李卓 李欣悦

【摘要】在初中数学教科书的图形与几何领域中，有大量扮演着脚手架角色的几何图形.然而本应是脚手架的几何图形，有时却变成了教学中的绊脚石.笔者在一次听课过程中，发现人教版初中数学教科书“圆周角”这节中一个图形及相关表述的问题.现将发现的问题提出来，并在分析的基础上给出改进建议，希望有助于教科书的修订.

【关键词】数学教科书；图形；圆周角

文字和插图作为数学教科书的两大组成部分，是学生理解数学知识和数学价值的基本素材[1].《义务教育数学课程标准（2022年版）》将初中数学分为了数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个领域[2]，因此初中数学教科书中的插图可以按照上述四个领域进行划分.其中，图形与几何领域中的插图主要是几何图形，这些几何图形主要起到了脚手架的作用.然而本应是脚手架的几何图形，有时却变成了教学中的绊脚石.笔者在听课过程中，发现人教版初中数学教科书“圆周角”中有一个图形及相關表述值得商榷.现将发现的问题提出来，并在分析的基础上给出改进建议，希望有助于教科书的修订.

1问题提出

笔者听了一位数学师范生讲“圆周角”的一节课，数学师范生在证明同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半时，在⊙O任取一个圆周角∠BAC，沿AO所在直线将圆对折，根据点A的位置，将折痕分为了折痕在圆周角的一条边上（图1）、折痕在圆周角的内部（图2）、折痕在圆周角的外部（图3）三种情况.

对于“折痕在圆周角的内部”的情况（即图2）：BC所对的圆周角∠BAC的度数是所对圆心角∠BOC度数的一半.数学师范生给出的证明过程如下：

证明：如图2所示，连接AO并延长AO交圆O于点D，

则AD既平分∠BAC也平分∠BOC，

即∠BAO=∠CAO，∠BOD=∠COD，

又因为A，B，C均在圆上，

所以OA=OB=OC，

所以∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA.

又因为∠BOD是三角形OAB的一个外角，∠COD是三角形OAC的一个外角，

所以∠BOD=∠OBA+∠OAB=2∠OAB，

∠COD=∠OCA+∠OAC=2∠OAC，

所以∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2（∠OAB+∠OAC），

即∠BOC=2∠BAC，

即∠BAC=12∠BOC.

故BC所对的圆周角∠BAC的度数是所对圆心角∠BOC度数的一半.

2问题分析

在听课过程中，笔者对数学师范生在折痕在圆周角的内部时的证明产生了疑惑：AD不一定是∠BAC和∠BOC的角平分线，为什么数学师范生认为AD是角平分线呢.带着这一疑惑笔者课后访谈了这位数学师范生.

笔者：为什么∠BAO=∠CAO，∠BOD=∠COD？

师范生：因为AD是∠BAC和∠BOC的角平分线.

笔者：为什么AD是角平分线？

师范生：从图形（图2）中可以看出来AD是角平分线.

笔者：你图形画的太特殊了，你画的AD是∠BAC和∠BOC的角平分线，但是我也可以画一个AD不是角平分线的图形呀，一般的情况AD应该不是∠BAC和∠BOC的角平分线.

师范生：这个图形来自人教版初中数学教科书，教科书就是这样画的呀.笔者：额……我先看看教科书.

查阅教科书后，笔者发现人教版初中数学教科书折痕在圆周角内部的这个图形中AD画的确实很像角平分线.事实上，笔者还用量角器测量了∠BAO和∠CAO的度数，发现确实是∠BAO=∠CAO=23°.

综合笔者对数学师范生的访谈和自行查阅教科书，笔者认为授课的数学师范生之所以认为AD是角平分线，主要是因为在人教版初中数学教科书给出的第二种情况的图形中AD恰好是∠BAC和∠BOC的角平分线.

3问题调研

数学教科书给出的第二种情况的图形误导了笔者听课的数学师范生，那么是否会误导其他的数学师范生呢？笔者根据初中数学教科书编制了一道测试题（见附录），在数学师范生中进行了调研，发现除了图形误导了少数数学师范生，教科书中的对折、折痕这种表述方式也误导了少数数学师范生.图4，5，6是一些被误导的数学师范生的证明. 从图4、图5、图6中师范生的证明过程可以看出，教科书中的图形和对折这种表述方式误导了这三位师范生.首先，AD是∠BAC和∠BOC的角平分线仅仅是一种非常特殊的情况，不是一般的情况.他们根据图2是沿AO所在直线对折，AO是折痕推出了AD恰好是∠BAC和∠BOC的角平分线，表明他们被对折、折痕这种表述方式给误导了.同时这三位师范生也被教科书中的图形给误导了，因为如果教科书呈现的是一般情况，他们可以直观地看出AD不是∠BAC和∠BOC的角平分线；其次，他们仅证明了当AD恰好是∠BAC和∠BOC的角平分线这种非常特殊的情况时，BC所对的圆周角等于圆心角的一半，没有证明当AD不是∠BAC和∠BOC的角平分线这种更一般的情况时，BC所对的圆周角等于圆心角的一半.因此，他们的证明过程也是不严谨的.

