基于旋转矩阵的预设时间航天器编队姿态协同控制

2023-11-26李文静刘成胜蒲爱香张文娇

导航定位与授时 2023年5期

李文静,刘成胜,蒲爱香,张文娇

(西安航天动力研究所,西安 710100)

0 引言

在航天器编队飞行的过程中,多个航天器通过彼此间的信息交互形成特定的分布式空间系统,从而可以完成单个航天器难以完成的编队协同控制任务[1-3]。按照编队成员之间信息的交互模式,可将现有的航天器编队协同控制算法分为两类:集中式和分布式[4]。前者结构简单易于实现,但是系统的鲁棒性较差。而在分布式的编队协同控制算法中,多航天器系统由编队成员及它们之间的通信拓扑共同组成。编队中每个成员的控制输入包含相邻航天器的状态信息,以此来提升编队控制系统的鲁棒性[5]。因此,为了确保编队系统能够顺利地完成空间任务,有必要合理利用编队成员间的相对信息,即分布式的控制方式来实现复杂环境下编队的协同控制。同时,为了更好地完成空间任务,对于航天器的推进精度有较高的要求,因此在推进器的选取中必须考虑任务的复杂性,对应选取不同的发动机形式。

在多航天器控制领域,姿态协同控制作为航天器编队控制的一个基本问题,在对地测量、深空探测以及交会对接等任务中具有重要的研究价值,已经得到了国内外学者的广泛关注与研究[6-9]。交会对接是指两航天器于同一时间在轨道中的同一位置以相同速度和姿态交会且在结构上连成一个整体,是一项重要的空间任务。在此过程中航天器的姿态必须始终保持一致,因此姿态协同控制具有十分重要的研究价值。在航天器姿态动力学建模方面,经过不断的改进和发展,很多成熟的姿态动力学建模方法被相继提出。如单位四元数法[6, 10]、修正Rodrigues参数法(MRPs)[11]和旋转矩阵法[7,12]等。Xu等[6]针对基于单位四元数的航天器姿态协同控制系统提出分布式事件触发算法,以减少编队成员间不必要的通信频次。基于MRPs的姿态描述方法,Zou等[11]提出了一种基于快速终端滑模的姿态协同控制算法,以实现航天器编队系统的有限时间收敛和对干扰的鲁棒性。然而,基于单位四元数和MRPs的姿态描述方法也都存在缺点。四元数的标量存在双目标值,人为地忽略其中的一个,会使得航天器在进行姿态机动时能够以小角度旋转便可完成的任务却需要转动一个大于180°的角度来实现,造成不必要的能量耗散。即上述两种方法无法与航天器姿态一一对应,在航天器姿态控制过程中可能产生退绕现象对航天器系统造成影响[13-14],因此,在为航天器设计姿态控制器的过程中必须避免退绕现象的发生。在此背景之下,无退绕现象的旋转矩阵建模方法应运而生。Tan等[12]和Zhao等[15]分别基于旋转矩阵提出了针对刚体和柔性航天器的自适应控制方法。基于旋转矩阵的描述方法使得航天器的姿态模型更为统一,且不存在姿态动力学中的退绕问题,因此其在航天器的单体控制和编队的协同控制中都有着良好的适用性。

值得注意的是,大部分现有的协同控制算法只能实现编队系统的渐进稳定,这意味着系统的收敛时间过长,无法实现编队的快速机动[16-17]。为此,Zhang等[18]提出了一种新的非奇异快速终端滑模,解决了航天器编队系统在有向和无向通信连接下的有限时间控制问题。Huang等[7]针对航天器姿态协同控制问题提出了基于旋转矩阵的自适应有限时间控制策略。实际上,无论是渐进稳定还是有限时间稳定,系统收敛到误差带的时间总是正相关于系统初值,所以系统实际的收敛时间只能通过后验的方式获得,不可提前预知和设定。而近年来新提出的预设时间控制方法能够对收敛时间进行预知,并在一些问题中得到了应用[19-21]。Cao等[21]针对欧拉-拉格朗日系统,提出预设时间控制策略,实现了编队跟踪控制。然而,航天器姿态协同控制与预设时间控制方法相结合的研究还较少。因此,探究如何实现航天器姿态协同控制系统的预设时间稳定有着重要的理论意义和工程实践价值。

