梁平

【摘  要】  三角函数是研究循环往复现象的重要数学模型，本文在三角函数定义的基础上以课堂实录的方式呈现正弦函数与余弦函数图象的研究过程，提供研究函数图象的基本步骤和具体实例，通过学生自主探究与合作探究，增强学生分析问题、解决问题的能力.

【关键字】  正弦函数；余弦函数；核心素养

深入挖掘数学学科的核心价值，树立以发展学生数学学科核心素养为导向的教学意识，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程——这是笔者教学设计的根本宗旨.本节课教学的重点是正弦函数图象的绘制，设计的一大亮点就是由研究函数的一般过程入手，引导学生自主绘制正弦函数图象，难点放在三角函数横纵坐标为无理数的解决上，利用三角函数定义、数形结合的思想，突破难点，在过程中体会三角函数的本质，点的选取与绘制成为理解定义应用定义的重要载体.以图象绘制为依据，体会函数图象的描点、平移，简化作图等综合处理过程，以数学思想方法为依托，培养数学核心素养.

本单元正弦函数余弦函数的图象与性质在本章的位置如图1所示.

正弦函数、余弦函数是一类基本初等函数，作為函数的下位知识，对于它们的研究基本遵从函数图象与性质的研究思路，可以类比、对比指数函数、对数函数等展开研究：定义—图象—性质—应用.

在弧度制下，任意角的集合和实数集建立起一一对应的关系，为三角函数奠定基础，三角函数的定义为图象的绘制提供了条件，图象又对后期研究函数的性质提供的方法和依据.

理解角度作为自变量与实数是一一对应的，以本节数学知识作为载体，为渗透类比的思想、转化化归的思想，以及数形结合的思想，还有提高数学推理论证能力、几何直观能力、代数运算都提供了很好的契机.

探究点的确定与选取过程中，树立善于思考、严谨求实的科学精神；系统地思考如何将定义在单位圆中三角函数的定义利用几何直观与代数运算绘制到平面直角坐标系下，体会几何图形在精确处理无理数的应用，问题处理的必要性、合理性、优越性；同时，利用五点作图培养学生简化数学问题，以及在五点作图中体会点的对应在函数以及函数图象上的重要地位，通过正余弦函数的没再联系绘制余弦函数图象体现了划归的数学思想，培养学生自主学习习惯，增强学生间相互交流，取长补短，形成良好课堂学习氛围，达到学生主动、全面、健康发展.

引发学生在问题的发现与解决中进行思维活动，使学生在思考、讨论、交流中经历每个问题的产生和解决过程.

分为以下四个教学环节：

1  情境引入

1.1  观察现实世界中的周而复始现象

现实世界中普遍存在周而复始的现象，比如沙漏在重力的作用下在铅锤面内做周期摆动，此时如果匀速地拉动纸板，纸板上就会留下一条连续光滑的曲线，这条曲线也从一个侧面反映了沙漏的摆动特征.我们知道三角函数是描述周期现象的一类特殊的函数模型，那么它与这条连续光滑的曲线是否存在某种内在联系呢？带着这个问题，我们开始继续研究三角函数.

设计意图  让学生体会三角函数在现实生活中的实例特征，初步感知图象变化，自然引出函数图象的研究.

1.2  类比指对幂函数的研究经验

我们在定义给出之后，可以画出函数图象，通过观察图象特征，获得函数性质的一些结论.在三角函数中，我们发现单位圆上任意一点旋转一周又回到原来的位置，这一现象也可以用公式（一）来表示，这说明自变量每增加或减少个单位三角函数的函数值重复出现，利用这一特征就可以简化三角函数图象与性质的研究过程.

1.3  正弦函数余弦函数的图象

利用类比函数的研究思路，自然引出这节课的重点内容，熟悉函数研究的一般路径.在研究之初就强调三角函数周而复始的特征，为所有三角函数的研究提供简化的依据.

2  问题导入

问题1

师  首先来看正弦函数，用角的终边与单位圆交点的纵坐标来定义正弦函数，通过观察我们发现单位圆上任意一点旋转一周又回到原来的位置，这一现象也可以用公式一来表示，这说明自变量每增加或减少个单位三角函数的函数值重复出现，利用这一特征，在绘制正弦函数在整个定义域上的图象有什么帮助呢？

生  不必画出整个定义域上的图象，只需要画出的图象即可.

问题2

师  那请同学们试着画出，的图象，体会它与以往函数的绘制有何不同？

生  选取特殊点，但是绘制的时候会出现无理数，不容易绘制准确位置.

设计意图  引起研究冲突，由于正弦函数的点基本都是无理数，在绘制过程中会当取值时，的值大都是近似值，加之作图上的误差，很难精确做出图象，认识新函数的图象的真实面貌，代数无法解决准确绘制的问题，只能从几何入手.

问题3

师  如何在直角坐标系内，精确画出正弦函数上任意一点？先从一个具体点开始研究.以点为例，对于横坐标，代数无法解决，将会从哪个方向入手解决？

生  利用几何回归定义，利用单位圆解决.

设计意图  培养学生遇到问题首先回归定义寻找突破的意识，然后观察自变量及将函数值的几何意义，借助单位圆，确定正弦函数上任意一点的几何转化.

