杨熙飞 尚磊 邹林儿 沈云

(南昌大学物理与材料学院,南昌 330031)

1 引言

受激布里渊散射(stimulated Brillouin scattering,SBS)效应来源于波导材料中声波与光波的相互作用,其中声波主要是由于泵浦光电致伸缩作用下产生[1].SBS 效应具有两种形式,分别是前向受激布里渊散射(forward stimulated Brillouin scattering,FSBS)和后向受激布里渊散射(backward stimulated Brillouin scattering,BSBS),在光波导中常以BSBS 形式出现[2].SBS 具有光谱线宽窄、频率稳定和增益方向敏感等优点,可应用于激光器、微波光子滤波器、慢光产生等光学器件[3–5].普通石英光纤的SBS 增益系数低,需要高达几百毫瓦的泵浦光功率和数千米长的光纤,才可获得一定的SBS 增益[6].因此,为获得低泵浦阈值功率抽运实现高增益SBS,并满足器件片上小型化需求,需具有高非线性的新型光学材料提供更高的SBS增益系数[7,8].基于高非线性的非石英玻璃基SBS的研究现已引起人们广泛重视[9,10],于此,对实现低阈值高增益SBS 光子器件的研究引起极大关注,以具有高非线性硫系玻璃为基质的硫系光子学近年发展迅速,目前国际上光子功能器件中硫系波导作为新型光子器件的基本元件之一处于研究和开发最活跃的前沿[11].

2014年,Laer 等[12]提出一种悬浮硅狭缝波导其理论最大值可达到1.10×105W–1·m–1.2018年,Jouybari[13]采用带衬底的狭缝波导,实现了1.21×104W–1·m–1的布里渊增益.2019年,Zhou 等[14]设计了一种新型的硅系-硫化砷空气细缝结构,达到了2.88×104W–1·m–1的布里渊增益系数,2022年,Wang 等[15]设计了一种高达1.78×105W–1·m–1的布里渊增益的带空气细缝悬浮硫系光波导,但其采用悬浮结构,在实际应用时机械稳定性差,导致其无法完全处于悬浮状态,布里渊增益系数受环境因素影响较大[14,16].本文采用As2S3作为导波层、SiO2作为衬底设计了一种带空气狭缝倒置结构的脊型光波导,其布里渊增益系数可达8.22×104W–1·m–1,较目前报道的非悬浮结构硫系光波导的布里渊增益系数有明显提高[14].

本文从基本原理出发,使用COMSOL 软件计算带空气狭缝倒置结构脊型波导的布里渊增益系数,研究了该波导几何结构参数与后向受激布里渊增益系数的关系,以期获得具有高增益的波导几何结构参数.同时研究了波导有效模场面积对布里渊增益系数的影响,为进一步提高波导的SBS 增益提供新的思路.此外,还分析了在考虑光学损耗情况下,波导的斯托克斯光波放大即SBS 增益与波导长度的变化关系,分析了本文所提出的结构在片上集成光子器件中的优势.

2 物理模型

在经典的BSBS 过程中,泵浦光波和斯托克斯光波产生行进的光学力激发弹性模(表现为声波),其空间上随波矢变化,并以拍频形式随时间振荡[17].其过程可理解为,强泵浦光波通过电致伸缩过程激发声波,声波看成移动的密度光栅,散射泵浦光,形成后向斯托克斯光波[18,19].该过程需满足动量守恒与能量守恒,导致斯托克斯光波、泵浦光波、声波三者满足关系为

其中ωs,ωp分别是斯托克斯光和泵浦光的频率;Ω是激发的声波频率;Ks和Kp分别是斯托克斯光与泵浦光的波矢,q是激发的声波波矢.

通常波导中泵浦功率大于斯托克斯信号光功率,同时为了简化计算,采用小信号近似处理斯托克斯光与泵浦光,斯托克斯光功率与泵浦光功率的传递控制方程可表示为[20]

其中,Ps和Pp分别表示斯托克斯光和泵浦光的功率;α表示光波的线性损耗;β和γ分别是双光子吸收(two photo abortion,TPA)和其诱导的自由载流子吸收(free carrier absorption,FCA)的非线性光学损耗;G为所承载的声场模式SBS 增益谱之和,具有洛伦兹形状,其表达式可写为[17]