受到上述研究工作的启发,本文主要研究了基于旋转矩阵的预设时间编队姿态协同控制问题。与大多数现有的航天器编队控制相比,文中所提控制算法考虑了航天器系统的退绕、收敛时间和系统不确定性等问题,并通过理论分析与对比仿真验证所提算法的有效性和优越性。

1 准备工作和相关模型

1.1 准备工作

在编队协同控制器的设计之前,首先给出以下推论、引理和假设等。

航天器编队成员之间信息交互可通过代数图论来描述,具体如下。

代数图论:本文中将使用加权的有向图G=(V,ε)来表示航天器之间的连接关系,其中V={υ1,υ2,…,υn}表示节点集,ε⊆υ×υ则为边集。在有向图中,对于任何相邻节点有(i,j)≠(j,i),否则,称图G为无向图。图G的加权邻接矩阵定义为C=[cij]n×n。对于所有i∈V,cii=0。若(i,j)∈ε,则cij>0,否则cij=0。进一步定义图的拉普拉斯矩阵L=[lij]n×n为

(1)

其中Ni={j∈V|(i,j)∈ε}是节点i的邻集,表示与i存在信息传输所有节点的集合。

引理1[22]:如果L是强连通图G的拉普拉矩阵,则存在全部元素为正的列向量η=[η1,η2,…,ηn]T使得ηTL=01×n成立。

通过神经网络实现对系统不确定性的近似逼近,具体规则如下。

引理2[11]:在紧集Ω∈R中,对于任意连续函数f(x):Ω→R,神经网络可以任意精度地逼近f(x),即

f(x)=WTH(x)+σ, ∀x∈Ω

(2)

其中WT∈Rl是理想权值矩阵;σ∈R表示逼近误差;H(x)=col(h1(x),…,hl(x))是高斯基函数,满足

(3)

其中,l为神经元节点的数量;δi和bi分别表示接受域的中心和高斯函数宽度。

接下来给出预设时间有关推论。

推论1：如果存在李雅普诺夫函数Ve∶Rn→R+∪{0}满足

(4)

其中常数0

证明：根据文献[23]可知,对于一个闭环控制系统,如果存在李雅普诺夫方程

(5)

则可得计算得到系统的收敛时间满足

(6)

式中,V0=V(x0),x0表示系统的初始状态。对于式(4)中所示李雅普诺夫函数,应用上述结论可得系统收敛时间

(7)

当且仅当系统初值x0→∞时,T=Ts。因此推论1得成立。

此外,对于能量有限的外界干扰,存在如下假设。

1.2 基于旋转矩阵的航天器姿态误差模型

本文主要考虑含有n个航天器的编队系统姿态协同控制问题。由于基于旋转矩阵的航天器姿态描述方法不存在奇异点,且能够与实际的航天器姿态一一对应,所以该方法可以避免四元数建模中存在的退绕现象。因此,本文采用旋转矩阵来描述航天器的姿态。参考文献[12],编队系统中第i个航天器姿态角跟踪误差动力学模型表示如下

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

其中

(15)

(16)

2 预设时间编队协同控制算法设计

首先,本章以推论1作为理论依据提出了一种预设时间滑模面,并在此基础上完成了自适应控制器的设计。此外,将系统状态作为神经网络的输入,对系统未知项进行在线估计与补偿。整体的航天器编队控制系统设计流程如图1所示。

图1 控制系统结构框图Fig.1 The conceptual structure of the control system

2.1 预设时间滑模面

基于推论1,设计如下预设时间滑模面Si=[Sxi,Syi,Szi]T:

(17)

