李 良，李晓俊，杨顺银，陈小光，朱祖超

（1.浙江理工大学 流体传输系统技术国家地方联合实验室，杭州 310018；2.嘉利特荏原泵业有限公司，浙江温州 325000）

0 引言

随着石化工业规模的扩大和生产工艺的革新，对大功率高端石化离心泵机组的需求越来越多，特别是高压（输送压力10～50 MPa）和大功率（功率≥1 000 kW）的大型石化离心泵机组应用范围将越来越广［1-5］。石化多级离心泵的性能曲线有较高的要求，对其进行科学的优化，不仅可以提高其外特性，在节能性上也有着很重要的意义。

在工程应用中，离心泵的水力性能在很大程度上受叶轮的影响，很多学者通过对叶轮进行改型及优化，并通过计算流体力学（CFD）进行模拟验证，来实现降低能耗、提高性能的目的。WU等［6］重新设计了叶片压力面的型线，改变了从叶片前缘到叶片尾缘的厚度分布实现压力面轮廓的改型。这种方法抑制了泵内二次流的发展，略微提高了离心泵的效率。LIN等［7］利用仿生结构改变叶片尾缘，叶片尾流涡的尺度减小，提高了下游流场的稳定性，对模型泵产生了节能效果。CAPURSO等［8］重新布置了离心泵双吸叶轮的叶片位置，并修改叶片型线。刘栋等［9］通过响应面优化，改变叶轮的磨损区域，提高了叶轮的抗磨损性能。然而，对湍流的复杂数值模拟一直是CFD中尚未解决的问题。离心泵由于其复杂的内部流动需要高质量的网格和合适的边界条件，CFD模拟的时间长也不利于离心泵的设计。

代理模型优化方法具有计算量较小、求解迅速的优点，被广泛应用在工程实际中来解决优化问题。因此，许多研究人员将代理模型与数值模拟相结合来解决这些缺点。常见的代理模型有响应面法［10］、克里金模型（Kriging）［11］、人工神经网络（ANN）［12］和支持向量机［13］等。PENG等［14］采用响应面法对离心泵叶轮的叶片数、叶轮直径、叶片出口宽度和包角进行了优化。ZHANG等［15］利用Kriging与遗传算法NSGA-II结合的方法，对叶轮子午面上的控制点位置寻优，解决了多目标优化问题。WU等［16］提出了一种基于ANN和遗传算法（GA）的导叶多目标优化方法，可以提高导叶的能量转换能力，降低导叶内部的能量损失。方华［17］通过PSO算法与最小二乘支持向量机（LSSVR）代理模型结合的方法，针对离心泵的性能对叶轮进行了最优改型。智能算法与代理模型结合的优化方法可以更好地解决离心泵的优化问题。

支持向量回归（SVR）基于的理论基础，对小规模和多维数据具有良好的预测效果。本文选用1台HDB型高压双壳体多级离心泵，以离心叶轮作为优化对象，扬程与效率作为优化目标，利用LSSVR代理模型建立扬程与效率对离心叶轮参数的适应函数，通过粒子群算法（PSO）解决代理模型的超参数确定问题，并运用数值模拟与试验验证了PSO -LSSVR代理模型的优化结果。

1 PSO-LSSVR代理模型理论

1.1 LSSVR理论

SVR代理模型避免了多项式模型的缺点，将每个采样点映射到高维空间，实现原始空间的非线性回归［18］。LSSVR的基本思想和数学建模总结如下。

对于某种假设的分布P（x，y）（x∈Rn，y∈R），生成样本数据集{（xi，yi）|i=1，2，…，l}，x和y之间的非线性映射关系由拟合函数F={f（x，ω）|f：Rn→R，ω∈Λ}描述。其中，Λ代表一组参数，ω代表待定参数向量。为了将每个采样点映射到高维空间，非线性回归f（x，ω）被构造为：

为了通过寻找非线性函数f∈F来实现泛化精度的最小损失，平方误差函数被引入为：

因此，综合考虑LSSVR模型的逼近精度和泛化能力，将非线性回归建模问题转化为：

式中，γ是控制近似误差的惩罚程度的正则化参数。

在优化过程中，引入核函数ψ（xi，xj）代替内积＜φ（xi），φ（xi）＞，则优化问题被描述为：

在获得最优解βi*和b*之后，最小二乘支持向量回归机的非线性回归函数可以写成：

式中，i=1，2，…，l；l为样本数；r为输入随机变量的数量。

在LSSVR建模中，核函数直接描述了从原始采样空间到高维特征空间的非线性映射关系，是影响代理模型逼近精度的主要因素。为了提高LSSVR模型的逼近精度，引入结合高斯径向基函数（RBF）核函数。高斯RBF核具有很强的抗干扰能力，排除了样本数据中的噪声，避免了过拟合的问题。

