陈思永

（广东白云学院数学教研室，广州 510450）

一、绝对改变量和相对改变量的应用实例

例1：某年某月某日某商家小李突然挂出苹果由每斤5.00 元降至每斤3.00 元，每斤直降2.00 元；销量大增，利润颇丰。

例2：同一天，有一家用电器商场，看见水果店门庭若市，生意兴隆，顿生主意，效仿水果店，打出彩色电视机每台5003.00 元降至每台5000.00 元，每台直降3.00 元，门庭若市了吗？门可罗雀，招来看客的一片骂声“神经病”。电器商场的小张好不委屈，别人降2.00 元，销量大增，而我降3.00 元，却招致骂声一片，为什么呢？

小张带着疑问请教业内资深人士，得知，降价的多少不是取决于绝对改变量，而是取决于相对改变量，而相对改变量的比值即弹性函数在经济中的作用是决定着人们的消费行为的原因之一。下面重点探讨“薄利是否真的多销”的原因。

二、相对导数或称弹性的概念

设函数y=f（x）在点x=x0处可导，函数的相对改变量，与自变量的相对改变量之比，称为函数f（x）从x=x0到x=x0+△x两点间的相对变化率，或称两点间的弹性。当△x→0时，的极限称为f（x）在x=x0处的相对变化率，也就是相对导数，或称弹性。记作：

当x0为定值时，为定值。

当x为任意时，为x的函数，称为f（x）的弹性函数。

它可以反映f（x）对x变化反应的强烈程度或灵敏度，即当x产生1%的改变时，（fx）改变

三、需求函数

所谓需求，是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品量。通常用Q表示需求量（销售量），P表示销售价量，且Q=Q（P）表明是价格的函数，一般情况下，Q（P）是单调减函数。

四、需求对价格的弹性（需求弹性）

需求弹性是刻画当商品价格变动时需求变动的强弱。定义某商品在价格为P0至P0+△P两点间的平均需求弹性，记作：

即在价格为P0时的需求弹性，记作：

注：负号是为了用正数表示需求弹性而人为修正的。因为△P与△Q往往是异号，反方向变化的。

（1）的证明如下：

设某种商品的需求量Q与价格P的关系为：

1.求需求弹性η（P）；

2.当商品的价格P=10 元时，再提高1%，求该商品需求量的变化情况。

（1）需求弹性为：

（2）当商品价格P=10 元时，价格再提高1%，该商品需求量将减少13.9%。

五、用需求弹性分析总收益的变化

总收益R=商品价格P×销售量Q（P）

（1）当η＜1 时，需求的变动幅度小于价格的变动幅度，R'（P）＞0，R（P）是单调增加函数，即价格上涨，总收益上涨；价格下降，总收益下降。如家电、家具类的商品。

（2）当η＞1 时，需求的变动幅度大于价格的变动幅度，R'（P）＜0，R（P）是单调减少函数，即价格上涨，总收益下降；价格下降，总收益上涨。即此类型的商品可以实行薄利多销，增加收益，尽快回收投资，实现资金的回笼，增加利润。如食品、服装类的商品。

（3）当η=1 时，需求的变动幅度等于价格的变动幅度，R'（P）=0，此时R（P）取得最大值。

例：某商品的需求函数为Q=75-P2（Q为需求量，P为价格）

（1）求P=4 的需求弹性，并说明其经济意义；

（2）求P=6 时，若价格P上涨1%，总收益将变化百分之几？是增加还是减少？

（3）P为何值时，总收益最大，最大的总收益是多少？

（1）需求函数为Q=75-P2

即当P=6 时，价格上涨1%，总收益将减少0.54%。

（2）总收益R（P）=价格×销售量

即当P=6时，价格上涨1%，总收益将减少0.85%。

（3）当R'（P）=0 时，即75P-3P2=0

P=5会出现最大收益，最大收益为R（5）=75×5-53=2×53=250

通过分析指点后，小张知道了：小李卖的是苹果，其需求弹性系数η＞1，可以采用薄利多销，增加总收益，而自己卖的电视，其需求弹性系数η＜1，不可以通过降价促销来增加收益。道理小张虽然搞懂了，但他仍然不清楚如何才能很好的促销，增加收益，多赚钱。业内资深人士说：可以通过非价格策略增加竞争力，满足消费者需求，谋求更大的发展。[3]

六、结语