其中Ω为声场角频率,下标m代表第m个声学模式;Ωm是声场模式的本征频率,即布里渊频移;Γm是声波阻尼造成的衰减因子,与波导材料的粘度和平均密度相关,一般由Ωm/Qm给出(Qm为声波衰减质量因子,一般取Qm=1000)[17];Gm是单个声场模式SBS 增益系数的峰值.(5)式中单个声场模式SBS 增益系数的峰值Gm表达式为[14]

其中,Vgp和Vgs分别为泵浦光与斯托克斯光的群速度;ε和ρ分别为介质的电导率和密度;ω为光场角频率;f是波导中所有光学力的总和;Ep和Es分别表示泵浦光与斯托克斯光场强度;um表示第m个声场的声场强度;运算符〈A,B〉=.为了突显物理意义,便于说明各因素对于SBS 增益系数的影响,将(6)式改写为[14]

其中,

这里,CFVm表示机械质量因子、光的群速度和角频率以及布里渊频移三者综合对布里渊增益系数的影响;CEFm代表光波与声波能流对布里渊增益系数的影响;Qcm=|〈f,um〉| 表示光学力与声场耦合作用对布里渊增益系数的影响[12].

在光波导中,光学力主要以电致伸缩力与光辐射压力两种形式出现[21],即f=FRP+FES,其中电致伸缩力FES在介质中任一方向i的表达式为[17]

σij为电致伸缩张量[14]:

式中,ε0为真空中介电张量;Ek和El是电场强度不同方向分量,Pijkl是一个四阶的弹光张量.

在光波导中,光辐射压力FRP存在相对介电常数梯度不为零的交界面处,可由麦克斯韦应力张量公式推导得到[21].对于具有平移不变性的波导,仅有横向的光辐射压力对SBS 增益有作用,光辐射压力可用表达为[11,17]

式中,Dn是交界面处的法向电位移;Et是交界面处的切向电场强度;ε1和ε2分别为两种材料的介电常数.

3 结果与讨论

图1(a)是一种带空气狭缝的倒置结构脊型硫系光波导的横截面示意图,相对于传统脊型波导,光波导的脊掩埋于衬底层中,是一种倒置结构.本文所设计的波导将脊型结构As2S3倒置掩埋进SiO2中,可将光场限制在As2S3的脊型区域内,同时利用As2S3与SiO2之间较大的声速差距使得声场也限制在的脊型区域内[22,23],声场与光场在脊型区域内发生强耦合作用.该耦合是光学力引起的声场形成移动的密度光栅高效散射同在脊型区域内传播的泵浦光,由于多普勒效应,泵浦光与被散射的泵浦光(斯托克斯光)存在一个频移量,即布里渊频移,从而增强了斯托克斯光,其再与泵浦光之间相互作用下使声场进一步增强,形成级联反应,因此该结构波导可以获得高SBS 增益.另外,波导结构中引入空气狭缝后,由于空气与As2S3材料存在着较大的介电常数差,且光场主要分布在脊型区域内的空气狭缝附近,根据光辐射压力的(10)式可以计算得到空气狭缝与As2S3交界面处存在较大的光辐射压力,与空气狭缝附近的声场发生耦合进一步显著地提高SBS 增益.图1(b)展示了带空气狭缝的波导中心右侧中各边界的光辐射压力分布,从图1(b)可以明显看出,引入空气狭缝使得空气狭缝与硫系玻璃材料的边界处出现较大的光辐射压力.

图1 (a) 带空气狭缝的倒置结构脊型硫系光波导横截面示意图;(b) 波导中央右侧中各边界的光辐射压力分布Fig.1.(a) Cross section diagram of chalcogenide invertedridge optical waveguide with air slot;(b) radiation force distribution of each boundary in the right side of the waveguide center.

3.1 基模光场与所匹配的低阶声场分布

考虑到亚微米尺寸脊型硫系光波导,其光场主要以基模形式存在[24],图2 是该结构的波导光学基模分布和满足模式匹配条件(2)式的最低一至六阶(A1—A6)声学模式分布,波导结构参数:a=1500 nm,b=1000 nm,c=100 nm,d=4 nm,e=600 nm.图2(a)是工作波长1550 nm 下的光场基模Ex,Ey和Ez的场分布,可以看出,光学模式的各分量具有对称或反对称性.图2(b)是满足波矢匹配条件A1—A6 的声场模式ux,uy和uz的场分布,显示出波导的声学模式也具有对称或反对称性.要获得较强的SBS 增益,声学模式各分量与光学模式应具有相同的对称或反对称性[15],从图2(a)和图2(b)分析,可以得知该结构的波导可以实现较高SBS 增益.

