■成都经济技术开发区实验中学校 杜海洋

在学习椭圆及其标准方程时,其中涉及对椭圆方程进行化简,课本上呈现出同学们易懂的通性通法(去根号化简),但过程运算量较大,是否还会有其他路径化简呢? 本文就通过不同视角推导其标准方程,以飨读者!

1.根据定义推导椭圆标准方程

如图1,取过焦点F1,F2的直线为x轴,线 段F1F2的垂直平分线为y轴,设P(x,y)为椭圆上的任意一点,椭圆的焦 距 是2c(c>0)。则F1(-c,0),F2(c,0)。设P与F1,F2距离之和等于2a(2a>2c)(常数),则P={P||PF1|+|PF2|=2a}。

图1

下面对此等式进行化简。

解法1:课本方法(两次平方去根号)

2.推导感悟

解析几何其本质为“几何”,如在推导过程中产生不同的表达形式都隐藏其“几何”意义,如

当x≠±a时,有(定值),其对应《选择性必修第一册》第113页例6:动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:的距离的比是常数,求动点M的轨迹。请同学们自行查阅相关资料。