高斯RBF核函数表示为：

式中，σ1为高斯RBF核函数的宽度。

当采用高斯径向基函数作为核函数时，可以建立最小二乘支持向量回归机的数学模型：

1.2 PSO-LSSVR代理模型

从上面的LSSVR代理建模中，可观察到LSSVR的性能很大程度上依赖于模型参数（γ，σ1）：（1）正则化参数γ控制逼近误差的惩罚度，平衡了模型复杂度和损失；（2）高斯RBF核函数σ1的宽度调节了平滑范围，决定了RBF核函数的径向作用范围。PSO算法是一种基于粒子群协同搜索的重要搜索算法，在搜索精度和效率方面表现出多种优势。该算法假设在一个D维目标搜索空间中，N个粒子组成一个社区，每个粒子代表解空间中的一个候选解，解的质量由适应度函数决定，适应度函数由优化目标定义。每个粒子也有一个决定其飞行方向和距离的速度，之后粒子跟随当前最优粒子在解空间中搜索个体极值和全局极值。质点位置和速度的更新式由下式确定：

式中，Vi为当前粒子速度；t为当前迭代次数；i为第i个粒子；ω为权重因子；c1，c2为学习因子，通常取为2；r1，r2为服从均匀分布U（0，1）的随机数；Pi为前个体极值；Xi为当前粒子位置；Pg为当前全局极值。

为了加速收敛，ω应该随着算法迭代而自动减小。一般来说，它被定义为：

式中，ωmax，ωmin为最大和最小权重因子，ωmax=0.9，ωmin=0.5；iter为当前迭代次数；itermax为总迭代次数。本文中粒子数为50，最大迭代次数为100。在学习过程中获得最优模型参数后，构建PSOLSSVR模型。

2 多级离心泵优化策略流程

基于PSO-LSSVR代理模型的多级离心泵优化策略如图1所示。

图1 PSO-LSSVR代理模型构建过程Fig.1 Construction process of PSO-LSSVR proxy model

首先，建立物理模型，并确定优化变量与优化目标；然后进行试验设计确定样本点，试验设计要尽可能地反应所有变量的响应，因此本文采用拉丁超立方抽样（LHS）的方法；其次，综合运用UG及FLUENT软件，对样本点进行CFD模拟，得到的结果作为代理模型的输入条件，为LSSVR代理模型选择合适的核函数，本文选择RBF核函数，之后代理模型训练样本，PSO优化LSSVR代理模型中的超参数γ、σ；最后，通过寻优求解LSSVR代理模型的适应度函数，根据所得的最优结果，运用数值模拟验证。

3 算例模型

3.1 多级离心泵计算域模型

计算模型选用型号为12×12×14-10stgHDB型多级离心泵，其设计扬程与效率分别为2 700 m、75.3%，属于中等效率水平，流域模型如图2所示。其中首级叶轮为双吸叶轮，其余叶轮均为单吸叶轮，且前五级与后五级叶轮旋向不同。下文在对叶轮相关参数进行优化的过程中，未考虑叶轮与泵体之间的间隙流动。其余参数见表1。

表1 多级泵的主要几何参数Tab.2 Main geometric parameters of multistage pump

图2 多级泵流域Fig.2 Multistage pump flow domain

本文模型中的双蜗壳结构复杂，且优化需要重复生成网格，采用非结构的网格形式见图3（a）。由于近壁面处的高速梯度，近壁区域需要精细的网格分辨率。因此，在叶轮叶片与蜗壳的隔舌处进行网格加密见图3（b），以保证计算的精度与准确性。

图3 计算域网格划分Fig.3 Grid division of computing domain

为了验证网格无关性，生成了5套网格，网格数目分别为1 521万、2 562万、3 212万、4 216万和6 110万。5套网格对应的扬程与效率见表2。当网格数大于2 500万时，数值结果将不受网格数的限制。在本文中选择2 562万的网格数目用于后文模拟。

