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计算教学中的“算理”与“算法”

2023-12-04俞正强

教学月刊(小学版) 2023年32期
关键词:算理整数小数

□郑 霞 俞正强

近二十年来,计算教学越来越重视算理的教学,目的是让学生在“知其然”的基础上“知其所以然”。因此,在教学实践中,教师渐渐形成了这样一种认识:每一种运算算法背后都有一种算理。但在教学“分数乘除法”时,几乎所有教师都会产生这样的困惑:分数乘分数的算理要怎么讲呢?分数除以分数呢?对此,笔者试着从个人理解及教学实践出发谈一些看法。

一、算理与算法

首先,何为算理?何为算法?为了便于讨论,以“同分母分数加减法”为例进行说明。

接着进一步分析算理的基础。算理的基础包含数的意义与运算的意义。数的意义就是与所表示的意义,即“把一个整体平均分成8份,取其中的1份和2份”,结果分别是1个和2个;而作为加法运算,其运算的意义是把两个数合并成一个数的运算。据此形成得的理由,这个理由就称之为算理。依据同分母分数加法的算理,可以解决的计算问题,得到的正确结果为

那么算法呢?算法主要是指计算的法则,是简化了复杂的思维过程,添加了人为规定的程式化的操作步骤,解决如何算得方便、准确的问题。

综上所述,算理解决为什么这样算的问题,算法解决如何算得快的问题,计算教学的目标就是要算得又对又快。厘清了加法的算理与算法之后,可以用同样的方法厘清减法、乘法、除法的算理与算法,它们都是相同计数单位的合与分。

二、混合运算中的算理

在小学阶段,计算教学涉及加、减、乘、除四种运算,统称为四则运算。一个式题里,如果含有加、减、乘、除四种运算中任意两种或两种以上的运算,这个式题就称为四则混合运算式题。那么,四则混合运算有没有自己的算理呢?

计算:5+7+6。

算理:5个“一”与7个“一”合在一起,再与6个“一”合并,结果是18个“一”,就是18。

算法:从左到右依__次__计__算__。__

这样看来,这类运算算理的基础还是数的意义与运算的意义。那么算法呢?

计算:5+7×6。

算理:5个“一”与6个7(42个“一”)合并,结果是47个“一”,就是47。

算法:先乘除___后__加__减__。_

在这个四则混合运算中,包含运算的意义之间的一个“理”,即先特殊后一般。事实上,四则混合运算的四个运算的意义可以分为两组:加法与乘法为一组,减法与除法为一组。加法是统一计数单位的“合”,乘法则可以看作“合”中的一种特殊情况,乘法是一种连续合并,并且每次合并的计数单位个数一样多,即几个几相加,称之为“等合”。同理,减法是统一计数单位的“分”,除法可以看作“分”中的一种特殊情况,除法按照同样多的计数单位“分”,即多少里面有几个几,称之为“等分”。

学生可以通过对事理的理解来理解算理。概言之,如果四则运算中只有加减法或者只有乘除法时,学生应当依次进行计算;如果既有加减法又有乘除法时,则秉持“先特殊后一般”的顺序进行计算。那么,如果出现小括号、中括号等运算符号,学生应当如何处理呢?小括号和中括号是数学家发明出来,以解决特殊中出现更加特殊情况的方法。所以,当四则运算中出现括号时,学生可以依然遵循“先特殊后一般”的道理,先处理括号中的特殊情况,再依据先处理乘法或除法,再处理加法或减法的顺序依次进行计算。

三、分数乘除法的算理

在讨论分数乘除法的算理之前,首先要明确一点:学生对算理的理解是基于整数运算的条件形成的。乘法即等合,不断地按相同的计数单位进行合并,越合越多,所以乘法的运算总是使结果变大;除法即等分,不断地按相同的计数单位来分,所以除法的运算结果总是越分越少。

这种关于乘除法的运算观念,却在小数乘除法中第一次遇到挑战。因为实践中发现,当乘一个比1小的数时,结果越乘越小;当除以一个比1小的数时,结果却越除越大。学生在整数运算中形成的“积总是大,商总是小”的运算观念在小数运算中被颠覆。

