A;

ii）Mn+1A）=x∈Hz1，…，zm）∈Hm，∏mi=1zix）>0，σ∈Sm，若zi∪n≥1Ln，sH），

σi）=i，且a∈MnA），∏mi=1zia）>0.由此可定义MA）=∪n≥1MnA）.

定理13 对于模糊超群H，）的任意非空集合，有下列性质：

i）MA）=A）;ii）A）=∪a∈Aa）.

证明：i）由于A）是包含A的所有-部分的交集，设∏mi=1zia）>0，σ∈Sm，使得若zi∪n≥1LnH），σi）=i.n∈，a∈MnA），有∏mi=1zia）>0，因此t∈H，有∏mi=1zσi）t）>0，由此可得t∈Mn+1A），再由MA）=∪n≥1MnA），可得t∈MA）.由于n是任意的，所以可得MA）是一个-部分.根据定理12，可以得到若AB，B是一个-部分，则MA）B.设MnA）B，令z∈Mn+1A），则k∈，z1，…，zm）∈Hm，使得∏mi=1ziz）>0，σ∈Hm，当zi∪n≥1Ln，sH）时，σi）=i，此时t∈MnA），使得∏mi=1zσi）t）>0，由于MnA）B，则t∈B，综上所述，B是一个-部分，则z∈B，即MA）=A）.

ii）令a∈A，a）A），由i）可知A）=∪n≥1MnA），由于M1A）=A=∪a∈Aa，由此可得对n∈，有MnA）=∪a∈AMna），则取z∈Mn+1A），k∈，z1，…，zm）∈Hm，有∏mi=1ziz）>0，且σ∈Hm，使得若zi∪n≥1Ln，sH），σi）=i，则a∈MnA），使得∏mi=1zσi）a）>0.根据n的任意性，则a∈MnA）=∪b∈AMnb），即对a′∈Mnb），b∈A，有∏mi=1zσi）a′）>0.因此z∈Mn+1b），由此可得Mn+1A）∪b∈AMn+1b），即A）=∪a∈Aa）.

證毕.

推论6 模糊超群H，）上的等价关系M对x，y）∈H2满足：

xMyx∈My），

其中My）=My）.

证明：显然，M是自反的和传递的，下证M为对称的，则相当证明：

i）对于n≥2，x∈H，有MnM2x）） =Mn+1x）;

ii）当且仅当y∈Mnx）时，x∈Mny）.

设a∈MnM2x）），则∏mi=1zia）>0，且σ∈Sm，使得当zi∪n≥1Ln，sH）时，σi）=i，且有y∈M2x），∏mi=1zσi）y）>0.

设MnM2x））=Mn+1x），则Mn+1M2x））= am，z1，…，zm）∈Hm，∏mi=1zia）>0，σ∈Sm，若zi∪n≥1Ln，sH），σi）=i，则t∈MnM2x）），∏i=1zσi）t）>0，由此可得，当且仅当y∈M2x）时，x∈D2y）.

设当且仅当y∈Mnx）时，x∈Mny），再设x∈Mn+1y），则有m∈，使得z1，…，zm）∈Hm，此时σ∈Sm，若zi∪n≥1Ln，sH），σi）=i，且∏mi=1zσi）t）>0，由此可得，t∈M2x）.由于t∈Mny），根据假设y∈Mnt），可得t∈M2x），因此y∈MnM2x））=Mn+1x）.

证毕.

定义13［16］ 若H，）是一个模糊超群，则H/是一个群，定义映射ψ：H→H/是一个典范投射.令1为群H/的单位元，集合ψ－11）被称为H，）的ψ-heart，记作ω.

定理14 若H，）是一个模糊超群，G是H的一个非空子集，有：

i）ψ－1ψG））=x∈H：ωG）x）>0=x∈H：x）ωG）>0;ii）若G是H的一个-部分，则ψ－1ψG））=G.

引理2 设H，）是一个模糊超群，H1H为H的一个模糊子超群，则具有以下性质：

i）ab）c=abc），对a，b，c∈H;ii）aH1=χH1，对a∈H1.

推论7 ω是H，）的最小模糊子超群，也是H，）的-部分.

证明：设ω是H，）的模糊子超群，则对任意的a，b，c∈ω，ab）c=abc）.

取x，y∈ω，z∈H，使得zy）x）>0，因此zy=x，即z=1，由此可得z∈ω，则对于y∈H，有ωy=χω.

下证H1x）=ωθ，由于z∈ψ－1ψx）），则有ψz）=ψx），从而z）=x），即zx.再由z∈z），得z∈θz）=ωx）=H1x）.

由此可得，若x∈ω，则有H1x）=ω，这表明ω是H的-部分.综上所述，ω是H的最小模糊子超群，也是H的-部分.

证毕.

5 结论

本文基于模糊超群构造了一种强正则的等价关系，证明了满足Engel递减条件的模糊超群H，）关于该等价关系构建的商群H/是一个Engel群.最后，引入模糊超群的-部分的概念，确定了该等价关系传递性的充要条件.

证实了可以在模糊超群上构建出Engel群，为研究刻画有限群的性质结构提供了新的思路和方法.

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【責任编辑：陈 佳】

基金项目：国家自然科学基金项目12171137）

作者简介：阎 熠（2000—），男，山东德州人，在读硕士研究生，研究方向：群的推广

通讯作者：闫 焱（1979—），女，河北唐山人，教授，研究方向：环与代数，yanhblg@163.com