郭天魁 王云鹏 陈 铭 翁定为 田助红 胡尊鹏 张遂安 贺甲元

1.中国石油大学（华东）石油工程学院 2.中国石油勘探开发研究院 3.中国石油大学（北京）

0 引言

我国四川、准噶尔、鄂尔多斯、松辽等盆地广泛分布有页岩储层，页岩油气资源丰富[1-2]。目前主要依靠水平井分段多簇压裂技术改造储层，通过注入大量滑溜水为主的压裂液造缝以实现页岩油气的效益开发。但国内外页岩储层压裂后的返排率普遍较低，甚至低于10%[3-6]。因此，在研究裂缝扩展过程时，大量压裂液进入地层诱发的孔弹性效应不可忽视[7-10]。

孔弹性效应是由于多孔介质内流体流动和岩石骨架变形之间的相互作用引起。目前国内外已开展了裂缝扩展过程中孔弹性效应的相关研究。Baykin 等[9-10]采用有限元方法建立全耦合三维孔弹性模型，分析了储层渗透率对裂缝扩展的影响以及一维压力扩散的适用范围。Carrier 等[11]、Kumar 等[12]采用有限元、三维位移不连续法研究了二维、全三维水力裂缝在孔弹性介质中的扩展，发现孔弹性效应可增加施工压力、抑制缝宽、加剧缝间应力干扰，但研究的时间和空间尺度均较小。上述研究由于计算量的限制，仅从理论方面讨论了孔弹性效应对小尺度裂缝扩展的影响，难以从矿场尺度对压裂过程中的裂缝扩展规律进行分析。Dontsov[8]针对考虑孔弹性效应后计算量大的问题，假设压力扩散区远小于裂缝尺寸，忽略扩散区尺度，提出了裂缝扩展过程中孔弹性应力的高效计算方法，该方法与边界元法结合可用于矿场尺度裂缝扩展模拟，但多裂缝扩展过程中的孔弹性效应未见报道。An 等[13]采用Dontsov 模型[8]，研究了页岩储层大规模压裂产生的诱导应力的影响范围，并阐释了诱导应力导致断层活化进而诱发地震的现象。Manchanda 等[14]针对裂缝实时诊断方面，研究了孔弹性应力对邻井处孔隙压力产生的干扰作用。然而，孔弹性效应对整体应力干扰的作用规律、多裂缝竞争扩展的影响等方面还未明确，揭示孔弹性应力作用规律及对多裂缝扩展影响对于压裂设计和分析具有重要价值。

常见的压裂裂缝扩展模型按空间维度划分包括二维、拟三维、平面三维、全三维模型。在精度和计算量方面，平面三维模型是目前较为可行和实用的方法[15]。Chen 等[16-19]、郭天魁等[20]基于平面三维裂缝扩展模型进行了裂缝扩展光纤应变监测、支撑剂运移规律、裂缝穿层等方面的研究，但目前的平面三维模型中，地层岩石均被假设为理想的纯弹性介质，并未考虑孔弹性效应，而实际地层岩石为多孔介质，现有模型与真实情况存在一定差距。笔者在平面三维多裂缝同步扩展模型[15-19]基础上，进一步考虑流体滤失诱发的孔弹性效应，并结合Dontsov 孔弹性应力计算模型[12]，针对初次压裂过程，建立了考虑孔弹性的水平井分段多簇压裂裂缝扩展数学模型。基于该模型，研究了裂缝诱导应力（裂缝张开、固体变形产生的诱导应力）、孔弹性应力（压裂液滤失进入地层产生的诱导应力）的分布情况和大小，明确了孔弹性效应对多裂缝扩展动态的影响规律，并针对孔弹性应力对多裂缝均衡扩展的影响，提出了解决的工艺手段。

