刘美玉,马锦然,裴明鹤

(北华大学数学与统计学院,吉林 吉林 132013)

0 引 言

本文主要研究带p-Laplace算子的非线性二阶微分方程m点共振边值问题

(1)

近30年来,非局部边值问题已经成为微分方程定性理论中一个快速发展的研究领域。对这类问题的研究不仅受到理论兴趣的推动,而且还受到工程、物理和生命科学中的一些现象可以用这种方式进行建模事实的推动[1-2]。自1995年,GUPTA[3]首次研究了二阶m点共振边值问题解的存在性,非局部共振边值问题的研究取得了较大的进展[2,4-15]。注意到,以上文献所采用的研究方法主要有不动点指数理论[4,13]、迭合度理论[6,9,15]、Leray-Schauder连续性定理连同一些不动点定理[7-8,10,13]以及上下解方法等[11-12,14]。但有关带p-Laplace算子的二阶微分方程多点共振边值问题解的存在性研究较少见到[16-17]。

受上述文献以及文献[18-19]的启发,本文主要利用拓扑横截方法连同障碍带技巧,建立带p-Laplace算子的非线性二阶m点共振边值问题(1)的解的存在性结果。这里,我们想强调的是,本文的结果不仅是新的,而且对非线性项f不附加任何增长限制,同时非线性项f中的导数项的次数可以超过p次。

1 主要结果

在本文中,我们将使用如下条件:

(H1) 存在M>0,使得

xf(t,x,0)>0, ∀t∈[0,1],|x|>M。

(H2)存在常数Li,i=1,2,3,4满足L3

f(t,x,y)≤0, (t,x,y)∈[0,1]×[-M,M]×[L1,L2] ,

f(t,x,y)≥0, (t,x,y)∈[0,1]×[-M,M]×[L3,L4] 。

引理2[19-20]假设

则H(·,1)是本质的,从而H(1,1)在D内有不动点。

由连续函数的介值性,不难得到如下结果:

考虑边值问题族

(φp(x′) )′=λf(t,x,x′),t∈[0,1] ,

(2)

(3)

其中λ∈(0,1] 。

引理4假设(H1)成立。则对边值问题族(2)-(3)的任意解x=x(t),都有

|x(t)|≤M,t∈[0,1] 。

(4)

证明:假设存在t0∈[0,1]使得|x(t0)|>M,不妨设x(t0)>M。令t1∈[0,1]使得

(5)

则根据引理3,我们可设t1∈[0,1), 从而x′(t1)=0。于是根据条件(H1),有

(φp(x′(t)))′|t=t1=λf(t1,x(t1),0)>0 ,

x′(t)>0,t∈(t1,t1+δ) 。

这与式(5)矛盾。证毕。