3.2 算例样本建立

叶轮的结构参数对叶轮的性能有很大的影响。首先确定优化对象，为了尽可能地避免改变离心泵蜗壳结构，简化优化问题，确定优化对象为首级双吸叶轮和次级单吸叶轮的相关参数。具体优化变量如图4所示，分别为两种叶轮的叶片数、包角、叶轮出口宽度、叶轮进口角、叶出口角。各变量的优化取值范围见表3。

表3 优化参数范围Tab.3 Optimization parameter range

图4 主要优化变量Fig.4 Main optimization variables

合适的试验设计方法对于代理模型的精度来说至关重要。在本文中，引入了拉丁超立方体抽样（LHS）方法，该方法是一种多维抽样方法，使样本点尽可能均匀分布在设计变量空间中。最后，通过LHS方法为选定的10个变量生成了50组初始样本见表4。

表4 试验设计方案Tab.4 Test design scheme

3.3 多级离心泵数值模拟

应用ANSYS CFX 18.0对模型泵进行了流动模拟。求解器是基于压力的、隐式的、不可压缩的。使用基于有限元的有限体积法对控制方程进行离散化，对流项采用高分辨率格式。采用剪切应力输运（SST k-ω）湍流模型，该模型结合了k-ε和k-ω湍流模型的优点［19］。在模拟中，选用25 ℃的水作为流动介质，并假设计算过程为等温绝热过程。叶轮区域被设置为旋转区域，而其他区域被设置为静止区域。静止域和旋转域之间的界面选择静转子。入口边界条件采用压力入口，湍流强度为5%。出口边界条件为质量流量出口。所有壁面都忽略了摩擦损失，设置为无滑移壁面边界。所有监测器的残差值均小于1×10-5作为模拟的收敛条件。

3.4 数值计算结果验证

图5示出了数值模拟与试验的对比结果。选取模型泵的6个工况点进行了数值模拟，数值模拟的模型泵性能变化趋势与试验结果一致。可以看到数值模拟的结果比试验结果大一些，主要是由于在模拟中没有考虑机械损失和部分容积损失，而且忽略了叶轮与泵体之间的间隙流动。观察到对于多级泵的扬程，仿真结果的最大误差为4.86%。对于多级泵的效率，仿真结果的最大误差为5.51%。所有的模拟结果均在可接受的范围内，因此，本文的模拟结果在一定程度上是可靠和准确的。

4 算例结果分析

4.1 代理模型评估

当构建代理模型时，目标函数是叶轮的适合度。为了使叶轮的扬程大致恒定并使效率最大化，目标函数为：

式中，E=1.0；H为样本扬程；Ep为模型预测的效率值；Hp为模型预测的扬程值；ximin，ximax为设计变量的范围；xi为设计变量。

为了评估多输出预测性能，使用了3个性能指标：最大绝对相对误差MARE，均方根误差RMSE和相对均方根误差RRMSE，它们的定义为：

MARE，RMSE和RRMSE 3个性能指标的验证结果见表5。扬程和效率的最大绝对相对误差小于3%，在允许的误差范围内，表5表明代理模型整体精度高。RMSE指标反映了预测值与样本的最大偏差，表明了代理模型的局部精度。RRMSE指标反映了代理模型相对误差预测分布，其值越小，则模型准确度越大。结果表明，基于PSOLSSVR模型在预测离心泵性能方面是可行的。

表5 PSO-LSSVR模型对测试样本的预测误差Tab.5 Prediction error of PSO-LSSVR model for test samples

PSO-LSSVR模型模拟的适应度较高，所以在程序编写过程中，对适应度的倒数进行曲线描述，如图6所示。从图6中可知，随着PSO迭代次数的增加，适应度倒数的值越小，说明PSO-SVM模型适用于离心泵性能预测。

