四边形新定义问题例析

2023-10-29王峥

中学数学 2023年20期

关键词：直路邻边中心对称

王峥

⦿ 江苏省徐州市第十三中学

四边形新定义问题,是培养学生创造性思维的良好素材,包括“等邻边四边形”问题、“等角相邻点”问题、“妙线”问题、“准等距点”问题等.以下作一分析探讨,以飨读者.

1 “等邻边四边形”问题

菱形、正方形是四边都相等的四边形,它们都是从实际生活中抽象出来的,因为应用广泛而得到推广.“等邻边四边形”是指有两组邻边相等的凸四边形.“等邻边四边形”有什么性质?又如何判定呢?下面结合实例进行探讨.

例1我们定义:有两组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．如菱形、筝形都是特殊的“等邻边四边形”．

(1)如图1,四边形ABCD中,若∠ABC=∠BCD,BC∥AD,对角线BD恰巧平分∠ABC,则四边形ABCD______“等邻边四边形”.(填“是”或“不是” )．

图1

(2)在探究“等邻边四边形”的性质时:

①小红画了一个“等邻边四边形”ABCD(如图2),其中AB=AD,BC=CD,若∠A=80°,∠C=60°,写出∠B,∠D的度数．

图2

②小红猜想:对于任意四边形,若有一组邻边相等,一组对角相等,则这个四边形为“等邻边四边形”.你认为他的猜想正确吗?若正确,请证明;若不正确,请举出反例．

(3)在锐角三角形ABC中,AB=AC,在平面内存在一点P,使PB=BA,PA=PC,四边形PABC可能是“等邻边四边形”吗?若可能,画出符合题意的图形,并求∠BAC的度数;若不可能,请说明理由.

解析：(1)由AD∥BC,∠ABC=∠BCD,可知四边形ABCD是等腰梯形,则AB=CD.

由∠ADB=∠DBC,∠ABD=∠DBC,得∠ABD=∠ADB,则AD=AB,AD=DC,所以四边形ABCD有两组邻边相等,即四边形ABCD是“等邻边四边形”.故填答案:是．

(2)①如图3,连接AC．因为AB=AD,BC=DC,AC=AC,所以△ABC≌△ADC(SSS),可得∠B=∠D.又∠BAD=80°,∠BCD=60°,则∠B+∠D=360°-80°-60°=220°.所以∠B=∠D=110°．

图3

②小红猜想错误．反例,如图4所示．四边形ABCD中,BA=BC,∠ABC=∠ADC=60°,四边形不是“等邻边四边形”．

图4

(3)①如图5,当CB=CP时,由PA=PC,可知四边形ABCD是“等邻边四边形”．设BP交AC于点O.

图5

②如图6,当△ABC是等边三角形时,四边形ABCP是“等邻边四边形”．

图6

综上所述,满足条件的∠BAC的值为36°或60°．

2 “等角相邻点”问题

平行四边形的对角线互相平分;菱形的对角线互相垂直平分;矩形的对角线相等且互相平分;正方形的对角线相等且互相垂直平分.这些实际上是对应四边形的中心点与四边形的关系,“等角相邻点”问题是指四边形内一点与其四个顶点连接,在四边形内形成的四个角中有两组角相等.那么,如何得到等角相邻点?等角相邻点又有什么性质呢?

例2如图7-1,在四边形ABCD内取一点P,连接AP,BP,CP,DP,如果∠APD=∠APB=α,且∠BPC=∠CPD=β,那么P叫做四边形ABCD的一个等角相邻点．