1 数学模型

1.1 水平井压裂多裂缝扩展模型

对于多裂缝扩展问题，地面注入的压裂液经过井筒和射孔孔眼进入各裂缝。井底压力、井筒摩阻、射孔孔眼摩阻、裂缝入口压力四者组成的压力、流量系统满足：

其中

式中pw表示井底压力，Pa；pin,k表示第k簇的入口压力，Pa；pperf,k表示第k簇的射孔摩阻[21]，Pa；pt,k表示跟端到第k簇的井筒流动摩阻，Pa；QT表示总注入排量，m3/s；nf表示射孔簇数；ρ表示压裂液密度，kg/m3；Qin,k表示第k簇的入口流量，m3/s；nk表示第k簇的射孔数；dk表示第k簇的孔径，m；K表示无量纲流量系数。

在图1-a所示坐标系下，采用三维位移不连续法计算岩石变形。裂缝诱导应力与缝宽的关系式为：

图1 水平井压裂裂缝扩展模型示意图

其中

式中Δσs表示裂缝诱导应力，Pa；Cs表示格林函数，Pa/m；A表示已开启裂缝的面积，m2；w表示裂缝宽度，m；（x',y',z'）表示源点坐标；（x,y,z）表示场点坐标；Eu表示岩石不排水条件下杨氏模量，Pa；υu表示岩石不排水条件下泊松比，无因次。

假设孔隙压力扩散尺度远小于裂缝尺寸，运用一维压力扩散方程、Dontsov 孔弹性应力计算模型[8]，裂缝面法向的孔弹性应力计算式为：

影响源产生的孔隙压力变化量（Δpp）是孔弹性应力的根源。裂缝面处孔隙压力数值上等于缝内流体压力，随着与裂缝面距离的增大迅速衰减。采用压力扩散区内的平均孔隙压力变化量作为影响源的强度，其计算式为：

式中t表示时间，s；τ表示某裂缝单元开始滤失的时刻，s。

缝内流体压力为裂缝诱导应力、孔弹性应力以及最小水平地应力之和，计算式为：

式中pf表示缝内流体压力，Pa；σh表示远场最小水平主应力，Pa。

缝内流动一般采用泊肃叶定律描述，滤失一般运用卡特滤失模型描述[22]。压裂液缝内流动的连续性方程为：

式中μ表示流体黏度，Pa·s；Cl表示滤失系数，m/s0.5；δ表示狄拉克函数，m－2；(xin,k,yin,k,zin,k)表示第k簇的进液点位置。

假设地层岩石满足线弹性断裂力学，当满足裂缝扩展条件时，裂缝发生扩展，尖端单元更新为已开启单元，待检查单元更新为尖端单元（图1-a）。采用基于尖端渐近解的裂缝扩展准则[23]，计算式为：

其中

式中KIC表示I 型断裂韧性，Pa·m0.5；K'IC表示KIC的简化计算符号；r表示距尖端距离，m；E表示杨氏模量，Pa；v表示裂缝扩展速度，m/s。

1.2 网格离散与模型求解

采用固定网格描述裂缝扩展情况，固定网格为正方形单元结构化网格。单元标号为（i,j,k），对应位置为（xi,yj,zk）。网格单元类型包含5 类：注入点、开启单元、尖端单元、待检查单元、无关单元（图1-a）。根据式（7），判断每一时间步、每个尖端单元是否达到扩展条件，从而更新网格类型。

将所有开启单元按开启先后顺序依次标号为I，当前时刻单元数量为Ne。式（2）、（3）的离散形式为：

式中wJ表示第J单元的裂缝宽度，m；pf,I表示第I单元的缝内流体压力，Pa；Cs,IJ表示第I单元对第J单元的裂缝诱导应力影响系数，Pa/m；Cp,IJ表示第I单元对第J单元的孔弹性影响系数，m－1。采用有限体积方法离散流动式（6），即

根据井筒条件计算各簇进液流量：

采用Newton-Raphson方法求解式（10），并与缝内流固耦合方程式（6）、（9）迭代计算各簇流量。流固耦合方程为刚性方程，一般隐式方法需要大量迭代，不利于高效求解，模型计算采用二阶精度的Runge-Kutta-Legendre 方法求解[16-17]。图1-b 展示了裂缝扩展模型的数值求解流程。