图2 带空气狭缝倒置结构的硫系脊型波导的光场和声场分布 (a) 工作波长1550 nm 下光场基模 Ex,Ey和Ez 的场分布;(b) 满足波矢匹配条件的最 低一至六阶(A1—A6)声场模式 ux,uy和uz 的场分布Fig.2.Optical and acoustic field distribution of chalcogenide inverted-ridge optical waveguide with air slot: (a) Fundamental optical mode Ex,Ey and Ez at 1550 nm wavelength;(b) lowest first to sixth order (A1–A6) acoustic field modes ux,uy and uz which meet the wave vector matching conditions.

3.2 BSBS 增益系数与空气狭缝的关系

图3(a)是带空气狭缝的倒置结构光波导光场基模与满足波矢匹配条件声学模式A1—A6 的耦合分别在光辐射压力、电致伸缩力作用下的BSBS 增益系数,以及在光辐射压力和电致伸缩力共同作用下的总BSBS 增益系数,波导结构参数同3.1 节.图3(a)显示,声学模式A1—A6 的BSBS总增益系数分别为1.06×104,0.39×104,0.61×104,0.62×104,2.69×104和0.74×104W–1·m–1,其中A5 声学模式的总增益系数最大,A2 声学模式的总增益系数最小.另外,在这6 个声学模式中,光辐射压力作用下的增益系数明显大于电致伸缩力作用下的增益系数,说明光辐射压力作用下的增益系数在总增益系数中占据较大部分.由于光辐射压力只有横向分量,且其大部分集中在空气狭缝左右两边界处,而在此处的光辐射压力仅有X方向分量,根据SBS 增益系数计算(7)式中的项Qcm=|〈f,um〉|可知,声学模式在空气狭缝边界处的位移X方向分量ux是区分不同声学模式下总增益系数的重要特征.为此引入参数Dx来表征该结构波导的不同声学模式的BSBS 总增益系数差异,Dx定义为

图3 倒置结构硫系脊型波导光场基模与满足波矢匹配条件的最低一至六阶声学模式的耦合分别在光辐射压力、电致伸缩力作用下的BSBS 增益系数,以及在这两个力共同作用下的总BSBS 增益系数 (a) 带空气狭缝;(b) 不带空气狭缝Fig.3.BSBS gain coefficient by the coupling between the optical field fundamental mode and the lowest first to sixth order acoustic mode which satisfies the wave vector matching condition under the effect of radiation pressure,electrostriction force,and the combined effect of them in chalcogenide inverted-ridge optical waveguide with air slot,respectively: (a) With air slot;(b) without air slot.

表1 最低一至六阶(A1—A6)声学模式的参数 Dx 归一化值与BSBS 总增益系数Table 1.Normalized values of parameter Dx and BSBS total gain coefficients for the lowest first to sixth order (A1–A6)acoustic modes.

同时为了与不带空气狭缝结构的BSBS 增益系数对比,还分析了无空气狭缝的倒置结构脊型硫系波导的BSBS 增益系数,如图3(b)所示.从图3(a)和图3(b)中对比分析可知,带空气狭缝结构的波导的BSBS 总增益系数明显大于不带空气狭缝的BSBS 总增益系数,且不带空气狭缝的光辐射压力作用下的BSBS 增益系数几近于零.因此,这说明引入空气狭缝结构,可以显著地提高亚微米尺度的该结构下硫系光波导在光辐射压力作用下的BSBS 增益系数,以及电致伸缩力与光辐射压力共同作用下的BSBS 总增益系数.

从上述分析可知,引入空气狭缝结构明显提高了因光辐射压力作用下的增益系数.为了获得更高SBS 增益的结构,首先对空气狭缝宽度d进行优化,其他参数保持不变.选择声学模式A5 作为声场,空气狭缝宽度d在2—20 nm 内变化,发现其BSBS 总增益系数趋势是随着狭缝宽度增大而减小,如图4(a)所示.由(7)式可知,SBS 布里渊增益系数取决于CFVm,CEFm和三项之积.为理清SBS 布里渊增益系数变化原因,分别计算了(7)式中CFVm,CEFm和三项与空气狭缝宽度d的关系,如图4(b)所示.可以看到,CFVm项随空气狭缝宽度增大基本保持不变,项随空气狭缝宽度增大而增大,而CEFm项则随空气狭缝宽度增大而减小,与BSSB 总增益系数随空气狭缝宽度变化趋势基本一致.因此,可以推断BSSB 总增益系数随空气狭缝宽度变化时CEFm项作主要贡献.