问题4

师  在单位圆中是一个角度，在坐标系下是一个长度，如何将角度转化为长度？

生  利用弧度制进行转化.

问题5

师  有了具体一点的绘制，如何绘制任意一点，我们在轴上任取一点，如何找到它的纵坐标的准确位置？

生  实际动手操作.

设计意图  观察自变量及函数值的几何意义，借助单位圆，确定正弦函数上任意一点，学生的难点在于在直角坐标系下，是一个点的横坐标，但在单位圆中的它是一個弧度制的角，无法建立联系，可以从各自的几何意义入手寻找解决途径.给一些工具，让学生充分发挥自己的主动性，体会单位圆中正弦函数的定义，体会正弦函数上任一点的绘制方法和数形结合的重要应用，更加深入的理解点与三角函数的定义的内在联系和转化.

问题6

师  我们已经学会了绘制正弦函数图象上的某一个点，你能制定一个方案，画出在上的图象吗？

生  （1）找一些特殊点，然后利用上面找点的方法逐一描点，然后连线；

（2）把单位元进行等分，将坐标轴上线段进行对应等分，再平移纵坐标描点；

（3）找上的一些特殊点，利用单位圆的对称性得到各个区间上的图象.

设计意图  充分体验取点作图过程，从中感受正弦函数在单位圆中的对称性，简化作图过程.

师  可以用信息技术，在取足够多的点，并将这些点用光滑的曲线连接起来，得到比较精确的函数在上的图象.

设计意图  信息技术可以达到动点成线的直观效果，使学生进一步理解任意一点与整体图形之间的关系，理解图象形成的内在道理.

问题7

师  根据正弦函数在的图象，你能得到正弦函数在整个定义域上的图象吗？你的依据是什么？

设计意图  从到实数集的延伸，是从有限到无限的推广过程，引导学生进行逻辑推理与直观想象.

师  图象完全一致，所以我们就可以不断将函数图象向左向右，无限延伸.

这就是正弦函数的图象，正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条波浪起伏的连续光滑曲线.

问题8

师  对于函数的研究能够快速又准确地做出其简图，往往起到重要的作用，你能抓住那些关键点确定正弦函数在上的简图吗？

设计意图  在精度要求不高的前提下，五点法作图起到关键作用关键点的选取和对应是这个问题的关键，而点的对应关系是解决整个问题的重要节点.最大值点最小值点与轴的交点，有了这些点就可得到图象的大致形状了.

问题9

师  有正弦函数的图象，你能得到余弦函数图象吗？

设计意图  纵坐标变成横坐标画图的时候就不那么容易实现了，引导学生通过正弦函数和余弦函数的内在联系，实现化归与转化.

师  当然有些同学想到再用定义去绘制余弦函数图象非常好，但是绘制的难度会增大，所以在解决一个新的问题的时候我们不仅需要回归定义，更要利用已有的知识解决新的问题，这种化归的思想在数学问题的解决中起到了非常重要的作用.

问题10

师  你能用点的坐标，解释这种平移变换吗？

设计意图  从代数形式上点的坐标解释图象变换，使学生发现平移的本质点在，点就在.

问题11

师  类似于五点法作正弦函数图象，如何做出余弦函数的简图，选取哪个区间比较合理，取哪些关键点呢？

设计意图  通过类比让学生掌握余弦函数图象特征，并再次体会五点法作图.

3  概念的巩固应用

例1  画出下列函数的简图.

（1）；

（2）.

设计意图  利用已有知识研究新函数的绘制，可以巩固五点作图，图象变换.

4  回顾小结巩固延伸

通过函数的一般研究过程，引出了正弦函数余弦函数图像绘制的需求，我们利用定义突破了正弦函数任意一点的绘制的难点，体会了回归定义的必要性，通过选取具体的足够量的点得到了正弦函数在上的图象，又利用正弦函数周而复始的特性得到了整个定义域上的图象，随后通过选取关键点学会用五点作图法得到正弦函数的简图，利用正弦函数与余弦函数的内在联系，利用已有知识解决了未知问题，实现了问题的转化.最终绘制了正余弦函数的图象，为今后研究性质做好铺垫.

5  结语

正余弦函数图象的绘制在研究三角函数的过程中起到非常重要的作用，根据函数研究的一般路径，有了函数定义之后必定要绘制函数图象，这是函数研究的必经之路，为性质的研究提供依据，但正余弦函数图象的绘制，与之前函数图象的绘制最大的不同是无法沿用之前的描点法，而需要利用几何描点法来解决无法准确确定绘制无理数的问题，本节课利用三角函数在单位圆中的定义，借助弧度制引导学生寻找角度与线段长度之间的关系，利用几何描点法实现突破.在解决了任意一点的准确绘制问题，下一个难点就是利用等分的方法绘制足够多的点.因为本班学生发散思维比较好，在绘制的过程中有些同学想到了用三角函数的对称性大大简化绘制过程.利用正余弦函数的内在联系得到余弦函数图象，体现了知识之间的相互联系.这种方法也为之后绘制复杂的三角函数提供了思路.表面上本节课是在绘制函数图象，但中间蕴含了丰富的思想方法，包含了逻辑推理，数学抽象，直观想象等多个数学核心素养，对学生提升解决数学问题的能力起到非常重要的作用.

参考文献：

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