文| 潘小福（特级教师） 蒋敏杰

“用字母表示数”是后继学习方程的重要基础。学生学会用字母或含有字母的式子表示数量之间的关系、性质和规律，需要突破原有思维惯性，因此，“用字母表示数”一直以来都是教学的难点，也是教师教学研究的热点。

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“新课标”）从知识教学的整体性、一致性出发，强化了“用字母表示数”的教学，并将“方程”移入第四学段，这对教学“用字母表示数”提出了新的研究视角。那么，如何立足新课标要求，驱动“用字母表示数”的创新教学呢？常州市的芮金芳老师与杨晔老师都依据新课标中“内容要求”“学业要求”与“教学提示”的要求，合理设计与编排学习活动，帮助学生经历经验的“再加工”，进而实现认识提升，但她们在情境创设、探究引领、交流互动、巩固应用方面，有着各自的特点和风格，形成了可借鉴的案例。

一、创设丰富情境，帮助学生感悟“用字母表示数”的一般性

从用字母表示已知的数到用字母表示未知的数，再到理解用含有字母的式子表示数量关系，是认识上的飞跃，需要丰富的认知经验，特别是要让学生感悟“用字母表示数”的一般性，是学生认识的一个难点，需要让学生通过真实的问题情境去体悟。

1.以问题情境激活探究需求

芮老师和杨老师都非常关注创设问题情境，立足学生原有认知起点，激活问题思考：首先基于生活经验，知道字母可以表示特定的数；其次借助运算律学习的经验，体会字母可以表示不确定的数；然后启发学生从“是什么、为什么、怎么做”的角度提出新问题、新思考，明确学习目标，从真实需求出发，学生也自然进入了真实的情境问题。芮老师在课始安排了递进式的铺垫环节，从学生熟悉的扑克牌引入字母的“含义”，再到回顾运算律中字母表示数的特点，最后启发学生提出学习问题，明确学习需求，一系列环节设计上，让学生体会在生活、数学中用数、符号、字母表示的普遍性。杨老师将思考巧妙地安排在与学生的对话过程中，提出“无法确定的数，在数学上如何表示？”的问题，引导学生与原有经验联系，体会字母表达的应用，再引入韦达的研究，使学生知道从文字叙述到符号、字母表达的过程，感受到用字母表示数的力量。

2.以问题解决感悟一般性

感受用字母表达的一般性，需要融合各类情境、问题，让学生在不同背景的分析及问题解决中从代数视角看问题，把握规律，逐步体会用字母表示数及数量关系的一般化。芮老师借“摆小三角形，探索三角形个数与小棒根数的关系”“喝牛奶，研究总量与分量的联系”“围正方形，求周长、面积”三个问题情境，让学生在解决问题中认识到字母不仅可以表示简洁的结果，还可以表示两个变量的关系，在变与不变中感悟用字母表达的一般性。其后通过不同问题情境下对“5a”含义的解读，理解其表示的相同数量关系，体会“字母表示数”还能表示不同情境中共同的本质联系。杨老师设计的“年龄问题”“摆三角形问题”，集中指向学生思维的表达，通过如何简洁表达“哥哥和妹妹年龄的关系”“三角形的个数和小棒的根数之间的关系”，帮助学生在真实情境与抽象形式之间建立联结，使学生认识用字母比用文字更简洁、概括。

两位教师都激活了学生的原有经验，在实际情境中认识到用字母或含有字母的式子可以表达常见数量关系及其变形，还可以表达图形的周长和面积计算公式等，感悟字母符号在数学表达上的一般性。

二、消解认知困境，帮助学生理解含有字母的式子可以表达关系、规律

“用字母表示数”的目标定位是什么？有些教师定位在“能表示特定的未知数”，为此教学中进行大量练习以达成目标。教学实践告诉我们，学生的思维困难不仅在于此，学生依据经验，能理解喝掉的可以用 “x 毫升” 表示，但剩下的用250-x 表示，部分学生却难以接受与理解。产生问题的根源在于学生之前面对的都是在确定的数量关系中得出确定的结果，而当出现用含有字母的式子表示数量时，受算术思维的影响，从而造成对字母表示数的理解片面化。教学就需要在此下功夫，以更好地帮助学生突破原有思维，理解知识。

1.设计能引发学生思考的学习活动

教师教学要善于设计贴合学生思维的学习活动，引发认知冲突，通过具有挑战性的问题，促进学生积极思考，经历数学观察、思考、表达、概括与分析等学习过程，认识数学的表达方式。两位教师均设计了三个基本学习活动。芮老师“用自己的方式表示乔治喝掉的牛奶和剩下的牛奶之间的关系” 就是一个具有挑战性的学习活动。教师在教学中紧扣住了两个关键：一是通过对“剩下b 毫升”与“剩下250-x 毫升”的对比，使学生认识到用字母式能表示两个有联系的数量间关系；二是含有字母的式子可以表示一种结果，是一个数，当喝掉的牛奶x 确定，剩下的牛奶250-x 的量也就确定了，同时结合具体情境，表示不确定的数（变量）也存在一定范围。杨老师以“表示哥哥的年龄”设计探究活动，通过“能用一个式子表示出所有的情况吗”为核心问题，启发学生用自己的方式尝试概括表达，经历初步抽象概括过程。通过对话交流清晰数量关系中的不变情况，使学生体会到用字母思考和表达是数学概括的重要形式，具有更高水平的一般性。

