雍龙泉

矩阵初等变换的几何意义

雍龙泉

（陕西理工大学 数学与计算机科学学院，陕西 汉中 723001）

矩阵的初等变换在线性代数中应用十分广泛，以初等行变换为例，分别给出了非退化的初等变换、退化的初等变换的实例与对应的几何图形，在此基础上给出了任意角度的旋转．在教学过程中，通过挖掘初等变换的几何意义，可以使学生建立代数与几何的统一观，促进学生抽象思维与形象思维协调发展．

矩阵；初等变换；几何意义；旋转

线性代数课程概念多、定理性质多、抽象程度高，对后续专业课程学习必不可少．矩阵的初等变换在矩阵求逆、矩阵求秩、线性方程组求解中起到关键作用[1-2]．在传统的线性代数教学中，对初等变换的几何意义讲授得较少，主要原因是由于线性代数课时少，而且需要教师掌握一定的计算机绘图技术，导致关于初等变换的几何意义教师一掠而过，没有深入系统的讲解[3]．本文以初等行变换为例，借助MATLAB软件阐述矩阵初等变换的几何意义，希望引起更多从事大学数学教学同行的关注，在讲授数学知识点时能引入其几何意义．这样既能启发学生的创新思维，又能化解大学数学的许多教学难点，促进学生抽象思维与形象思维协调发展，培养学生的学习积极性和创新性．

1 非退化的初等变换

给定矩阵

图1 房屋原图

1.1 利用初等变换对房屋进行旋转

图2 利用初等变换对房屋进行旋转

1.2 利用初等变换对房屋进行压缩

图3 利用初等变换对房屋进行压缩

2 退化的初等变换

图4 房子退化为线段

图5 线性变换的轨迹

单位圆的八段圆弧（见图6a）经过线性变换后对应的线段所在位置见图6b．

图6 单位圆与线段的对应关系

3 任意角度的旋转

图7 利用Givens变换对房屋旋转

4 结语

线性代数知识在物理、计算机图形学等学科中应用较为广泛．目前多数线性代数教材似乎都偏重“代数”而较少涉及“线性”一词包含的几何意义，所以可能给人印象较抽象，不容易让学生产生兴趣[5-7]．本文通过挖掘初等变换的几何意义，让学生建立“代数”与“几何”的统一观，强化学生对唯物辩证法中“事物的联系是普遍的，要用普遍联系的观点看问题，防止孤立、片面地看问题”这一哲学思想的理解．讲授过程中从辩证法的角度理解数学知识，在完成对学生数学知识的教授的同时也潜移默化地对学生进行了唯物辩证法的教育．

[1] 任广千，谢聪，胡翠芳．线性代数的几何意义[M]．西安：西安电子科技大学出版社，2015．

[2] 黄廷祝，成孝予．线性代数与空间解析几何[M]．5版．北京：高等教育出版社，2018．

[3] 雍龙泉．借助MATLAB软件提升学生学习数学的积极性[J]．高等数学研究，2021，24（3）：71-76．

[4] 雍龙泉．矩阵特征值与特征向量的几何意义[J]．陕西理工大学学报（自然科学版），2021，37（5）：80-85．

[5] 雍龙泉，李翠霞，吴世良．线性变换的几何意义[J]．高师理科学刊，2022，42（1）：69-72．

[6] 吕世虎，李军．基本初等矩阵的几何意义及其在教学中的运用[J]．数学教育学报，2008，17（1）：79-83．

[7] 雍龙泉，刘三阳．线性方程组迭代法的几何解释[J]．大学数学，2023，39（2）：92-99．

Geometric meaning of elementary transformation of matrix

YONG Longquan

（School of Mathematics and Computer Science，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723001，China）

The elementary transformation of matrix is widely used in linear algebra．Taking the elementary row transformation as an example，the examples of the non-degenerate elementary transformation，the degenerate elementary transformation and the corresponding geometric figures are given，On this basis，rotation at any angle is provided．In the teaching process，by exploring the geometric significance of elementary transformations，it can help students to establish a unified view of algebra and geometry，and promote the coordinated development of abstract thinking and visual thinking．

matrix；elementary transformation；geometric meaning；rotation

O151∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2024.01.015

1007-9831（2024）01-0085-04

2023-05-20

陕西高等教育教学改革研究项目（21BZ013）；陕西理工大学研究生教育教学改革研究项目（SLGYJG2306）；陕西理工大学本科教育教学改革研究项目（XJG2304）

雍龙泉（1980-），男，陕西洋县人，教授，博士，从事最优化理论与算法、智能优化算法研究．E-mail：yonglongquan@126.com