将纯弹性介质裂缝扩展模型的结果与分层加载应力压裂物理模拟实验[24]、penny 裂缝解析解[25]进行了对比，验证了模型的精度和准确性[16-17]。

为验证孔弹性介质中裂缝动态扩展的准确性，将模型结果与参考文献[8]的结果进行了对比。模型验证采用的参数为：E=18.3 GPa，υ=0.2，α=0.5，KIC=1.85 MPa·m0.5，Cl=7.8×10－5m/min0.5，孔隙度0.134，流体体积模量为2 500 MPa，注入时间1 000 s，注入排量 0.6 m3/min，液体黏度μ=8.4 mPa·s。缝宽、缝内净压力沿裂缝半径的变化如图2所示，模型结果与参考文献[8]的结果吻合较好，表明模型可以准确计算考虑了孔弹性效应的裂缝扩展动态。

为进一步验证孔弹性介质中裂缝动态扩展的准确性，将所建模型结果与有限元法的模拟结果[26]进行了对比。模型验证采用的基本参数为：E=17 GPa，υ=0.2，α=1，KIC=1 MPa·m0.5，渗透率为0.1 D，注入时间20 s，注入排量0.6 m3/min，液体黏度μ= 0.1 Pa·s。裂缝半径随时间的变化如图3所示，其中不考虑孔弹性的解析解[25]，考虑孔弹性的有限元分析[26]。不考虑孔弹性的模拟结果与解析解极其相近，考虑孔弹性的模拟结果与参考文献的结果有所差异但不明显，这是因为模型采用一维压力扩散假设，而Salimzadeh等[26]采用全三维扩散，因此耦合模型和参考结果存在一定的差异，但并不显著。综上所述，所建立的模型可以较为准确地计算考虑了孔弹性效应的裂缝扩展动态。

图3 本文模型模拟结果与文献中的有限元方法结果对比图

2 模拟结果分析

为探究水平井多簇压裂裂缝诱导应力与孔弹性应力场变化情况，以准噶尔盆地吉木萨尔凹陷中二叠统芦草沟组页岩油气储层[27-29]为例，建立矿场压裂地质模型，研究了压裂裂缝诱导应力场变化规律，以揭示孔弹性效应对裂缝扩展动态的影响规律。裂缝诱导应力、孔弹性应力分别采用式（2）、（3）计算，地应力剖面与裂缝扩展几何模型如图4所示。模型基本参数为：地层从上至下依次为“上隔层—储层—下隔层”，杨氏模量为35 GPa，泊松比为0.2，断裂韧性为0.5 MPa·m0.5，储层厚度为40 m，储层最小水平主应力为60 MPa，上下隔层地应力分别为65 MPa、66 MPa，Biot 系数为0.6，孔隙度为0.1，滤失系数为1.0×10－4m/min0.5，注入时间为120 min，液体黏度为10 mPa·s，射孔孔眼流量系数为0.8，射孔孔径10 mm，单簇孔数12，簇间距10 m，施工排量10 m3/min。正方形网格单元大小5 m。根据上述参数，计算得到压力扩散的最大尺寸约为1.73 m，而裂缝单元网格尺寸为5 m，满足一维压力扩散适用条件[14]。

图4 地应力剖面与裂缝扩展示意图

2.1 多裂缝同步扩展诱导应力分析

根据Dontsov[8]的分析，将裂缝诱导应力与孔弹性应力解耦合，通过滤失系数来计算孔弹性应力的大小，某方向的总诱导应力值为裂缝诱导应力与孔弹性应力二者之和。图5-a 为5 簇压裂裂缝形态，各裂缝z坐标分别为－20 m、－10 m、0 m、10 m、20 m。受缝间应力干扰影响，中间裂缝的缝宽、缝长明显比靠近跟端、趾端的裂缝小。图5-b、c 中，裂缝诱导应力和孔弹性应力方向相同、大小相似，但图5-b 中高应力区域呈现“六边形”，而图5-c 中孔弹性应力的高应力区大致呈现“矩形”，表明两种诱导应力的分布特征有明显差异。