2.促进学生思维的多元表征

新课标指出：在用数与符号表达和分析现实世界中的数量关系时，要让“学生经历在具体情境中运用数量关系解决问题的过程。”教学中就需要充分理解并给予学生思维的呈现方式及结果，并借以此为资源，指导学生比较与分析，逐层深入以达成基于数量关系理解之上的、对字母表示的一般性的感悟。两位教师在设计中都注重了学生思维多样表征的辨析。芮老师在引导学生自主探究“怎样表示三角形个数和小棒根数之间的关系？”的问题后，呈现五种不同的学生思维结果，其中“作品3”和“作品5”的本质是一样的，都是从数量关系中抽取出共同特征进行总结，体现简洁性与概括性。杨老师在指导学生分析哥哥与妹妹年龄关系时也是如此，抓住数量关系，从具体数量向符号表达的转变中，通过比较、说理，帮助学生打破原有思维，初步感悟代数思维。从数量关系的视角理解和把握核心内容，设计并捕捉学生多样表征，让思维可见，推动深度学习正是教师教学专业化的体现。

三、强化关系思维，帮助学生确立代数思维

《用字母表示数》一课，除了让学生理解并会用字母或含有字母的式子表示简单的数和数量关系外，还要让学生探索经历常见数量关系的抽象概括过程，体会一般化的表达，发展代数思维。教学中，需要通过具体学习任务，帮助学生分析事物的关系、性质和规律，以更好地感悟内涵。芮老师巧妙设计了“喝牛奶”情境，共250 毫升牛奶，喝掉的不确定，那么如何表示剩下的就需要学生把握数量关系，理清总量与分量，并引导学生在交流互动中发现变量之间的联系，进而知道在同一问题中不同的变量可用不同字母表示，也可以依据联系，用一个字母概括表示关系。杨老师通过比较用不同字母表示不同事物，并抓住哥哥、妹妹的年龄关系，帮助学生理清字母所概括表示的关系结构。“如果妹妹的年龄用a 表示，那哥哥的年龄就可以根据妹妹的年龄，用a＋4 表示；如果哥哥的年龄用b 表示，那妹妹的年龄就可以用b－4 表示”，通过对比让学生意识到字母表示的量不同，那含有字母的式子表示的量也不同，但蕴含的数量关系是不变的。

可见，认识其概括性、简洁性，需要引导学生发现从具体到抽象、由确定到变化的过程，要注重关系的发现及应用，让学生初步感受到“代数思维”的方式，由此自然生长。两个设计在解决“字母表示变量”时，都提了同一问题：“这里的3为什么不能用字母表示呢？”其目的就在于帮助学生理清对“用字母表示”的情境判断，明确字母是对数量及数量关系的抽象，这也是算术思维迈入代数思维的关键一步。

四、螺旋递进练习，帮助学生掌握含有字母式子的简写方法

学生掌握含有字母式子的简写方法也是需要达成的目标。以往的教学主要是通过教师讲解或学生自学课本的方式，教给学生简写的规则，并能应用规则准确简写。这样教学，虽也能完成基本目标，但弱化了学生体会用字母表示数的简洁性，没能很好发展学生的符号意识、推理意识。芮老师和杨老师都关注到“练习”对知识理解的作用，通过螺旋递进的方式，帮助学生掌握方法，提升字母表示的一般性认识。芮老师首先要求学生用字母表示正方形周长、面积的计算公式，在应用反馈中沟通原有认识经验，明确用字母表示公式更简洁；其次安排自主学习简写规则，并应用规则解决计算公式、数量关系的简写；最后，要求学生应用规则再次整理运算律，一方面内化用字母表示关系和规律的方法，另一方面丰富学生的认知应用情境，引导学生认识到用字母可以表达数量关系、性质和规律，感受其一般性。杨老师安排了三个层次的教学环节，即在应用中体现简写的作用，并学习规则；借助正方形、长方形等周长、面积计算公式完善规则应用；用含有字母的式子表示运算律。两位教师都将规则新授与练习应用融为一体，通过新旧知识联系拓展思维，感悟出用字母表示数的内涵与价值，从而提升用字母表达具有一般性的认识。

在《用字母表示数》一课的教学中，两位教师在素材选择上都化繁为简，通过核心问题引导学生思考，让思维在比较分析中得以丰富与深刻，认识也随着场景应用及理解的深入拾级而上。她们立足新课标要求，对教学进行了创新实践，取得了较好的教学效果。但是，立足新课标，“用字母表示数”的教学研究远不止于此，比如立足整体性、阶段性，第三学段的“用字母表示数”与第四学段的”用字母表示数”教学如何体现区别与联系；如何基于代数思维发展促进学生符号意识的发展等，都是后续仍需关注的问题，正符合教学研究是一个长期规划、不断累进的过程。依“标”研究，洞察问题，破解难题正是新课标学习与实践的重要举措。