图6 适应度曲线Fig.6 Fitness curve

图7示出了样本的模拟结果与代理模型预测结果的比较。从图中可知，PSO-LSSVR代理模型拟合的多级离心泵扬程及效率与原样本结果较为接近，最大误差控制在5%以内。

图7 样本与预测值对比Fig.7 Comparison between samples and predicted values

4.2 代理模型响应分析

使用数学和统计软件，以扬程和效率为优化目标，计算每个变量的平均响应，结果如图8所示。由于多级离心泵中单吸叶轮个数较多，对于扬程和效率目标值的变化，单吸叶轮相关参数的敏感性均高于双吸叶轮。在图8（a）中，两种叶轮参数的敏感性排序一致，均为出口宽度最大，其次为进口角。在图8（b）中，两种叶轮参数的敏感性排序不太一致。对双吸叶轮，叶片数对效率的影响最大；对单吸叶轮来说，出口角的变化对其影响较大。出口流量随着出口宽度的增加而增加，流量增加带动流体中更多的能量，因此扬程增加明显。但是叶轮出口处的绝对、相对速度提高使过流部件中水力损失增加，效率降低。进口角与叶轮进口回流和空化相关，次级叶轮的进口角减小，对扬程产生了很大的负影响。离心泵效率随着包角增大而略微增加，这是由于包角增大使得叶片型线变平顺，更贴合流体运动，从而减少了脱流现象的发生。出口角增大，叶轮出口靠近叶片背面处的局部低压区会受到影响，并会有旋涡产生，极有可能发生回流，导致了扬程和效率的下降。非工作面压力低于工作面的压力且随着半径的增大压力也随之递增，增加叶片数更有益于均匀分布内流场的压力。而且适当增加叶片数，流道增加，单一流道内的能量损失相应减小，流体获得的总功增加，从而使得扬程与效率增加。

图8 扬程与效率的变量响应Fig.8 Variable response of head and efficiency

4.3 优化前、后性能对比

优化前、后不同叶轮的相关参数见表6。PSOLSSVR代理模型优化的最佳方案中，双吸叶轮相关参数均有增大。单吸叶轮进口角与包角减小，其余参数增大。优化前、后叶轮型线的对比如图9所示，可以更加直观地观察优化前、后叶轮的改变。

表6 原始叶轮与优化叶轮的参数比较Tab.6 Parameter comparison between original impeller and optimized impeller

图9 优化前、后叶轮型线比较Fig.9 Comparison of impeller profile before and after optimization

通过观察图10，可以看到优化后多级泵的外特性得到很好的提升。与原方案相比，在额定工况条件下，扬程提升了3.99%，效率提升了2.91%，结果满足多级泵效率和扬程的优化目标。

图11中对比了优化前、后首级叶轮的流线。首级叶轮中的低速区被大幅削弱，优化后叶片数增加，流道面积减小，低速区发展空间不足。因此，首级叶轮获得了一定程度的减压，回流及流动不稳定现象得到了改善。

图11 优化前、后首级叶轮流线对比Fig.11 Comparison of streamline of first stage impeller before and after optimization

图12示出了优化前、后次级单吸叶轮速度叶栅图对比。

图12 优化前、后次级叶轮速度对比Fig.12 Comparison of secondary impeller speed before and after optimization

优化前，叶轮进口有明显的低速区域，叶轮出口有大面积的高速区域，流动不稳定。优化后，叶轮进口的低速区域明显减小。适当减少了叶轮进口角，可以改善进口回流，所以进口低速区域得到了优化。出口高速区域也得到了缓和，流动更加平稳。这是由于减小包角，增大了出口角，叶轮出口处压力分布更加均匀，平缓了高速区域。

图13示出了优化前、后湍动能在第1，2级叶轮上的分布。无论原始叶轮还是优化叶轮，首级叶轮湍动能强度是比次级叶轮湍动能强度大的。同等条件下，优化后的叶轮湍动能输运强度比优化前的叶轮湍动能输运强度明显减弱。这说明优化后，叶轮内部的能量耗散减小，优化后的叶轮更有利于将机械能转化为流体的能量。

图13 优化前、后湍动能对比Fig.13 Comparison of turbulent kinetic energy before and after optimization

5 结论

（1）PSO-LSSVR代理模型预测精度高，它可以相对准确地预测不同参数下离心泵的扬程与效率。额定工况下对扬程和效率的预测误差在5%以内。

（2）代理模型可以在预测的基础上，寻优得到多目标最优参数。在额定工况下，对比原始模型与优化模型的性能，得到扬程与效率分别提升了3.99%，2.91%。

（3）通过数值模拟，对比优化前、后的内部流场。研究结果显示优化后叶轮内部的流态得到改善，回流区域与流动不稳定区域缩减使得流体的流动损失减小，流体获得的能量增多，因此离心泵的扬程与效率得到了提高。同时湍动能分析表明，优化后叶轮的能量转换效率更高。