江苏省天一中学(214101) 安恺凯

对称现象普遍存在于自然世界中,而数学学科正是对自然事物的抽象、归纳和概括,因此在高中数学的许多内容中也弥漫与充斥着对称美.著名数学教育家G·波利亚曾说:“从一般意义上讲,对称对于我们的论题(探索解题)是很重要的”.高中数学课程标准指出: 数学教育要注重提升学生的数学素养,引导学生会用数学眼光观察世界、会用数学思维思考世界、会用数学语言表达世界(三会),“三会”中提到的世界不仅指数学外部世界,也包括数学内部世界,而对称作为自然世界中随处可见的一种现象,同时也是数学内部世界的一种重要表现形式,理应成为在数学教学中落实“三会”必不可少的载体.对称不仅给我们以美感,更重要的它是一种思想方法,它既是思考问题的出发点,又是探索解题思路的精良武器,在简化解题过程、进行数学命题推广等方面也具有独特的作用.对于2022 年数学新高考Ⅰ卷,考后从多种渠道反馈出学生具有一定的不适应性,背后折射出的是中学教学观念与新高考理念的不匹配性,过多的强化知识立意的教学模式,容易造成学生感知对称的直觉与本能的丧失.以下笔者从“三会”视角出发,与读者一起赏析对称美在新高考Ⅰ卷中的体现.

1 会用数学语言表达对称——五千言内隐玄关

例1(2022 年新高考Ⅰ卷第6 题) 记函数的最小正周期为T.若,且y=f(x)的图象关于点中心对称,则

赏析三角函数是一类重要的函数,三角函数的对称性是其基本性质,三角函数的对称性决定了该函数的零点、周期性、单调性等很多其它性质.本题解答的关键是学生是否能用频率ω和参数b正确描绘正弦型函数的对称中心,从而反映出学生是否理解频率ω和参数b的变化对三角函数各种几何性质和代数性质带来的“可变性”与“不变性”影响.

例2(2022 年新高考Ⅰ卷第10 题) 已知函数f(x) =x3-x+1,则( )

A.f(x)有两个极值点

B.f(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心

D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线

赏析多项式函数是各类函数中结构最具规律性和简洁性的一种, 在初中阶段学习一次函数、二次函数和反比函数之后, 三次函数作为多项式函数中的一个重要函数模型,其对称性可从多个角度引导学生理解与表达.一是可从对称函数的定义进行验证判识,即考查函数f(x)是否满足f(x)+f(-x)=2;二是可由奇(偶)函数通过平移变化得到,由于g(x) =x3-x是对称中心为(0,0)的奇函数,而f(x)可由g(x)向上平移一个单位得到,可知(0,1)是f(x)的对称中心;三是可在导数视域下由二次函数对称性的等价条件类比生成三次函数对称性的等价条件,二次函数的对称轴对应的横坐标是其一阶导数的零点,可引导学生类比猜想三次函数的对称中心横坐标是其二阶导数的零点,基于学情适当补充三次函数拐点的相关知识,合理增加学生的知识与见识;四是可基于函数图像进行直观感知,认识到f(x)的对称中心应为其两个极值点的中点,从而由极值点坐标求得对称中心.基于以上分析可见本题选项C 的设置为学生预留了丰富的表达路径,使学生主动探究的能力得到展示.

例3(2022 年新高考Ⅰ卷第12 题)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R,记g(x) =f′(x),若,g(2+x)均为偶函数,则( )

A.f(0)=0 B.C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

赏析本题作为新高考试卷的压轴选择题,借助多选题的题型特征,多层次地考查了抽象函数的对称性,由于抽象函数没有具体的表达式,因此对学生的数学抽象的表达能力提出了更高的要求.本题主要围绕以下四个考点: 一为“如何由f(kx+b)的奇偶性求f(x)的对称性”; 二为“如何由f(x) 的两个对称性求f(x) 的周期性”; 三为“如何由f(x)的对称性求f′(x)的对称性”;四为“如何由f′(x)的对称性求f(x)的对称性”.考点一、二是对函数对称性的平行描述,考点三是对函数对称性的正向描述, 考点四则是对函数对称性的反向描述, 要求由导函数的对称性反推原函数的对称性,创造性地将求不定积分的运算思想引入其中,成为本题的一大亮点.对于选项A,由于∫f′(x)dx=f(x)+C,即(f(x)+C)′=f′(x),所以f(x)的图像经过上下平移后,其轴对称性和导函数的对称性不会发生改变,即f(x)+C也满足题意,所以不能确定f(0)=0,故选项A 错误.

从上述实例可以看出, 用数学语言表达函数的对称性,即有抽象函数视域下的共性语言,又由具体函数(三角函数、三次函数等)视域下的个性语言,无一不向我们展示着数学语言的魅力和函数对称的玄妙.

2 会用数学眼光观察对称——观物间中得化机

例4(2022 年新高考Ⅰ卷第16 题) 已知椭圆,C的上顶点为A, 两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则∆ADE的周长是____.

解答由题设条件知,a= 2c,∆AF1F2为正三角形, 从而直线DE为∆AF1F2一边上的中垂线.不妨设F1为左焦点, 那么直线DE的方程为设D(x1,y1),E(x2,y2), 由得,故.如图1, 由对称及椭圆定义, 得C∆ADE=C∆F2DE=4a=13.