图5 裂缝形态与诱导应力分布图

图6 展示了沿压裂井、邻井（两井共水平面、平行，水平井距200 m）的裂缝诱导应力变化情况。需要注意的是，假设裂缝诱导应力随距离衰减至0.5 MPa 时为其影响范围，忽略裂缝诱导应力小于0.5 MPa 的影响区域。图6-a 中，孔弹性应力的最大值约为1.38 MPa，裂缝诱导应力约3.74 MPa，二者相差2.36 MPa；而在距离中间簇裂缝（z=0 m）80 m 处，二者均降低至1.0 MPa 以下，但裂缝诱导应力数值上仍高于孔弹性应力。孔弹性应力、裂缝诱导应力分别在34 m、80 m 降低至0.5 MPa，孔弹性应力的影响范围约为裂缝诱导应力的43%。孔弹性应力占裂缝诱导应力的14%～37%（平均24%），对裂缝扩展仍有重要影响。

图6 沿压裂井与邻井的裂缝诱导应力变化图

图6-b 中，邻井由于距离注入点较远，缝宽较小，裂缝诱导应力最大值降至2.14 MPa 左右，孔弹性应力的最大值约为1.11 MPa，二者相差1.03 MPa；而在距离中间簇裂缝80 m 处，二者均降低至0.5 MPa 以下，但裂缝诱导应力仍然高于孔弹性应力0.3 MPa。孔弹性应力、裂缝诱导应力分别在z=32 m、z=69 m 时降低至0.5 MPa 以下，孔弹性应力的影响范围约为裂缝诱导应力的46%；孔弹性应力占裂缝诱导应力的18%～52%（平均33%）。

通过对多裂缝扩展的研究发现，孔弹性应力约占裂缝诱导应力的24%～33%，影响范围约为裂缝诱导应力的40%，对地应力场演化、裂缝扩展有重要的影响。

2.2 孔弹性应力对裂缝扩展动态的影响

地应力场是影响裂缝扩展的关键因素，在2.1 节模拟的基础上，进行了纯弹性介质中的模拟，以揭示孔弹性效应对裂缝扩展的影响，模拟参数均与2.1节相同。为量化孔弹性效应的影响，采用缝宽减少比例（Rw）、缝内压力增量（Rp）、瞬时进液差异系数（Di）、整体进液差异系数（Dt）作为评价参数，计算式如下：

式中ws、wp分别表示不考虑、考虑孔弹性的缝宽，m；pf,s、pf,p分别表示不考虑、考虑孔弹性的缝内压力，Pa；Q(t)、Q(t)max、Q(t)min分别表示t时刻各簇的进液流量、t时刻进液最大的流量、t时刻进液最小的流量，m3/min；Vmax、Vmin分别表示进液量最大值、最小值，m3。

根据图7-a，由于液体滤失进入地层孔隙导致孔隙压力增大、孔隙体积发生膨胀，相比于纯弹性介质，考虑孔弹性效应后缝宽明显降低。对于水平段跟端裂缝（HF1），考虑孔弹性效应后裂缝入口宽度减少量约为8.6%。图7-b 为缝内压力沿缝长的分布情况，考虑孔弹性效应后缝内压力明显升高。HF1 在注入点处压力升高0.53 MPa，由于考虑孔弹性效应后缝宽明显降低，在240 m 处出现了压力增量（Rp）为负值的情况。图7-c～e 中，在考虑孔弹性效应后瞬时进液差异系数升高约6.5%。整体进液差异系数升高约5%。以上结果表明孔弹性应力增强了应力干扰作用，制约了各簇均衡进液、裂缝均衡扩展。

