■林春斌

在解决一些涉及函数性质(奇偶性、周期性、对称性等)问题时,往往可以巧妙应用对应的“二级结论”,直接得出相应的结果,这样可以避免烦琐的推理过程,从而达到提高解题效率的目的。

一、借助奇函数的“二级结论”解题

结论1:如果f(x)是奇函数且在x=0处有意义,那么f(0)=0。

结论2:若奇函数f(x)在关于原点对称的区间上有最值,则f(x)max+f(x)min=0。

结论3:若f(x)是奇函数,且g(x)=f(x)+c,则g(-x)+g(x)=2c。

结论4:若f(x)是奇函数,且g(x)=f(x)+c,g(x)在定义域上有最值,则g(x)max+g(x)min=2c。

在利用奇函数的“二级结论”时,要对题设条件中的原函数的解析式进行合理的恒等变形,借助构建的奇函数,利用奇函数的“二级结论”进行分析与求解。

二、借助周期函数的“二级结论”解题

结论2:若满足f(x)=f(x+a)+f(x-a),则函数f(x)是周期函数,且一个周期为6a。

结论3:若函数f(x)的图像关于直线x=a与x=b对称,则函数f(x)是周期函数,且一个周期为2|b-a|(b≠a)。

结论4:若函数f(x)的图像关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)是周期函数,且一个周期为2|b-a|(b≠a)。

结论5:若函数f(x)的图像关于直线x=a对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)是周期函数,且一个周期为4|b-a|(b≠a)。

注意:对于结论3,结论4,结论5的巧妙记忆为“两次对称成周期,两轴两心二倍差,一轴一心四倍差”。

例2 函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)是奇函数,且f(x-1)是偶函数,则( )。

A.f(x+3)是偶函数

B.f(x)=f(x+3)

C.f(3)=0

D.f(x)是奇函数

分析:根据题设条件,利用抽象函数的奇偶性构建相应的关系式,通过关系式的变形与转化,利用奇函数的“二级结论”,周期函数的“二级结论”得到函数值,以及图像的周期性,进而对所求函数值进行转化与处理。

解:因为f(x+1)是奇函数,所以f(x+1)=-f(-x+1)。因为f(x-1)是偶函数,所以f(x-1)=f(-x-1),所以f(x+1)=f(-x-3)。所以-f(-x+1)=f(-x-3),所以f(x)+f(x-4)=0,所以f(x)+f(x+4)=0,所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为T=8。

对于A,由f(x)+f(x+4)=0,可得f(x+5)=-f(x+1)=f(-x+1),所以f(x+3)=f(-x+3),即f(x+3)是偶函数,A 正确。对于B,函数f(x)是周期为8的周期函数,B 错误。对于C,由f(x)+f(x+4)=0,可得f(3)=-f(-1),不能得到f(3)的值,C 错误。对于D,由f(x+1)=f(-x-3),f(x)+f(x+4)=0,可得f(0)=f(-2)=-f(2)=-f(4),不能得到f(0)的值,D 错误。应选A。

涉及周期函数的“二级结论”及其应用,解题的关键是借助题设条件,合理构建对应的抽象函数之间满足的关系式,结合“二级结论”进行分析与求解。

三、借助对称函数的“二级结论”解题

结论1:若函数f(x+a)是偶函数,则函数f(x)的图像关于直线x=a对称。

结论2:若函数f(x+a)是奇函数,则函数f(x)的图像关于点(a,0)中心对称。

例3 已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=a·2x+b。若f(0)+f(3)=6,则f(2024)的值是( )。

A.-12 B.-2

C.6 D.12

分析:根据题设条件,先利用对称函数的“二级结论”得到函数图像的对称性,结合抽象函数的奇偶性构建相应的关系式,再利用周期函数的“二级结论”得到函数图像的周期性,最后求出函数的值。

解:因为f(x+1)为奇函数,所以函数f(x)的图像关于点(1,0)对称,所以f(1)=0,且f(x+1)=-f(-x+1)。

因为f(x+2)为偶函数,所以函数f(x)的图像关于直线x=2对称,所以f(x+2)=f(-x+2)。结合周期性可知函数f(x)的周期为T=4|1-2|=4。

当x∈[1,2]时,f(x)=a·2x+b,结合f(x+1)=-f(-x+1)与f(x+2)=f(-x+2)得f(0)=-f[-(-1)+1]=-f(1+1)=-f(2)=-(4a+b),f(3)=f(1+2)=f(-1+2)=f(1)=2a+b。又f(0)+f(3)=6,所以-(4a+b)+(2a+b)=-2a=6,解得a=-3。

当x∈[1,2]时,f(x)=a·2x+b,因为函数f(x)的图像关于(1,0)对称,所以f(1)=0,所以f(1)=2a+b=0,所以b=-2a=6。

由f(x+1)=-f(-x+1),可得f(0)=-f(2)。因为当x∈[1,2]时,f(x)=6-3·2x,所以f(2024)=f(506×4)=f(0)=-f(2)=-(6-3·22)=6。应选C。

解答本题的关键是从对称函数的“二级结论”入手,过渡到周期函数的“二级结论”,结合逻辑推理与数学运算进行分析与求解。