北京市第五中学 胡 芳

数学学业质量是数学学科核心素养的综合表现。《普通高中数学课程标准（2017版2020年修订）》明确指出，高中数学教学要树立以发展学生数学学科的核心素养为导向的教学意识，创设教学情境，激发学生学习兴趣，启发学生思考，掌握数学内容的本质，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程。因此，高中数学学业质量评价要关注学生数学学科核心素养的形成与发展，同时还要关注学生获取知识的过程。在数学教学中，教师不仅要随时关注学生的数学学业水平的变化，而且要根据学生学业水平的变化及时调整教学策略，以更好地促进学生数学核心素养的形成与发展。

学业质量评价要以教学目标为导向，以教学目标的达成度为依据，同时还要关注学生数学知识的掌握程度，关注学生学习过程中的学习态度、方法和学习习惯，最终落实到数学核心素养的形成。确定学业质量标准的依据主要是三个维度：课程目标中的“四基”“四能”，内容标准、学科核心素养水平，因此在课堂教学中对学生的学业质量评价也应当围绕以上几个方面进行设计和实施。

一、案例1：学生作业中的问题反馈与评价

作为一名数学教师，我们经常要反馈学生作业中的问题，多数情况下这些问题的处理方式是教师课上集中点评或者课下个别辅导，但我们经常发现某些问题在课堂讲过，在作业中练过，但一到考试中再次面对类似问题时，学生仍然是错误不断。究其原因，就是学生的学习过程中只是单纯地模仿训练，并没有真正理解问题背后所蕴含的数学本质。如果在教学中通过教师设计问题进行引导，让学生不仅思考问题、解决问题，更能提出问题、设计问题，让学生在这个过程中提升数学思维品质，理解数学知识的本质。不仅是教师考学生，也可以学生“考”学生，丰富评价主体，让师生之间、组组之间、生生之间进行评价，引导学生融入教学活动中来，提升课堂学生参与度，提升数学学科素养。

例如，在学习了三角函数的图像与性质后，学生作业中有这样一个问题：

已知函数f（x）＝sin（ωx+）(ω＞0)的部分函数图像，如图1所示，则ω＝____。

图1

本题要求学生能结合函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的图像，理解参数A，ω，φ的意义，了解参数变化对函数图像的影响。由于图像提供的信息有限，学生在考虑函数的对称性、最值和周期性时，难以全面把握性质与图像信息之间的充要关系，所以从当天的作业反馈中看出错误率比较高。

学业质量评价要以教学目标为导向，因此教师要先明确教学的基本任务。

（1）经历研究函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的图像与基本性质的过程，理解参数A，ω，φ与正弦型函数基本性质之间的联系；

（2）通过分析错例，合理转化正弦型函数问题中的图形信息与代数信息，并注意转化的等价性，培养数形结合、函数与方程的数学思想；

（3）通过设计问题，培养数学思维的发散性和灵活性，发展数学抽象素养。

课堂教学实施如下。

1．创设情境与问题，落实知识与技能

本节课的问题源自学生的实际错例，本身就能引起学生的关注，围绕教学任务设计以下几组问题。

问题1：如果已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的解析式，我们如何研究它的图像及性质？

追问：参数A，ω，φ对函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的图像有什么影响？

问题2：如果已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的性质或者部分图像，我们能否能得到参数A，ω，φ的相关信息？

通过问题启发学生回顾上节课的知识，并进行独立思考，考查学生对教学任务（1）的达成度，也是对学生的数学核心素养中的数学抽象是否达成“水平一”进行判断。

问题3：通过分析本题题干中的图像，大家可以得到函数性质的什么信息？（对称轴以及最小值点）

追问1：有了这些信息，是否可以解决问题？

追问2：图像描述了函数在两个点处函数值相等，能否代数刻画这个等量关系？

为什么与刚才的结论不同？（等价性转化问题）

追问4：如果根据图像，得到多解时，如何取舍？

问题4：现在去掉函数的图像，请你在下面的横线上补上恰当的条件，使得问题成立：

预设①f（x）在区间有最小值，无最大值（√）；

预设②f（x）在上单调递减，在上单调递增（√）；

预设③f（x）在区间只有一条对称轴（x）。

追问5：为什么③是错误的？

教学以学生的真实问题为脉络，教师通过创设问题情境，让学生深入思考函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的基本性质以及图像，体会单调性、对称性、最值和周期等重要性质之间的联系，在这个环节中通过问题设计，将学生思考不断引向深入，思考函数图像在变化过程中的本质性问题，教师要通过观察学生语言表达的逻辑性、注意力是否集中、证明过程是否有逻辑性和简洁性等，及时作出点评。

2．鼓励学生提出问题，展开讨论，训练学生思维与表达能力，引导交流与反思

问题5：通过前面的讨论，大家基本理解了函数f（x）中的参数对函数的性质以及图像的影响，并能根据图像和性质解释参数的变化范围。那么你能否以此函数的图像和性质研究为背景，再提出一个新的问题考考大家呢？

同学们对这个问题的思考十分踊跃，他们提出了不少问题，部分记录如下。

（3）函数f(x)在区间［0，1］至少出现2次最大值，则ω的取值范围是______；

学生在分析和解决问题的过程中，发现其中蕴含的数学关系，学会用数学的眼光找到合适的条件，用恰当的数学语言进行表达，并用数学思维进行分析，提出新的问题，并借助图形探索解决问题，这个过程就是一个学习的过程，是一个在做中思、做中学、做中突破难点的积极思考的过程。教师在这个过程指导学生创设问题条件，并将其合理转化为数学问题，有助于进一步发展数学核心素养，提升学生的数学能力，这可作为学生数学核心素养中的数学抽象是否达成“水平三”进行判断。

