黄丽纯 陈俊阳

摘  要：从表达目标、语言互译、论证过程、表达细节四个角度，以高考试题为例，基于学生的解答情况分析其在数学表达中存在的问题，并给出转化策略和具体建议.

关键词：数学表达；数学书写；书写规范

中图分类号：G633.6      文献标识码：A     文章编号：1673-8284（2024）02-0025-05

引用格式：黄丽纯，陈俊阳. 高中生数学表达中的问题及转化策略：以2021—2023年高考全国卷的部分解答题为例［J］. 中国数学教育（高中版），2024（2）：25-28，34.

一、引言

数学学习是多元表征符号系统的建构，数学表达既是数学学习的起点也是终点. 国际知名数学语言研究专家路易丝·威尔金森教授认为，学生在数学情境下给出正确的、合理的数学表达是一项非常重要的能力.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中指出，会用数学语言表达世界是学生所应具备的基本数学素养之一. 具体地，数学表达既包括表达和聆听，也包括阅读、解决问题和呈现答案，是学生面临一定的问题情境时，通过分析、思考，在所面临的情境中构建数学模型，并用数学的语言描述的过程. 主要的数学表达方式有读数学、说数学、写数学和画数学.

从近几年的高考试题来看，解答题的问题设置越来越灵活，试题的创新性和多样化对学生的数学表达能力提出了更高要求. 学生在数学表达中常存在“有思路但是写不出来”“会写但是写得不正确”等问题，具体包括对基本概念的理解不透彻导致论证目标不够明确、用图形直观感知代替严谨论证、颠倒条件与结论导致循环论证、用特殊代替一般进行论证等问题. 究其本质，学生在数学表达中能否达到规范性、逻辑性、简洁性、正确性等要求与其数学思维的深度和数学学习的水平紧密相关，需要引起教师重视.

对此，针对“写数学”，本文以2021—2023年全国新高考数学试卷中的部分解答题为例，依据学生读题、做题、写题的过程，从表达目标、语言互译、论证过程、表达细节四个角度，分析学生数学表达中存在的问题，并给出转化策略和具体建议，以期为培养学生的数学表达能力提供参考.

二、案例分析

1. 理解数学概念的本质，明确数学表达目标

对解题目标的理解与表达对问题解决起到了重要作用. 学生解题失败往往源于无法正确理解和表达解题目标，即无法厘清题目的已知条件与预期结果之间的

联系，不能够从题目的设问中挖掘其考查的数学知识本质，这与学生对数学概念的理解程度有着密切关系.

例1 （2022年全国新高考Ⅱ卷·17）已知[an]为等差数列，[bn]为公比为2的等比数列，且[a2-b2=][a3-b3=b4-a4].

（1）证明：[a1=b1]；

（2）求集合[A=kbk=am+a1，1≤ m≤ 500]中元素的个数.

此题考查的主干知识为等差数列和等比数列的通项公式，其中第（2）小题的设问考查学生能否真正理解集合描述法的本质. 集合是现代数学的基础，也是高中数学的基础，合理使用集合的语言和工具能够简洁、准确地表述数学对象及研究范围，在高等数学中更有重要的地位. 具体而言，部分学生能将[bk=am+a1]等价转化为[2k-2=m]，但对[k，m]的地位与关系理解不够清晰，导致无法进一步解决问题.

事实上，从集合描述法的本质上看，虽然式中含有多个变量[k，m]，但是只要学生准确理解了[A]为所有具有共同特征“[bk=am+a1，1≤ m≤ 500]”的元素[k]所组成的集合，从而将求解目标锁定为利用元素[k]的共同特征得到关于[k]的不等关系式，便能快速求解出集合[A]中元素的個数，即由[m∈1，500]，得[2k-2=m∈][1，500]，从而[A=k∈Z2≤ k≤ 10]，故集合[A]中的元素个数为9 个.

总体来说，明确表达目标需要准确理解数学概念的本质. 因此，教师在概念教学中，应该让学生充分经历用数学语言表征数学概念的过程，并通过丰富的例子对概念进行充分认识和理解，在认知层次上实现从“识记”到“理解”的转变，避免“快讲多练”的概念教学误区.

2. 重视数学语言的互译，严谨论证数学结论

数学语言是数学思维的载体，分为文字语言、图形语言和符号语言. 其中，文字语言的表达往往缺乏简洁性，而图形语言虽然为理解代数问题提供了几何直观，有助于探寻问题解决的方向与结论，但是在逻辑推理中缺乏思维严谨性，无法取代代数运算的合理过程.

例2 （2022年全国新高考Ⅰ卷·22）已知函数[fx=ex-ax]和[gx=ax-lnx]有相同的最小值.

（1）求a；

（2）证明：存在直线[y=b]，其与两条曲线[y=fx]和[y=gx]共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

此题第（1）小题较为基础，利用导数的性质分类讨论即可求得结果. 第（2）小题考查的主干知识为导数的应用，从几何角度看是曲线交点问题，从代数角度看是函数的零点问题. 在解答此题时，部分学生画出函数图象，利用“由图可得”等字眼直接“证明”结论，缺乏思维的严谨性. 事实上，可以从两个几何直观视角来思考此题，但均需要将其转化为符号语言来解决.