注释1 滑模面的设计有很多种,其中以式(18)和(19)中的两种滑模面较为常见。

(18)

(19)

Ei(Fi+τi+di)

(20)

其中

(21)

2.2 控制器设计

首先,为了提高控制系统对模型参数摄动的鲁棒性,本节采用引理2中的径向基神经网络对系统的不确定性进行在线估计,具体表示如下[24-25]

(22)

考虑到外部干扰对系统的影响,根据假设1,有

(23)

(24)

接着,设计基于最小参数学习法的自适应律

(25)

其中κ>0是自适应增益。

2.3 稳定性分析

为了说明前文中所设计编队协同控制算法的有效性,现给出如下定理及证明过程。

(26)

结合式(20),可算得V1的导数为

(27)

将式(24)代入式(27),可得

(28)

(29)

(30)

代入自适应律式可得

(31)

(32)

(33)

当滑模面Si=0时,根据Si的定义可知

(34)

因此,可算得Vei的导数满足

(35)

根据推论1可知,当0

(36)

至此,完成了定理1的证明。

3 仿真与分析

考虑由4个航天器组成的编队系统,它们间的通信拓扑为有向图,如图2所示。

图2 4颗航天器的通信拓扑Fig.2 The interaction topology of 4 spacecrafts

注释3 在实际航天器编队飞行的过程中,编队成员之间状态信息的单向传递更为普遍。因此相比于无向连接图,基于有向图的连接方式更具有一般性,同时也能在一定程度上减小编队成员间的通信负担,所以本节中拟采用图1中所示的有向连接方式进行仿真实验。

图2中的通信拓扑所对应的加权邻接矩阵C可写为

(37)

为了便于之后的仿真对比,航天器的转动惯量Ji(单位:kg·m2),具体选取如式(38)所示。

(38)

初始状态Ri(0)表示如下

(39)

航天器的期望角速度ωd(单位:rad/s)以及外部干扰di(单位:N·m)分别设置为

(40)

(41)

3.1 预设时间姿态协同控制算法仿真

系统的控制参数配置为:v1=0.32,v2=0.6,k1=2,κ=1。值得注意的是,这里v1,v2的值均满足0

滑模面Si的变化曲线如图3所示。不难看出,滑模面Si能够在预设时间Ts内收敛,且在外部干扰的作用下仍然有着较好的稳态性能。

图3 滑模面Si的变化曲线Fig.3 The curves of sliding mode surface Si

图4 姿态角误差的变化曲线Fig.4 The curves of attitude error

图5 角速度误差的变化曲线Fig.5 The curves of attitude velocity error

图6 自适应参数的变化曲线Fig.6 The curves of adaptive parameter

图7 航天器的控制力矩τiFig.7 Control torques τi of spacecraft

3.2 对比仿真

为了进一步说明本文中所提预设时间控制算法的优越性,在航天器系统初值、模型参数和对应控制参数相同的情况下,与文献[12]的有限时间控制器做了相应的对比仿真。文献[12]中有限时间滑模面的设计如式(42)所示

(42)

式中滑模面的具体参数和符号定义可参考文献[12]。具体的对比仿真结果如图8所示。

图8 与文献[12]的对比仿真Fig.8 Comparative result with reference [12]

图8中的虚线代表式中预设时间滑模面的变化曲线,实线代表式中有限时间滑模面的变化曲线。不难看出,在系统初值Ri(0)相同的情况下,本文中所提滑模面的初值Si(0)更小,进而使得系统在控制器的作用下具有较小的超调与较高的控制精度。同时,最为重要的是系统的收敛速度也相对较快且可以在合理的范围内任意设定,因此本文所设计的控制算法更具有理论价值和工程意义。

注释4:由于滑模变量形式存在差异,计算出的滑模初值并不完全相同。鉴于本文提出的算法在实现过程中与文献[12]选取相同的控制增益,实现了更好的收敛效果,仍可体现预设时间算法的优势。