苏海涛

分光计测棱镜玻璃折射率实验的谱线形状函数

苏海涛

（长江大学 物理与光电工程学院，湖北 荆州 434023）

分光计测棱镜玻璃折射率实验的色散谱线因折射定律而成为曲线．长期以来，由于数学分析与计算的难度，解出该曲线的数学表达式——谱线形状函数成为数学上的一个难题．通过深入分析三棱镜对单色光折射的光路结构，确定了出射光的方位角，由此解出正交条件下谱线的形状函数，再通过坐标转换，导出一般情况下谱线的形状函数，解决了这一难题．谱线形状函数的图像与对应的实际谱线比较，两者一致．

分光计；三棱镜；折射光路结构；谱线形状函数

用分光计测棱镜玻璃折射率是一个包含丰富的光学与几何学知识的实验，这些知识贯穿在其调节与测量的严格性、精密性与巧妙性之中，充分体现了光学的魅力，使其成为重要的大学物理实验[1-4]．分光计测棱镜玻璃折射率实验中，三棱镜对入射单色平行光束的折射引起了色散谱线的弯曲，故谱线为曲线．但由于数学分析与计算的难度，至今为止，对谱线弯曲的数学解释都是近似的解释[5-10]，严格的数学解释——谱线形状函数一直无人给出，这成了数学上的一个难题．

导出谱线形状函数的数学过程有两个关键点：（1）本文在深入分析了三棱镜对单色光折射的光路结构后，计算出了出射光的方位角，这是整个推导的基础；（2）在此基础上，根据调节好的实验系统所满足的条件，先导出正交条件下谱线的形状函数，再通过坐标转换，导出一般情况下谱线的形状函数，也就是本实验的谱线形状函数，由此就可以解决这一数学难题．

1 三棱镜对单色光折射的光路结构

1.1 平行光管出射光的特性

在调节好的分光计测量系统中，平行光管狭缝（线光源）的出射光经平行光管物镜后形成方向不同的平行光束，其方向由狭缝上一点指向物镜的光心，该方向射线处在平行光管主光轴与狭缝所构成的平面内，且关于平行光管主光轴呈纵向对称分布．

1.2 三棱镜对单色平行光束折射的光路

图1 三棱镜对单色光折射的光路结构

1.3 解析折射光路的光路结构

以上是完整解析的折射光路结构．

2 谱线形状函数

运用以上关系再解三角形可得

2.2 谱线形状函数

2.2.1 正交条件下的谱线形状函数 为求出一般情况下的谱线形状函数，须先求出正交条件下的谱线形状函数，然后再通过坐标转换，求出一般情况下的谱线形状函数．

图2 出射光会聚点位置及相互关系

2.2.2 一般情况下的谱线形状函数 一般情况下，当在望远镜中看到谱线时，都不是正交状态，此时望远

将式（6）（7）代入式（5）整理得

3 谱线形状函数的图像

3.1 最小偏向时谱线的函数图像

由式（6）（7）解得

3.2 具有代表性曲度的谱线的函数图像

从图像上看，谱线是连续光滑的对称曲线，中点是其对称中心．由式（8）可以证明谱线的中点曲率最大，所以谱线中点的曲率代表了谱线的弯曲度．因为谱线中点定位于坐标原点（0，0），所以由式（8）算得的谱线中点的曲率为

图3 最小偏向时与为，，时的函数图像

4 函数图像与实际谱线的对比

4.1 实际谱线的图像

图4 最小偏向时的实际谱线

图5 时的实际谱线

图6 时的实际谱线

图7 时的实际谱线

汞灯绿光谱线为双线，左侧线对应于波长546.1 nm，是实验的测量线，也是对比线．最小偏向时的绿双线间距很小，故照片中的绿双线有点分辨不清，照片拉大后则清晰可辨．

谱线宽度均匀一致，轮廓清晰，谱线形状可由轮廓线清晰显示．

谱线具有一定的宽度，是因为单色平行光束从一种介质经过交界面进入另一种介质时除发生折射外还产生散射．折射光不可能是理论上单一方向的平行光，折射光方向围绕理论折射方向在一定角度内变化，从而使谱线产生一定的宽度．

折射光散射角的大小与折射角的大小成正相关的关系，且单色平行光束从光密入光疏时的散射比从光疏入光密时的散射要大许多，所以在本实验中看到，谱线随出射角的增大而变宽明显，出射角越大，变宽率也越大．

4.2 函数图像与实际谱线的对比

谱线形状函数的图像与拍摄的实际谱线的图像比较，两者一致.

表1 为，，时的测量值与函数值

5 结语

分光计测棱镜玻璃折射率的实验系统就是棱镜光谱仪，其色散谱线就是棱镜光谱仪的色散谱线．作为三大光谱仪之一的棱镜光谱仪是最早问世的光谱仪，自1859年诞生起，其色散谱线为曲线这一现象就随即被观察到．棱镜光谱仪色散谱线的弯曲是因为折射定律，自从人们关注、研究这一现象并试图给出这一著名光路以数学解释起，由于数学分析与计算的难度（尽管所涉及的都是初等数学），这一数学解释一直没能成功给出，本文成功解决了这样一个数学难题，可以看成是一个数学上的范例．

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Shape function of spectral line in experiment of measuring refractive index of prism glass with spectrometer

SU Haitao

（School of Physics and Opto-electronic Engineering，Yangtze University，Jingzhou 434023，China）

The dispersion spectral line of the experiment of measuring refractive index of prism glass with spectrometer becomes a curve due to the law of refraction．Because of the difficulty of mathematical analysis and calculation， figuring out the mathematical expression of this curve，the shape function of spectral line，has become a long-standing difficult problem in mathematics．The azimuth of emergent ray was calculated by analysing in depth the light path structure of monochromatic light refracted by prism．From this，the shape function of spectral line in orthogonal condition was figured out．And then，by coordinate transformation，the shape function of spectral line in general case was derived，thus solving the difficult problem．Compared the image of the shape function to the corresponding actual spectral line，they are consistent．

spectrometer；prism；structure of refracted light path；shape function of spectral line

O435.1

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2024.01.012

1007-9831（2024）01-0065-07

2023-08-20

苏海涛（1966-），男，上海人，讲师，从事物理基本理论与实验研究．E-mail：1782934306@qq.com