视角1：可以由[fx，gx]的单调性及端点值画出[y=fx]和[y=gx]的图象（如图1），并从直观上观察到当直线[y=b]过曲线[y=fx]与[y=gx]的交点时，直线[y=b]与曲线[y=fx]和[y=gx]共有三个不同的交点，但是几何直观缺乏严谨性，需要从代数运算的角度进行论证：通过分析[fx，gx]的单调性及单调区间端点值，证明当[b>1]时，直线[y=b]与曲线[y=fx]和[y=gx]均有两个交点；通过构造函数[Fx=fx-][gx]，证明[Fx]在[0，+∞]上有唯一零点[x0]，从而当[b=x0]时，三个交点得证. 对于三个交点横坐标成等差数列，从图象中观察到两个正方形，即猜想公差为[b]，但是需要将合情推理转化为演绎推理. 具体而言，即设[x1=x0-n]，[x2=x0+m]，分别将其代入[fx=b]，[gx=b]，解得[n=m=b].

[图1]

视角2：令[fx=gx=b]，可以将问题转化为直线[y=x+b]与曲线[y=ex]的交点及直线[y=x-b]与曲线[y=lnx]的交点问题（如图2）. 观察图2，可以发现当[xB=xC]时，直线[y=b]与曲线[y=fx]和[y=gx]共有三个不同的交点；由反函数的对称性可知四边形[ABDC]为矩形，故点[A，][D]到[BC]的距离相等，即[x0-x1=x2-]

[x0]，从而原命题得证. 虽然其从几何直观的视角揭示了此题优美的几何背景，但是仍然需要从代数运算的视角将图形语言转化为符号语言，具体分为四步：结合[y=ex]，[y=lnx]的凹凸性，证明当[b>1]时，[y=x+b，][y=x-b]分别与[y=ex，y=lnx]有两个不同的交点；通过构造函数[Fx=fx-gx]，证明[Fx]在[0，+∞]上有唯一零点[x0]，从而得到[?b>1]，使得[BC⊥Ox]；利用反函数的特征，证明互为反函数的图象对应的交点也关于[y=x]对称，从而得到四边形[ABDC]为矩形；最后利用矩形的性质证得原命题.

[C][A][图2]

总而言之，教师应该引导学生理解不同数学语言的特点，重视数学语言之间的互译，避免过度依赖几何直观进行推理，并引导学生将几何直观转换为代数运算，进而严谨论证数学结论.

3. 规范数学证明的表述，准确表达论证过程

近年来，高考越来越关注对逻辑推理素养的考查，在试题的设置中出现了越来越多的数学证明问题，对学生的演绎推理能力要求较高. 学生在进行数学证明时，往往会出现把待证结论当作已知条件、混淆分析法和综合法、循环论证等逻辑错误，数学证明能力较弱.

例3 （2022年全国新高考Ⅰ卷·20）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100例（称为对照组），得到如表1所示的数据.

表1

[ 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 ]

（1）略；

（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”. [PB APB A]与[PB APB A]的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为[R].

① 证明：[R=PA BPA B ? PA BPA B]；

② 略.

此题的第（2）小题第②问考查条件概率的公式. 部分学生将[R]用定义表示出来后，直接令其等于待证结论，推出一个真命题，即[R=PBAPBA÷PBAPBA=PABPAB ?][PA BPA B ①.] 化简，得[PABPAPABPA ? PABPAPABPA=PABPBPABPB ? PABPBPABPB ②.]从而[PABPAB ? PABPAB=PABPAB ? PABPAB ③，] 故原命题得证.

事实上，这类把结论当作条件的证明错误在学生日常学习和解题中屡见不鲜，要准确表达论证过程，可以通过分析法的方式书写：即要证①，只需证明②，即证明③，由分析法知原命题得证.

又如，对于例 2 第（2）小题的求解，部分学生猜想出公差为[b]，便设[x1=x0-b]，[x2=x0+b]，以此作为条件进行推理，最后证得[x1，x0，x2]成等差数列. 属于循环论证的逻辑错误. 实际上，可以设[x1=x0-n]，[x2=x0+m]，证明[m=n=b]；或通过证明[fx0-b=fx1]，[gx0+b=]

[gx2]得到[x1=x0-b]，[x2=x0+b]，便能准确表达论证过程.

数学证明对于学生的理性精神和逻辑思维能力的发展及数学学习本身都是不可或缺的. 在日常教学中，教师应该重视数学证明，以揭示合情推理和演绎推理的联系与区别，渗透综合法、分析法、反证法等证明方法. 此外，还应该关注学生数学证明的表达过程，对学生出现的逻辑错误应予以引导，并将其转化为准确的表达，从而提升学生的数学证明能力和逻辑推理素养.

4. 注意数学推理的逻辑，完善数学表达细节

数学育人的基本途径是对学生进行系统的逻辑思维训练，其中一个重要目的便是使学生在推理的严谨性上达到较高水准. 然而，学生在进行数学表达的过程中，往往容易忽视概念、定理本身的基本要素及其限定条件，缺少对研究问题的全面分类，或是思维跳跃、省略必要的运算过程等，从细节上表现出数学表达的严谨性不足.