图7 裂缝动态扩展图

2.3 单簇射孔数与簇间距对各簇进液的影响

本节在考虑了孔弹性效应时，针对多裂缝非均匀扩展、各簇不均衡进液的问题，研究了不同施工参数下各簇进液情况。

通过调整射孔摩阻，保持各射孔簇进液阻力相近是实现各簇均匀进液的核心。Lecampion 等[30]的研究表明，在水平井多簇压裂中，各簇的进液阻力主要受射孔摩阻和缝间应力干扰的影响，当射孔摩阻越大于应力干扰时，多裂缝扩展越均衡。图8-a 为不同簇间距、单簇孔数下整体进液差异系数变化图。随着单簇孔数的增加，射孔摩阻减小、限流作用减弱，整体进液差异系数升高。簇间距为10 m 时整体进液差异系数为41.2%，而簇间距为15 m 时整体进液差异系数仅为38.3%。此外，在每簇射孔数目小于6 孔/簇时，由于限流作用较强，因此图8-a 中的4 种情况对应的整体进液差异系数差别不大，均小于10%；当每簇射孔数目大于6 孔/簇时，射孔摩阻较小，因此裂缝诱导应力干扰、孔弹性应力干扰的作用相对变大，导致各簇进液不均匀。根据图8-a，当射孔摩阻为3～6 MPa（对应射孔密度为5～7 孔/簇），各簇整体进液差异系数可保持在10%以内，此时认为各射孔簇均匀进液。根据2.1 节结论，总诱导应力数值约为0～5 MPa，当射孔摩阻接近或高于该值时，整体差异系数明显降低。此外，图8-a 中红色、蓝色线随着单簇孔数的增大逐渐向外发散，说明减小单簇孔数可在一定程度上消除孔弹性效应对多簇均衡进液的负面影响。

图8 不同施工参数下整体进液差异系数变化图

2.4 施工排量对各簇进液的影响

施工排量对造缝缝宽、缝间应力干扰有重要影响。在簇间距为10 m 的条件下研究了不同排量的各簇进液情况。图8-b 为不同排量下的整体进液差异系数变化，随着施工排量增大，射孔摩阻增大，进液阻力逐渐由射孔摩阻主导，整体进液差异系数减小。此外，孔弹性效应加剧了缝间应力干扰，因此在相同排量的情况下，考虑了孔弹性效应的整体进液差异系数更大，各簇进液更不均匀。但随着排量的增大，射孔摩阻变大，考虑孔弹性效应与否的差异有略微减小趋势。最后，随着排量增大至16 m3/min，射孔孔眼摩阻仍然较小，仅为2.5 MPa 左右，因此在12孔/簇下增大排量几乎不能实现各簇均衡进液。相较于12 孔/簇，在8 孔/簇条件下，整体进液差异系数明显降低。随着排量增至14 m3/min，整体进液差异系数减小到10%左右。因此，在12 孔/簇的情况下增大排量不能有效促进均衡进液，此时应考虑减少射孔并结合增大排量等措施来促进均衡进液。此外，图8-b 中黄色、蓝色线随着排量的增大逐渐汇集，说明增大排量、增大射孔摩阻在一定程度上可消除孔弹性效应对多簇均衡进液的负面影响。

3 结论

针对页岩储层压裂时压裂液滤失诱发的孔弹性效应的问题，建立考虑孔弹性的平面三维多裂缝扩展模型，研究了裂缝诱导应力、孔弹性应力的大小和分布情况，明确了孔弹性效应对多裂缝扩展的影响规律，指出限流压裂可相对弱化孔弹性效应对均衡进液的负面影响，主要结论为：

1）孔弹性应力的作用效果与裂缝诱导应力相似，但大小、影响范围不同。多簇压裂裂缝扩展过程中，孔弹性应力大小约为裂缝诱导应力的30%，影响范围约为裂缝诱导应力的40%。

2）孔弹性应力会增加裂缝缝内流体压力，加剧多裂缝竞争扩展的不均匀性。对于吉木萨尔页岩储层，与不考虑孔弹性效应的理想情况相比，考虑孔弹性效应后裂缝宽度降低8%，缝内压力升高0.5 MPa、瞬时进液差异系数升高6.5%、整体进液差异系数升高5%。

3）增大射孔孔眼摩阻可以相对弱化孔弹性效应对各簇均衡进液的负面影响。单簇孔数小于7 孔/簇时，孔弹性效应的影响相对较小；当单簇孔数为5～7孔即可保证各簇均衡进液；增大排量可以相对弱化孔弹性效应对各簇均衡进液的负面影响。对于单簇射孔数较多的情况，提高排量可能无法提供足够的射孔孔眼摩阻，导致各簇进液仍不均匀，应当结合提高排量、减少孔数或缝口暂堵等工艺促进均衡进液。