图4 (a) A5 声场 模式 下,BSBS 总增益系数随空气狭缝宽度d 变化的关系;(b) CFV m,CEF m和 归一化系数随空气狭缝宽度变化的关系Fig.4.(a) BSBS total gain coefficient as air slot width d varied in A5 acoustic field mode;(b) CFV m,CEF m and normalization coefficient as air slot width d varied.

CEFm表示声波与光波能流对布里渊增益系数的影响,而能流与有效模场面积密切相关.因此,为了更直观地体现在空气狭缝宽度变化时BSBS总增益系数的大小,引入声光场的有效模场面积之积来探究对于同一光学与声学模式下BSBS 总增益系数的变化关系.光场与声场的有效模场面积之积表达式为[25]

图5 是计算得到波导的声场和光场有效模场面积之积的倒数归一化系数与空气狭缝宽度d的变化关系,发现声场和光场有效模场面积之积倒数随空气狭缝宽度增加而减小,显示该变化关系与BSBS 总增益系数随空气狭缝宽度d的变化关系(图4(a))具有一致的趋势.因此,可以说明在改变空气狭缝宽度d时,对于结构波导的同一光学和声学模式下,波导的声光场有效模场面积之积越小,BSBS 增益系数越高.

图5 声场和光场有效模场面积之积倒数的归一化系数与空气狭缝宽度d 的变化关系Fig.5.Normalization coefficient of the reciprocal that product of the effective optical and acoustic mode field area varied with the air slot width d.

3.3 波导结构参数优化

在上述分析了空气狭缝宽度对BSBS 增益系数作用后,综合考虑确定空气狭缝宽度为4 nm.为了进一步提高波导BSBS 增益系数,对该波导的脊高a、脊宽b及波导厚度e的结构参数进行优化.图6(a)是空气狭缝宽度为4 nm 的该结构波导在脊高与脊宽同时变化时BSBS 总增益系数的分布(其他波导参数不变),显示在脊高a为910 nm、脊宽b为902 nm 附近时,BSBS 总增益系数可高达约5.31×104W–1·m–1.图6(b)是该结构波导在脊高与脊宽同时变化时光场与声场有效模场面积之积倒数的分布,同样显示在脊高a为910 nm、脊宽b为902 nm 附近时光场与声场有效模场面积之积的倒数最大.将图6(a)和图6(b)对比分析,发现BSBS 总增益系数与光场与声场有效模场面积之积倒数的分布结果基本一致,因此当该结构下的脊高与脊宽变化时,波导的声光场有效模场面积之积越小,BSBS 增益系数越高.

在上述优化得到波导脊高a为910 nm、脊宽b为902 nm 的结构参数下,对波导厚度e进行优化,图7 是BSBS 总增益系数、声场与光场有效模场面积之积的倒数随波导厚度e的变化关系.图7显示波导厚度e为250 nm 时,BSBS 总增益系数达到最大值8.22×104W–1·m–1,比初始结构(空气狭缝宽度d为4 nm、脊高a为1500 nm、脊宽b为1000 nm、波导厚度e为600 nm)的波导布里渊增益系数明显提高,在此处的声场与光场有效模场面积之积的倒数也达到最大值;且两者有一致的变化趋势,表明在改变该结构下的波导厚度时,对于同一光学模式与声学模式下声光有效模场面积之积越小,BSBS 总增益系数越大.该结论与改变波导的空气狭缝宽度d以及脊高a与脊宽b变化时一致,因此,可归纳声光场有效模场面积之积越小BSBS 总增益系数越大.

3.4 光学损耗对BSBS 的影响

(3)式和(4)式表明光学损耗对BSBS 存在一定的影响,除了考虑其中的线性光学损耗外,还应考虑其非线性光学损耗.对于硫系波导,在光通信波段不存在FCA,其非线性光学损耗主要表现是较低的TPA[23],因此(3)式和(4)式改写为

根据(14)式,在BSBS 中实现斯托克斯放大,必须满足以下条件:

引入BSBS 品质因数F=G/(2β) 来表征在光学损耗影响下的SBS 强度,仅当满足F>1 时,才能在波导的BSBS 中实现斯托克斯放大[14,20].因此由(15)式可知,泵浦光功率存在阈值为

因此,对于仅考虑线性光学损耗及TPA 的非线性光学损耗的一定长度L的硫系波导,其斯托克斯光波放大即BSBS 增益可表示为[20]

通过对(17)式求导,可以获得最大BSBS 增益时对应的波导长度最优值LOPL为

采用热熔融回流法制备的小模场面积的硫系倒脊型光波导,其线性光学损耗系数α约16.1 m–1(0.7 d B/cm)[16].根据文献[20,26]可计算TPA 系数β与BSBS 品质因数F随空气狭缝宽度的变化关系,如图8 所示,显示TPA 系数与BSBS 品质因数F都随空气狭缝宽度d增大而减小,且BSBS 品质因数F都远大于1,因此空气狭缝宽度在2—20 nm 内时,都满足实现斯托克斯光波放大条件.