数学教科书给出的第二种情况的图形以及表述方式误导了少数师范生，那么是否会误导初三的学生呢？笔者又用编制的测试题调研了初三学生.调研发现有少数初三学生也被数学教科书中的图形以及表述方式误导了.以下是一些被误导的初三学生的证明：

通过对图7中证明过程的分析，不难发现该生也被教科书中的图形以及对折这种表述方式误导了.首先，由“沿AO所在直线对折圆”得到∠BAD=∠CAD（即∠1=∠2）和∠BOD=∠COD（即∠5=∠6），即认为AD恰好是∠BAC和∠BOC的角平分线；其次，在后面证明过程中利用了AD是∠BAC和∠BOC的角平分线这一条件，得出BC所对的圆周角等于圆心角的一半，而未证明更为一般的情况，即该证明过程并不严谨.

通过分析图8中的证明过程发现，利用AO=BO=CO这一条件仅可以推出∠BAO=∠ABO和∠CAO=∠ACO，而该生却推出了∠BAO=∠ABO=∠CAO=∠ACO，表明该生被教科书中的图形以及对折、折痕这种表述方式误导了.

4改进建议

4.1将人教版初中数学教科书图形中的AD画成不是角平分线的一般情况

在初中几何中，图形应具有一般性，代表一般情况，而不是一些特殊情况或者说特例.如果教科书呈现的是图形的特殊情况，有时可能会误导初中生，甚至误导数学师范生.例如在证明圆周角定理分类讨论的第二種情况中，数学教科书给出的第二种情况的图形中AD恰好是∠BAC和∠BOC的角平分线，便误导了初三学生和数学师范生.再如有教师在讲三角形中线时呈现的图形（如图9所示）是中线刚好也是角平分线的特殊情况，也误导了学生.有学生提出了这样的问题“三角形的中线同时也一定是三角形的角平分线，对吗”[3]？

综上所述，应将人教版初中数学教科书图形中的AD画成不是角平分线的一般情况（如图10所示）.

4.2将人教版初中数学教科书中按折痕与圆周角的位置关系分类讨论改成按照圆心和圆周角的位置关系分类讨论

考虑到人教版初中数学教科书中的对折、折痕这种表述也误导了少数初三学生和数学师范生.同时笔者调研也发现初三的学生很难想到沿AO所在直线对折圆然后按照折痕与圆周角的位置关系分类讨论，因为这种分类讨论的方式很不自然.初三的学生想到的是按照圆心和圆周角的位置关系分类讨论：圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部.因此笔者建议将人教版初中数学教科书中按折痕与圆周角的位置关系分类讨论改成按照圆心和圆周角的位置关系分类讨论.按照圆心和圆周角的位置关系分类讨论是初三学生自然想到的，这种分类讨论方式避免了误导初三学生的问题.此外北师大版、苏教版、浙教版初中数学教科书也都是按照圆心和圆周角的位置关系分类讨论，这也表明按照圆心和圆周角的位置关系分类讨论具有可行性.

附录：

已知：如下图所示，∠A是BC所对的圆周角，∠BOC是BC所对的圆心角.

求证：∠A=[SX（]1[]2[SX）]∠BOC.

分析：如图所示，为了证明∠A= 1[]2[SX）]∠BOC，在⊙O任取一个圆周角∠BAC，沿AO所在直线将圆对折，由于点A的位置不同，折痕会：

（1）在圆周角的一条边上，如图（1）所示；

（2）在圆周角的内部，如图（2）所示；

（3）在圆周角的外部，如图（3）所示；

请你分别对以上三种情况进行证明.

参考文献

［1］张维忠，胡智慧．中美初中数学教科书插图质量的比较［J］．数学教育学报，2022，31（01）：64-69．

［2］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［3］Orit Zaslavsky & Iris Zodik. Mathematics teachers choices of examples that potentially support or impede learning. Research in Mathematics Education，2007， 9（1）：143–155.

作者简介李卓（1988—），男，山东曲阜人，博士，讲师，硕士生导师；主要从事数学教育研究.李欣悦（2002—），女，河北廊坊人，本科生；主要从事数学教育研究.

基金项目江西省基础教育研究一般课题“‘双减背景下基础教育数学教学变革的逻辑转换与理念重构研究”（SZUSDSX2022-1086）；江西师范大学博士科研启动项目.