图1

图2

赏析直线、椭圆及相关几何量的计算是高中数学的必备知识, 学生长期处于知识立意为重的套路化教学环境中,对于“设直线—联立方程—应用弦长公式”的解题流程是极为熟悉的,因此求得椭圆方程对大部分学生并无障碍.作为填空压轴题,本题的第二个考查重点是学生对图形中对称的感知与应用,能否将∆ADE的周长对称转化为∆F2DE的周长成为本题解答的关键.若学生缺少观察与发现对称的眼光,则或陷入“求得椭圆方程后束手无策”的窘境,或掉入“通过直接求出点D和点E坐标来求周长”的粗浅运算的困境,在高考这类大型考试中,会对解题心理带来极其不利的影响.

例5(2022 年新高考Ⅰ卷第21 题)已知点A(2,1)在双曲线上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.

(1)求l的斜率;(2)略.

进而由两式作差可得4x1- 4x2+ 4y1- 4y2= 0, 即y1-y2=-(x1-x2),故.

赏析有别于以往高考试卷,新高考试卷中圆锥曲线大题的第一问便对学生的理性思维深度提出了较高要求.解决本题第一问的通常方法是设出直线PQ方程(含有两个参变量),联立方程组结合已知条件寻找两个参变量之间的关系,回代直线方程进而求出直线PQ的斜率,该方法思路清晰但运算繁琐,学生普遍“望算生畏”.笔者则根据双曲线中一个与对称点相关的性质(若点A,B是C上关于原点对称的两点,点P是C上异于A,B的一点,则)寻得化机,分两次转化题设条件“kAP+kAQ= 0”中的斜率kAP与kAQ, 从而联立出具有对称结构的方程组予以解答,“对称”为解决这类问题开拓了新视野.

3 会用数学思维思考对称——识得庐山真面目

例6(2022 年新高考Ⅰ卷第20 题)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100 例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100 人(称为对照组),得到如下数据:

images/BZ_12_1543_2796_1961_2973.png

(1)略;(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”.与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标, 记该指标为R.(ⅰ)证明:;(ⅱ)略.

解答

赏析本题要求证明新定义的统计概念R的两个表达式之间的等价关系,通过创设数学探索创新情境,促使统计试题中惯用的“套用公式,机械计算”模式在高考考场中失速失效.若仔细观察,不难发现R的两个表达式之间似乎存在着一定的对称联系,入乎其内思考,两者等价的关键是贝叶斯公式P(B|A)P(A) =P(A|B)P(B)的应用, 贝叶斯公式作为用来描述两个条件概率之间关系的数学公式,常以其对称优雅、深刻隽永而闻名.出乎其外思索,两者等价的实质是对列联表作对称变化(如图3,颠倒行列)后,度量值标R值不发生改变.数学的概念和公式是人类大脑抽象思维的产物,人们在创造数学概念和公式时,一方面要依据事物本身的规律,另一方面是出于对高于事物本身的思维上的对称美学的欣赏.而这些对称美学的直观感受,有时往往超越了数学知识的本身.

图3

图4

例7(2022 年新高考Ⅰ卷第22 题) 已知函数f(x) =ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1) 求a; (2) 证明: 存在直线y=b, 其与两条曲线y=f(x) 和y=g(x) 共有三个不同的交点, 并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

赏析本题作为整张试卷的压轴题,对学生的知识、能力和创新思维均有较高的要求, 体现了考查关键能力的导向,继第一问求得a=1 后,从对称角度对第二问分析如下:

设A,B为函数y1= ex与y2=x+b图象的两个交点,C,D为函数y3= lnx与y4=x-b图象的两个交点, 且xB=xD, 因为y1与y2、y3与y4的图象关于直线y=x对称, 所以xB-xA=xC-xD, 从而xA+xC=xB+xD=2xB.学生若能理解同底的指对数函数图象间互为反函数的对称关系,则不难由上述分析发现问题的图形本质.可见追求数学本质的命题与推广,往往突出对概念、属性、表现形态中对称性的理解与运用,强调数学对象中蕴含着的代数、几何的在对称层面上的和谐统一.

综合以上几例可以看出,2022 年新高考Ⅰ卷的许多关键试题都可以通过“对称”知微见著,凸显出数学的美学精神,着重考查学生会数学的眼光观察对称、会用数学的思维思考对称、会用数学的语言表达对称.而正因在日常教学中教师没有重视培育学生“三会”视域下的对称观念,致使高考考场上出现大量粗浅、蛮干的变换手段,从而把题目变“难”或变“繁”,以致学生答题时间“捉襟见肘”,羁绊于繁难的境况无法脱身,造成事实上的“难”试卷.对称美是数学美的特征之一,对对称美的追求,在一定的程度上促进了数学的发展,成为创造好的数学和完善性重要思考的组成部分.培养学生能有意识地运用对称思想去思维,主动地用对称的眼光思考数学学科,不仅在解题时驾简驭繁、开拓思路,在对数学的理解上也能愈加透彻和深入,致使能在一种十分美妙的精神世界里把对数学的学习和探究活动变得充满乐趣和富有魅力.