图8 TPA 系数β 与BSBS 品质因数F随空气狭缝宽度d 变化关系.波导结构参数为a=910 nm,b=902 nm,c=100 nm,e=250 nmFig.8.TPA coefficient β and the BSBS figures of merit F varied with air slot width d.Size of the waveguide structure: a=910 nm,b=902 nm,c=100 nm,e=250 nm.

选择空气狭缝宽度为4 nm 时的非线性光学损耗参数β和BSBS 品质因数F以及文献[16]中的线性损耗参数α,可利用(17)式得出斯托克斯光波放大在不同泵浦光功率下与波导长度的变化关系,如图9(a)所示.图9(a)显示斯托克斯光波放大(即SBS 增益)在短的波导长度内随着波导长度增大而快速增大,但到极大值后会随着波导长度的增大而缓慢减小,且随着输入的泵浦光功率增大,SBS 增益极大值也增大.图9(b)是通过(18)式计算获得波导长度最优值随所输入的泵浦光功率的变化关系,显示该波导长度最优值在泵浦光功率超过0.2 mW (即泵浦光阈值功率)后随着泵浦光功率的增大而快速增大,但在达到一定值后增大趋势迅速变缓.考虑硫系波导的光学损耗时,图9(a)和图9(b)表明当波导长度超过最优值,由于光学损耗带来的能量损失将会超过泵浦光输入的能量,造成斯托克斯光波功率开始下降;而增大泵浦光功率不仅可以提高斯托克斯光波功率可达到的极大值,同时还会增大波导长度的最优值.

图9 (a) 不同泵浦光 功率 下斯托克斯放大与波导长度间的变化关系;(b) 波导长度最优值与泵浦光功率间的变化关系.波导结构参数为a=910 nm,b=902 nm,c=100 nm,d=4 nm,e=250 nmFig.9.(a) The Stokes amplification varied with the waveguide length under the different pump optical wave power;(b) optimal value of waveguide length varied with pump optical wave power.The size of the waveguide structure:a=910 nm,b=902 nm,c=100 nm,d=4 nm,e=250 nm.

图9(a)还显示在该结构波导参数下,所输入的泵浦光功率为20 mW 时,SBS 增益达到100 dB,波导长度仅需要2 cm.对比目前报道中长度为23 cm 的硫系波导,其斯托克斯放大至52 dB泵浦光功率则需要约270 mW[27],本文提出的硫系波导结构具有更低的泵浦光抽运功率,更短的波导长度,从而更利于片上集成.

4 结论

本文分析设计了一种带空气狭缝的倒置结构硫系脊型光波导,优化波导结构参数发现在空气狭缝宽度为4 nm、脊高为910 nm、脊宽为902 nm、波导厚度为250 nm、空气狭缝距离边界为100 nm的结构下,波导的BSBS 增益系数可高达8.22×104W–1·m–1,与目前报道的非悬浮硫系光波导后向受激布里渊增益系数相比有明显提高.同时指出BSBS 增益系数与声光场有效模场面积存在关联,计算结果显示该结构的波导在同一种光学和声学模式下,波导有效模场面积越小,波导具有更高的BSBS 增益系数.另外,在考虑通信波段内硫系玻璃的光学损耗情况下,发现当波导长度超过最优值后,由于光学损耗导致的能量损失将会超过泵浦光输入的能量,造成斯托克斯光波功率开始下降,而增大泵浦光功率不仅可以提高斯托克斯光波功率的极大值,还会增大波导长度的最优值.同时经过计算表明在所输入的泵浦光功率为20 mW 时,SBS增益达到100 dB 波导长度仅需要2 cm,对比目前报道的硫系波导,具有更低的泵浦光抽运功率和更短的波导长度.该结构在硫系片上集成光子器件中对实现高SBS 增益具有参考价值,并为进一步提高布里渊增益系数提供了新设计思路.