陈孝国，黄鸿辉，杨 悦，朱伟芬，王佑恩

ELECTRE 法（淘汰选择法的简称）由ALMEIDA［1］在2005 年提出.其因较强的实用性在各个领域获得了广泛运用，陆续扩展出ELECTRE-II、 ELECTRE-III、 ELECTRE-IV、ELECTRE-IN、ELECTRE-IS 等不同形式的变体，成为关系模型里最具代表性的方法.目前该方法在决策领域的成果也颇为丰富，例如文献［2］构建了基于ELECTRE-III 算法的群决策模型，文献［3］提出了多准则决策ELECTRE方法，文献［4］给出了基于ELECTRE 方法的工程评标决策，文献［5］探讨了一种基于ELECTRE 排序的简化方法，文献［6］在连续条件下建立了ELECTRE 决策方法.

但上述研究成果大部分属于经典数学领域的决策方法.而现实生活中许多问题都存在不确定性，因此ZADEH［7］提出了模糊理论，但是仅用隶属度来描述信息，在处理实际问题中略显不足，为了弥补这个缺陷，ATANASSOV［8］提出了直觉模糊集，用隶属度和非隶属度来表达不确定性信息.但仍然无法解决隶属度和非隶属度加和大于1 的决策问题.2013 年，美国学者YAGER［9］提出了Pythagorean 模糊集，满足隶属度与非隶属度的平方和小于等于1，该约束条件使Pythagorean 模糊集能更加灵活、有效地处理决策问题中的模糊性.基于此，本文针对具有模糊性的多准则群决策问题，提出一种基于ELECTRE 的Pythagorean 模糊群决策方法，为Pythagorean 模糊集在复杂群决策领域建立决策方法提供理论支撑.

1 Pythagorean 模糊集

定义1［10］设X是一个非空集合，则X中的Pythagorean模糊集为其中：up(x)和vp(x)分别表示P中x的隶属度和非隶属度，满足约束条件0 ≤(up(x))2+(vp(x))2≤1，up(x)∈[ 0,1 ]，vp(x)∈[ 0,1 ]. πp(x)为犹豫度，πp(x)的取值越小则表明关于x的信息越多.

定义2［10］P的补集定义为PC，PC=

为了方便记P=(up,vp)为一个Pythagorean模糊数.

定义3［11］设P1=(up1,vp1)和P2=(up2,vp2)分别为两个Pythagorean 模糊数，若up1≥up2且vp1≤vp2，则称P1≥P2.

定义4［12］设P1=(up1,vp1)和P2=(up2,vp2)为两个Pythagorean 模糊数，定义：

定义5［12］设P1=(up1,vp1)和P2=(up2,vp2)为两个Pythagorean 模糊数，定义距离d(P1,P2) =

定义6［12］设p=(up,vp)，则p的得分函数为s(p)=(up)2-(vp)2，其中s(p)∈[-1,1 ]，对于任意两个p1，p2，如果s(p1)＜s(p2)，则p1≺p2.

定义7［12］设p=(up,vp)，则p的精度函数为a(p)=(up)2+(vp)2，其中a(p)∈[ 0,1 ]，对于任意两个p1，p2，如果s(p1)=s(p2)，①当a(p1)＞a(p2)时，则p1≻p2；②当a(p1)=a(p2)时，则p1≈p2.

2 Pythagorean 模糊ELECTRE 群决策方法

2.1 Pythagorean 模糊群决策矩阵构造

假设在某群决策问题中，有m个对象方案，用A={A1,A2,…,Am}表示.有l个专家组成专家集D={d1,d2,…,dl}，专家重要度集为λ={λ1,λ2,…,λl}，λk=(k= 1,2,…,l)，具体取值如表1 所示.C={C1,C2,…,Cn} 为n个准则，第k个专家对应的准则权重完全未知，且为专家dk给出的方案Ai在准则Cj下的Pythagorean 模糊评价矩阵.

下面将给出Pythagorean 模糊群决策矩阵构造.

①第k个专家权重ξk（k= 1,2,…,l）的计算.

③准则Cj={j= 1,2,…,n}，综合权重ωj={j= 1,2,…,n} 的计算.

⑤按照文献［13］的方法对综合Pythagorean 模糊评价矩阵进行规范化.

方案的准则值可分为：效益型、成本型、固定型、偏离型、区间型、偏离区间型［14］.而这些类型都可以转化为效益型.具体转化方法在文献［13］中已给出，这里不再重述.

2.2 Pythagorean 模糊数级别优于关系的构造

①和谐集和不和谐集的定义：为不失一般性，假设方案集A中的任意准则值都是越大越好，即评价矩阵已规范化处理，对于任意方案k和l，决策准则被划分为2 个不同的子集.Ak和Al的和谐集为所有Ak优于Al的准则组成，在本模型中准则的优于关系由准则的Pythagorean 得分值来衡量，定义和谐集不和谐集

②和谐指标和不和谐指标的定义：准则Cj上支持“Ak级别优于Al”的和谐指标定义如下：

这里显然有0 ≤Cj(Ak,Al)≤1.

