郭红利,谢景力,张美杨

(吉首大学数学与统计学院,湖南 吉首 416000)

现实中,易感者与感染者接触后,易感者往往不会马上显示出染病特征,而是经过一段时间才发病成为感染者.待发病期间的易感者称为潜伏者,发病延迟的这段时间用时滞来表示.受文献[17]的启发,笔者拟将易感人群细分为无疾病意识类和有疾病意识类,并引入潜伏期时滞,讨论一类受疾病意识影响和时滞影响的SEIM传染病模型.

1 模型的建立

将某一研究区域t时刻的总人口数N(t)分为4个不同的类别,即无疾病意识易感者Su(t)、有疾病意识易感者Sa(t)、潜伏者E(t)和感染者I(t),用M(t)表示媒体报道的疾病信息量.SEIM传染病模型如下:

(1)

4类仓室之间的转换关系见图1.

图1 模型(1)仓室及其转换Fig. 1 Compartment and Its Conversion Diagram of Model (1)

假设模型(1)满足以下初始条件:

Su(θ)=Φ1(θ),Sa(θ)=Φ2(θ),E(θ)=Φ3(θ),I(θ)=Φ4(θ),M(θ)=Φ5(θ)θ∈[-τ,0],

其中

(2)

设(Su(t),Sa(t),E(t),I(t),M(t))为模型(1)满足初值条件(2)的解,显然对于∀t≥0,有

Su(t)≥0,Sa(t)≥0,E(t)≥0,I(t)≥0,M(t)≥0.

2 平衡点和基本再生数

(3)

(4)

(5)

(6)

将(3)～(6)式代入模型(1)的第2个方程,得到关于I*的三次方程

f(I*)=a3I*3+a2I*2+a1I*+a0.

(7)

其中:

这里:

g(I*)=m3I*3+m2I*2+m1I*+m0.

根据笛卡尔符号法则,模型(1)正实根可能的数量见表1.

由表1可知:

3 平衡点稳定性分析

3.1 无病平衡点的稳定性

模型 (1) 在P0处的Jacobian矩阵

其特征方程为

(8)

显然,方程(8)恒有3个负实根:λ1=-d,λ2=-δ-d,λ3=-ρ0.方程(8)的其他根由以下方程决定:

(9)

化简方程(9),可得

(10)

当τ=0时,方程(10)化简为

λ2+(η+2d+ω+γ)λ+(η+d)(d+ω+γ)(1-R0)=0.

由Routh Hurwitz判据可知:当R0<1时,P0是局部渐近稳定的;当R0>1时,P0是不稳定的.

当τ>0时,设λ=νi(ν>0)是方程(10)的一个解.将λ=νi(ν>0)代入方程(10),分离实部和虚部:

(11)

(12)

将 (11)和(12)式分别平方再相加,可得

ν4+f1ν2+f2=0,

其中f1=d2-η2+(d+ω+γ)2,f2=(d+ω+γ)2(d2-η2+(η+d)R0(2η-(d+η)R0)).令X=ν2,则有

X2+f1X+f2=0.

(13)

接下来分析τ>0时,方程(13)的根的存在性:

(ⅰ) 当f1>0,f2>0时,方程(13)无正实根,即对于∀τ>0,无病平衡点P0是局部渐近稳定的.

由方程(13),可得相应的τn,

(ⅲ……