因为小数的计数原则与整数相同,所以小数乘除法可以依照整数乘除法的法则进行计算,不同的是小数乘除法需要解决小数点的问题。因此,小数乘除法的算理并没有给师生带来困惑。然而,由于无法把分数当作整数,因而关于等合与等分的运算意义给学生带来了极大的困惑。下面结合分数的一些类型进行分析。

至此,关于分数乘除法的算理受到了挑战,教师感觉讲不清楚,于是带着学生画图。然而,教材中的画图只能说明计算结果是对的,并不能改变学生心中对乘法与除法的运算意义的理解。因此,画图不是在理解算理,只是说明运算结果对错的一种方式。

那么,如何讲清分数乘除法的算理呢?解决这个问题的关键在于理解“乘一个数等于除以这个数的倒数,或除以一个数等于乘这个数的倒数”这句话。这句话不是规律,也不是算法,它是理解运算意义的一个节点。而对算理的理解以对数的意义与运算意义的理解为基础。

在小学阶段,学生对运算意义的理解有两个十分关键的节点。其中一个节点在整数运算中,也就是乘是相同计数单位的合,即所谓的等合;除是相同计数单位的分,即所谓的等分。在这个阶段,乘是乘,除是除,是两种不同的运算。另一个节点便是在分数运算中。在这个节点中,分数本身是等分的结果,乘与除由此融合在了一起,即乘与除表达了同一个意思(如乘可以看作除以3,除以可以看作乘3)。因此,乘即除,除即乘;乘即等分,除即等合。

理解分数乘除法的运算的教学,不是每一种算法都讲一个算理,分数乘除法的算理始终是同一个,即等分与等合。因此,理解分数乘除法的算理的教学,关键不是通过画图来理解分数乘法或分数除法,而是让学生理解乘即除、除即乘的运算意义,从而理解分数乘除法的完整的运算意义。

对于同一个数学知识,小学数学教材中经常会编排初步认识与再认识两个内容(根据学生的年龄特征和认知规律,教材采用螺旋式的编排方式),如分数的初步认识与分数的意义。事实上,乘除法的运算意义也分为初步认识和再认识。即在整数运算中有乘除运算意义的初步认识,在分数运算中有乘除运算意义的再认识。那么,如何进行乘除运算意义的再认识呢?

对分数乘除法的运算意义的再认识需要从分数的意义入手,具体教学过程如下。

呈现材料:把1平均分成两份,每份是多少?

列式1:1÷2。

认识:除以一个数等于乘这个数的倒数。

进一步认识:在分数运算中,乘也可以表示等分,除也可以表示等合。

将这个分数乘除法运算中的认识,与整数乘除法运算中的运算意义叠加在一起,就形成了新的认识:在整数乘除法运算中,乘是等合,除是等分;在分数乘除法运算中,乘也是等分,除也是等合。

有了这样一个新的认识之后,学生理解分数乘除法的算理便会简单得多。如可以看作把平均分成5份可以看作5个是多少。这样,学生对分数运算算理的理解便没有任何障碍了,教师也不会困于算理模糊之中。

四、算理的“一”与算法的“万”

关于“理”与“法”有一句俗语,即“一理万法”,“理”与“理”之间莫不相通,终归于一,而“法”则可以因时因地而制宜。比如在整数加法、小数加法和分数加法中,就存在着算理的一致性和算法的多样性的情况(如图1)。

图1

从图1 中可以看出,整数加法、小数加法和分数加法的算理始终不变,一直是相同计数单位的合并,而算法却一直在变,由于数的不同而形成不同的算法。

从一年级学习整数运算,到三年级学习小数运算,最后到五年级学习分数运算,学生学习了很多不同运算的计算方法。透过这些不同运算的计算方法,学生发现:原来这些运算都遵循“相同计数单位相加”这个“理”。由此,学生产生豁然贯通之感。

同理,学生在学完分数乘除法之后,会形成如下认识:

形成这个认识之后,学生同样会产生豁然贯通之感。

当学生在六年的数学运算学习中有这样两次豁然贯通的感觉,就会深深地体会到一“理”与万“法”的关系和万变不离其宗的道理,这就是数学课程育人过程中非常深刻之处。

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