准则Cj上支持“Ak级别优于Al”的不和谐指标定义如下：

③全局指数的定义：在ELECTRE 方法中用C(Ak,Al)来描述全局和谐性，定义如下：

对全局不和谐性检验用ND'(Ak,Al)表示，定义如下：

④偏好关系的定义：基于全局和谐性和全局不和谐性的定义可得到方案之间的偏好关系

其中：P(Ak,Al)表示方案Ak优于方案Al的程度，P(Ak,Al)= 1 表明Ak,Al之间存在确定的Pythagorean 模糊优于关系，P(Ak,Al)= 0 表明Ak,Al之间不存在Pythagorean 模糊优于关系.

2.3 决策步骤

步骤1：各专家分别给出各方案在准则下的Pythagorean 模糊评价矩阵.

步骤2：通过式（1）计算各专家的权重，通过式（2）、式（3）计算各准则的权重，通过式（4）集结各专家对方案的评价矩阵得到方案的综合Pythagorean 模糊评价矩阵，再由文献［13］的方法进行规范化.

步骤3：通过式（5）计算单个和谐性指数，通过式（6）计算单个不和谐性指数.

步骤4：通过式（7）计算全局和谐性指数，通过式（8）计算全局不和谐性指数.

步骤5：通过式（9）计算Pythagorean 模糊级别优于关系.

步骤6：通过设定截取阈值S(λ)，将Pythagorean 模糊级别优于关系转化为确定二元关系，即若P(Ak,Al)≥λ-S(λ)，则令P(Ak,Al)= 1. 否则令P(Ak,Al)= 0，其中

步骤7：通过降序蒸馏法对方案进行排序，即对所有方案考虑满足上述条件的级别优于关系，根据流出Ak的有向弧与流入Ak的有向弧之差Q(Ak)来衡量方案的优劣.对于最大Q(Ak)值的方案Ak，划归到第一级别D1.若D1中只有一个方案则该方案即为最优方案，再从原方案集里剔除最优方案，对剩余方案重复上述步骤选出次优方案划归到第二级别D2；以此类推直到方案全部筛选完毕. 若Di(i= 1,2,…,n)中有多个方案，则对Di内部方案用上述步骤筛选.

3 实例分析

某风险投资公司想投资某项目，现有四家公司（方案）可选，分别是：互联网公司A1、食品公司A2、娱乐公司A3、汽车公司A4，该风险投资公司请了三类专家di()i= 1,2,3 ，同时他们选择了4 个评估指标，即：环境因素C1、投资风险因素C2、成本效益因素C3、企业成长性因素C4.其中专家的重要程度分别为专家d1为III 级，专家d2为I 级，专家d3为II 级.准则权重完全未知，试确定最佳投资公司.

①各专家对不同方案在准则下的Pythagorean 模糊数评价信息如表2～表4 所示.

表3 专家d2 对各方案的Pythagorean 模糊数评价信息

②通过式（1）计算各专家的权重为ξ1=0.282 014，ξ2= 0.364 836，ξ3= 0.353 150. 通过式（2）计算每个专家给出准则的客观权重向量ω1= (0.360 595,0.286 245,0.113 383,0.239 777)，ω2= (0.267 537,0.442 088,0.146 819,0.143 556)，ω3= (0.382 643,0.157 791,0.132 150,0.327 416).通过式（3）计算各准则的综合权重为ω1=0.334 430，ω2= 0.297 739，ω3= 0.132 209，ω4=0.235 622.通过式（4）集结各专家对方案的评价矩阵得到方案的综合Pythagorean 模糊评价矩阵，再利用文献［13］的方法进行规范化，结果如表5 所示.

表5 各方案的综合Pythagorean 模糊数评价信息

③由和谐集、不和谐集定义计算结果如下：

根据式（5）计算单个和谐性指数得到如下结果：

根据式（6）计算单个不和谐性指数得到如下结果：

④通过式（7）计算全局和谐性指数得到如下结果：

通过式（8）计算全局不和谐性指数得到如下结果：

⑤通过式（9）计算Pythagorean 模糊级别优于关系得到如下结果：

⑦按照降序蒸馏法对方案进行排序，具体流程如图1 所示.

图1 降序蒸馏法步骤

各方案排序结果为：A4≻A1≻A2≻A3，即最佳投资公司为汽车公司A4.

4 结语

在处理群决策问题时ELECTRE 法是一种有效且精准的方法，它比较适用于多准则（至少3 个准则）且复杂的群决策问题，其本质思想是从和谐性和不和谐性两个完全不同的侧面来衡量方案之间的偏好关系.Pythagorean 模糊集能够很好地处理决策问题中的模糊性，本文将两者的优势集结形成了基于ELECTRE的Pythagorean 模糊群决策方法，为具有模糊性和复杂性的群决策问题提供了一个切实可行的解决方法.