（1）对概念定理的认识要准确.

在数学学习的过程中，每个概念、定理都有其所附带的基本要素或条件. 例如，函数的概念包含定义域、对应法则、值域三要素，空间直角坐标系的建立取决于空间中三条互相垂直的射线，线面平行的判定包含线线平行、一条线在平面外、另一条线在平面内三个条件，应用零点存在定理的前提条件是函数图象是一条连续不断的曲线，等等. 相对应地，在使用概念、定理论述解答过程时，应该首先厘清概念的定义，以及性质、定理成立的条件与结论. 例如，在2021年全国新高考Ⅰ卷第20题中，部分学生凭借主观经验，想当然地以[O]为原点，[OA，OB，OC]为轴建系求解. 然而，此题中[OA，OB，OC]并不满足两两垂直的前提条件，这反映出学生对空间直角坐标系这一概念的认识不够准确，建系出错导致表达出错. 又如，在2023年全国新高考Ⅰ卷第18题中，部分学生面对空间四边形[A2B2C2D2]时，在未证明[A2，B2，C2，D2]四点共面的前提下，直接使用了平行四边形的判定定理，由[A2B2=C2D2]，[A2D2=B2C2]推出四边形[A2B2C2D2]为平行四边形，进而得到[B2C2∥A2D2]，这反映出学生对平面几何与立体几何间的区别与联系的认识较为模糊，不能够明晰其中的基本事实和判定定理成立的前提条件，以至于論证出现逻辑性错误. 再如，在2023年全国新高考Ⅰ卷第22题第（1）小题中，部分学生在翻译“点[P]到[x]轴的距离”时，忽略了“距离”应该非负的性质，将[y]写为[y]，这反映出学生对概念的性质理解不够准确.

（2）对研究问题的分类要全面.

分类讨论是重要的数学思想方法和解题策略，不重不漏是进行分类讨论需要遵循的基本原则. 除了因不同解决问题方法的需要所采取的主动分类，研究对象本身所包含的分类更容易被学生在表达过程中所忽略. 例如，在理论研究和实际应用中，由于人们常用正整数表示事物发展过程的先后顺序，于是，当求解数列和递推关系相关的问题时，若下标含有[n-1]，则需要针对[n≥ 2]和[n=1]两种情况进行讨论及验证. 再如，由于在平面直角坐标系中，与[x]轴垂直的直线斜率不存在，于是，当采用点斜式的方法来设直线方程时，需要先将斜率不存在的直线作为特殊情况来考虑，再对斜率存在的直线进行计算求解. 此外，学生对含参函数中参数的分类讨论也容易出现遗漏，如对于2023年全国新高考Ⅰ卷第19题第（1）小题，部分学生对参数的认识不够全面. 一种情况是忽略对数[lna]的隐含限制条件[a>0]，在求导后令[fx=aex-1=0]，直接得[x=-lna]；另一种情况是仅关注[a>0]与[a<0]，容易忽略分界点[a=0]的情况.

（3）对关键步骤的论述要详尽.

从学生的解题过程可以看出，学生存在习惯省略步骤、不习惯作图等问题，影响了解答的规范性和完整性. 事实上，学生在书写解答过程时跳步，反映出的是学生的推理逻辑不连贯，以及对知识点间的联系理解不深刻等问题. 例如，对于2022年全国新高考Ⅰ卷第18題第（1）小题，学生对三角函数关系式[cosA1+sinA=][sin2B1+cos2B]的化简过程跳步严重，未体现出关键的倍角公式及余弦和差化积公式，省略了必要的化简运算步骤，导致解答过程不完整. 再如，对于2023年全国新高考Ⅰ卷第19题第（2）小题，部分学生在将结论等价转化为证明[ga=a2-12-lna>0][a>0]后，直接令[ga=0]解得[a=22]，缺少对函数单调性的论述，直接默认[ga]的最小值为[g22]，反映出学生对求导的作用及意义理解不透彻.

总而言之，数学表达的细节同样需要引起重视. 具体到课堂教学中，教师应该注意系统地引导学生建立关于数学研究对象的知识体系，帮助学生更加完整地认识数学对象，包括其基本要素、限定条件、分类原因等. 与此同时，教师应该重视板书示范，避免在教学中使用简写或者自创的符号，应该以规范的板书展示为学生树立数学表达“榜样”. 此外，除了由教师来检查和指导学生的数学表达外，还可以选取合适的学生代表负责对小组成员的数学表达进行检查和指导，以此促进学生的数学表达和数学交流水平.

三、结语

数学表达在教师的教和学生的学中都至关重要. 良好的数学表达既是教师专业发展必备技能的体现，也是学生数学学习过程中数学思维的体现. 本文以高考试题为例，定性分析了学生在解题的不同阶段所存在的数学表达问题，并对应给出了基于数学表达的教学策略及建议. 此外，如何定量地评价学生在问题解决过程中的数学表达能力，也是值得后续进一步研究与实践的问题.

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