解题中发生错误和改正错误贯穿于学生的数学学习全过程。教师以教学任务为导向，通过学生的真实问题为教学情境，通过问题设计引发学生进行深入讨论：自己分析错在哪里？为什么错？如何避免？对这些问题的关注和研究无疑会加深学生对问题本质的理解。在这个过程中教师还要不断观察学生的学习行为，有针对性地及时做出教学评价。例如，在问题1的解释中学生是否使能想到利用五点法作图？在问题4的解决中，有学生提出当f（x）在区间只有一条对称轴时ω＝5，教师及时调整教学方程，引导学生讨论图形信息与代数信息在转化中的等价性等，在学生自己设计问题时，个别学生在提出问题进行解题阐述时，自己就发现了问题设计的漏洞，又重新进行改进和调整，这显然比单纯的纸笔测试进行学生学业质量水平判断要丰富得多，效果也要好得多。

二、案例2：学生探究性学习活动的评价

数学探究是运用数学知识解决数学问题的综合实践活动，承载着提升学生学科能力和素养的重要使命。在学生探究性活动过程中，对学生学习行为和态度的评价非常重要。教师可以采用形成性评价的方式，注重观察和评估学生的学习过程、学习态度和学习方式，从学生的探究性作业中了解学生基础知识和基本技能的掌握情况，了解学生独立思考以及提出、发现问题的能力和合作交流的意识等，把握学生的思维活动特征，记录他们学习中的问题，调整教学策略，以期发展学生的“四基”“四能”，形成学科素养。下面以人教A版第四册探究性学习——杨辉三角的教学为例。

明确教学目标：

（1）从不同角度探究杨辉三角中的数字规律，从中体会研究一般数阵的方法；

（2）在“观察实验—归纳猜想—推理证明”的探究过程中体验数学发现和创造的历程，培养创新精神和数学应用意识；

（3）通过对杨辉三角的探究，感悟数学之美，体会数学价值，提升逻辑推理素养。

课堂教学实施如下。

1．初探杨辉三角——提供探究范本

问题1：首先请大家观察杨辉三角中的数字（只给前5行）（见图2），能否继续往下再写出两行呢？

图2

问题2：你能用一个数学关系式表示这个发现吗？

追问1：你是如何想到用组合数表示呢？

引导学生说明杨辉三角第n行的各数就是（a+b）n的展开式的二项式系数（见图3）。

图3

问题4：在这个结论的探究过程中，是否可以总结出杨辉三角研究的一些基本方法呢？

指导学生小结：①如何观察数阵？②如何归纳结果？

对高中生而言，探究杨辉三角的规律有一定困难，为了降低探究难度，采用示范演示杨辉三角基本性质的探究过程，为学生开展自主探究提供研究范本。

2．再探杨辉三角——开展分组合作、自主探究

进行分组探究，将每组的研究结果在黑板上进行粘贴展示，并给出严格证明。

学生探究结果记录如下。

结论1：对称性：两边是1——＝＝1。

结论2：每行中与首末两端等距的数相等——＝。

结论3：第n行的数字之和为2n——++…+＝2n。

结论4：第n行奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和

结论5：从斜向角度分析——与边平行的斜行求和（见图4）。

图4

结论6：从斜向角度分析——第n斜行是n阶等差数列（见图5）。

图5

第n斜行是第n-1斜行的一阶差数列。

结论7：从横向角度分析——第n行的各数的平方和等于第2n行中间的数（见图6）。即

图6

结论8：从局部分析——将梯形中5个数相加就是下面隔行的数（见图7）。即

图7

结论9：从横向角度分析——每行看作是一个正整数，与11的幂有关。

第0行：1＝110；

第1行：11＝111；

……

在杨辉三角中第n行乘以11采用“不进位相加”可得到第n+1行。

学生合作探究，得到杨辉三角性质的一般表示，体现从特殊到一般的思想。通过学生归纳猜想，引导学生验证猜想结论是否正确，引导学生多角度地分析问题、探究问题、解决问题，既加深学生对前后知识内在联系的理解，又从深度和广度上让学生感受到了数学知识的串联和呼应。

3．深探杨辉三角——拓展思维，深入思考

问题：我们对杨辉三角的规律探究，容易围绕在数字规律上进行研究，而我们容易被自己惯有思维所约束，打破常规也许会有意想不到的结果。

比如，德国数学家莱布尼茨构造了分数数阵（见图8）。

图8

比如，牛顿构造了直角三角形数阵（见图9）。

图9

比如，波兰数学家谢尔宾斯构造了杨辉三角中的奇偶数阵（见图10）。

图10

通过以上数阵的介绍，得出这些数阵的研究基础都离不开学生探究的杨辉三角基本性质让学生感受课堂探究的基础性作用，感受成功的力量。

三、结语

课堂教学评价不仅要关注学生当前的数学核心素养水平，还要关注学生成长与发展的过程；不仅要关注学生的学习结果，还要关注学生在学习过程中的获得与变化。教师要注意评价主体的多元化，将教师点评与学生互评结合，甚至在课下还可以让学生家长、学生本人参与到评价过程中。教学评价不仅包括了量化评价，还包括了质的评价，采用口头点评、观察记录、作业反馈等多样化的评价方式，促进学生更好地参与到学习过程中，同时也促进教师根据评价反馈更好的调整教学方向。教师对学生的评价直接影响着学生的学科发展，因此教师要站位更高，从学科的高度进行科学性评价，用发展的眼光进行鼓励性评价，从教学整体性角度进行全面评价。