文/东莞市横沥中学 李晓云

数学原理是数学公理、定理、公式、性质和法则等的统称，即正确的数学命题。学生对数学原理的学习可以从“重述、多种表征、应用（双向运用）、推导或证明、关联”五个维度来评价。深度学习能促使其走向高维。我将以“不等式的性质”一课（简称本课）为例阐述基于深度学习的数学原理课的特征与教学策略。

一、基于深度学习的数学原理课的特征

1.联想与结构

让学生体会数学知识的整体结构和联系，形成知识结构网络化是深度学习的一个重要特征。例如本课的探究部分，通过问题串的形式，引导学生类比“等式性质”，获得“不等式的性质”的猜想。

【教学片段】

问题1：为了得到“研究不等式的基本思路”，请同学们先回顾“研究等式的基本思路”是什么？定义、性质、应用。

问题2：能用数学语言表示等式的性质吗？若能，请在表格中书写出来。

问题3：等式性质的基本研究思路是什么？数学思想方法是什么？

问题4：不等式性质的基本研究思路是什么？数学思想方法是什么？

问题5：你能用文字、符号语言表示不等式的性质吗？

【设计说明】问题4 和5，注重运用类比。对于问题5，学生不容易猜想出正确的不等式性质的两种语言表达，但有了这个对比的体验过程，才会在后面的学习中更聚焦不等式性质与等式性质最大的不同点是第三点，同乘或同除一个负数时，不等号的方向要改变。这种从学生已有的数学经验出发进行联想，建立新旧知识之间的联系，培养学生梳理知识结构体系的习惯，更容易形成研究数学问题的一般策略，把学生的学习引入深度。

2.活动与体验

设计数学活动时，要注意其开放性、有意义性、思维价值性，有利于学生积极深度参与，深度学习。例如在本课教学中，从特殊的实例到一般的规律探究，从而归纳出不等式的性质的数学活动。

【教学片段】

探究1 用“＞”或“＜”在横线上填空，在“□、△”里填数。

（1）5＞3，5+2__3+2，5-2__3-2；

（2）-1＜3，-1+2__3+2，-1-3__3-3；

（3）□＞-4，□+△__-4+△，□-△__-4-△，

【设计说明】人教版教材里的探究活动的体验例子少，增加第三个灵活、开放性、有挑战性的小题，能让学生的思维走向高阶。七年级学生的符号意识需要进一步加强，这是与小学数学最大的区别，通过用“□、△”符号代表数，强化字母代表数的本质。同时，第3 个问能集智，通过全班学生各自的代数计算，能收集更多的例子来猜想、验证“不等式的性质1”。为了让所得的原理更能得到学生的认可，让学生得到更好的学习体验，本节课播放“作差法”进行逻辑推理的微课。

3.本质与变式

体会数学核心内容的本质，清晰知识点之间的联系与区别，把握数学的本源。如学生在本课的探究性质后，能指出知识的异同。不等关系与相等关系是数学在客观世界最普遍的存在，是一对矛盾体，在等式性质的基础上，自然认识不等式的性质，一脉相承。

【教学片段】

问题5：不等式的性质2 与不等式的性质3 有什么区别？

问题6：反思等式性质与不等式性质的主要异同是什么？

【设计说明】学生在完成不等式的性质与等式的性质的对应表格后，让学生用自己的语言清楚地表达不等式的性质之间异同，不等式的性质与等式的性质异同的过程，有利于提高语言表达能力，完善数学知识结构。

4.迁移与应用

深度学习要求能把知识迁移应用到新情境中。“不等式的性质”一课中，通过例题与对应的变式练习，由浅入深，对原理进行正向应用是一种重要的知识迁移路径。当正向强化足够后，需要逆向应用，才能让知识的迁移走向深度，学生才能真正掌握原理。

5.价值与评价

通过小组讨论、交流、成果展示，突出学生的主体地位，形成正确的价值观和批判性思维，并获得过程性的评价。课堂小结让学生总结反思、交流本节课学到的知识、思想方法和活动经验。在课堂最后的5分钟，安排一个当堂反馈测试，分为A 组（基础题）、B 组（提升题），进行结果性评价。如果能用智慧学习平台支撑，现场可以产生反馈数据，会对本节课的终评更客观。

二、基于深度学习的初中数学原理教学的策略

1.贴近生活的情境创设。“不等式的性质”一课的情境引入有三种常用方式：天平、数轴、年龄。但用天平反映出不等式性质的最大缺点是学生不一定都接触过平天，无法产生相应的天平知识关联。用数轴表示不等式性质的最大缺点是过于抽象，难与生活有直接联系。因此，在“不等式的性质”一课中，采用哥哥与弟弟的关于年龄的对话来引入，既能引起学生的认知冲突，产生学习新知的内驱力，也能培养学生从数学的角度去观察、思考、表达世界。

2.问题、任务的驱动。好的问题能引导、启迪学生自身思考，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，逐步培养良好的思维方式。教师设计有层次性、灵活性、开放性、系统性的问题，促使学生深入思考，激发探究的热情，高度参与活动，完成教师给的任务。引导学生类比、比较、联想已学知识，猜想新的知识，提出有价值的问题，增强了学生的问题意识，培训高阶思维，促进深度学习。

3.新旧知识的整合。如果“不等式的性质”一课脱离“等式的性质”去教学，容易造成知识链的断裂，把知识孤立，所以知识点像蜘蛛网上的各个节点，要把它们之间的千丝万缕的联系结合起来进行教学。引导学生善于发现知识之间的联系与区别，运用批判性的思维整合新旧知识，内化到自身数学知识结构网络，通过迁移应用完善、巩固知识结构。

4.合作探究的学习方式。合作探究的前提是自主思考。因此，该学习方式有利于提高学生的专注力和参与度，有利于思维交流，产生集智效果。成果展示，更易提高学习数学的兴趣，获得成就感，产生学习内驱力。

5.信息技术的融合。信息技术有效地与教学融合，能解决课堂教学的时间、空间有限的问题，能让抽象的数学知识更直观地呈现，解决个性化学习的重要手段。数学原理需要通过具体实例，观察、实验、猜想、验证、归纳才能得到。几何画板、GGB、Excel 数据表等能让数学原理的变与不变性突显。微视频能让更多直观的、生活化的素材，更生动地呈现给学生。比如“不等式的性质”一课中，“等差法”视频的讲解，既不冲淡本节课重点，又能让学生感悟逻辑推理过程。同时若能使用智慧平台，比如“科**飞”的畅言平台，能实时反馈每位学生的课堂答题情况、参与情况，能发层推送相应的题目，实现每个学生在数学上有不同的发展，有能力的学生，对原理的学习更深刻。