中空玻璃在动荷载作用下的主参数共振分析

2023-10-18潘应桂刘治国彭云涛

振动与冲击 2023年19期

潘应桂, 田水, 谷倩, 刘治国, 胡飞, 成鹏, 彭云涛

(1. 武汉理工大学土木工程与建筑学院, 武汉 430070; 2. 中建三局集团有限公司工程总承包公司, 武汉 430070)

“中空玻璃”是使用高强度高气密性复合黏结剂将两层或多层平板玻璃与内含干燥剂的铝合金框架黏结而制成的高效能隔音隔热玻璃。在国家大力聚力节能减排,推动绿色低碳发展,实现碳中和的情况下,中空玻璃由于其隔音、隔热、防结霜、防潮效果好、抗风压强度大等优点而在建筑幕墙中被越来越广泛的应用。

研究中空玻璃的受力变形规律是安全、适用、经济地利用其性能的基础,研究成果可以为设计中空玻璃幕墙结构提供依据。为了使中空玻璃在建筑幕墙中更好地应用,国内外学者对中空玻璃进行了一系列研究。龚昌基等[1-3]研究了中空玻璃的空腔内气体对内、外层玻璃的传力的影响;吴晓等[4-5]通过对风荷载作用下中空玻璃的非线性性能研究,得出单层玻璃的中面位置只与玻璃的弹性模量、泊松比及厚度有关,同时分析了玻璃双模量特性对挠度变形的影响;史博等[6-9]采用有限元软件模拟了荷载形式、边界条件、玻璃形状等对玻璃挠度变形的影响;童丽萍等[10-11]等研究了风压分布及幕墙玻璃的受力性能;Feng等[12-13]研究了索网幕墙中玻璃面板的受力性能及其影响因素;彭震等[14-16]研究了各参数对共振系统的影响;杨志安等[17-18]分析了各因素对矩形板主参数共振的影响;高永毅等[19-21]建立并求解了矩形板的非线性动力学方程,同时分析了矩形板的非线性振动特性。在受到脉动风等动荷载的作用时,玻璃常常会出现抖振、颤振,从而造成玻璃构件的开裂损坏;目前,在动荷载作用下中空玻璃的力学性能研究中,多数研究均只考虑单一因素对玻璃力学性能的影响,没有综合考虑空腔气体体积和空腔气体压强变化、玻璃的双模量特性、大挠度变形时产生的中面拉力、玻璃的阻尼以及惯性力等因素。本工作将综合考虑空腔气体体积和空腔气体压强变化、玻璃的双模量特性、大挠度变形时产生的中面拉力、玻璃的阻尼以及惯性力等多因素对动荷载作用下玻璃力学性能的影响,并通过伽辽金方法建立了单片玻璃的动力方程计算公式;采用多尺度法求解,得到了动荷载作用下单片玻璃的幅频响应方程和相频响应方程,并通过绘制玻璃的主共振响应曲线,分析不同参数对响应曲线的影响,以期为研究玻璃实际受力性能提供参考数据。

1 矩形玻璃的动力学方程

玻璃、混凝土、石墨、塑料、合金等诸多材料的拉、压弹性模量不同。对于拉、压弹性模量不同的双模量材料,弹性系数不仅依赖于结构材料,还根据结构各点位移或应力状态的不同而不同,亦即与结构材料、形状、边界条件及外载荷有关。玻璃是典型的双模量材料,在发生弯曲变形时玻璃受拉区与受压区的弹性模量、泊松比均不相同,因此在计算玻璃的变形和抗弯刚度时需考虑玻璃的双模量特性,本文通过考虑中空玻璃的空腔气体体积和空腔气体压强变化、玻璃的双模量特性、大挠度变形时产生的中面拉力、玻璃的阻尼以及惯性力等因素的影响,建立玻璃的动力学方程。

图1 矩形玻璃模型Fig.1 Rectangular glass model

(1)

图1中:Nx,Ny为玻璃发生挠度变形时的中面拉力;Fp为中空玻璃空腔气体压力;F=qcosωt是横向均匀分布的简谐力。在计算玻璃的抗弯刚度时,需要考虑到玻璃的双模量特性,h1为单片玻璃的受压区高度;E1、E2分别为玻璃受压时的弹性模量和受拉时的弹性模量;μ1、μ2分别为玻璃受压时的泊松比和受拉时的泊松比。

四边简支的边界条件:

为了便于求解矩形玻璃的动力学方程,选取满足边界条件的函数

ω(x,y,t)=T(t)W(x,y)

(2)

(3)

中空玻璃内、外层玻璃挠度变形与空腔气体体积及压强变化示意图,如图2所示。

图2 中空玻璃变形图Fig.2 Deformation of insulating glass

通过考虑玻璃的力平衡方程、玻璃挠曲时的几何变形方程、应力与应变之间的物理方程,推导出内层玻璃的挠度微分方程

(4)

式(4)可以简化表示为

D∇4ω2(x,y)=Fp

(5)

通过求解内层玻璃的挠度微分方程,内层玻璃的挠度表达式为

(6)

式中,ΔP为空腔气体压强变化量,玻璃的最大挠度是在中心处,将x=a/2,y=b/2代入式(6)可以求得

上式的级数收敛很快,计算时可以只取m=1和n=1就能够得到令人满意的近似值[22]。将式(6)简化为

(7)

即中空玻璃空腔气体压力为

(8)

中面拉力Nx和Ny的表达式为

(9)

(10)

式中,σx和σy为沿玻璃厚度方向均匀分布的正应力[23]。

由Galerkin 原理可得

(11)

将式(2)、式(3)和式(8)代入式(11)积分可得矩形玻璃的动力方程

(12)

2 玻璃的主参数共振研究

(13)

因为阻尼项,非线性项与惯性力项相比是较小项,又由于是研究系统的主共振性能,故在阻尼项,非线性项和外激励项前冠以小参数ε,则式(13)可化为

(14)

在简谐力作用下对玻璃结构的主共振研究时为了简化研究过程,保证研究结果具有一般性,可令

ω=ω0+εσ

(15)

式中,σ为调谐值,采用多尺度法,取两个时间刻度t0和t1。设主参数共振情况下的一次近似解为

T(t)=T0(t0,t1)+εT1(t0,t1)

(16)

将式(16)代入式(14),与式(15)比较ε同次幂的系数可得

(17)

(18)

式(17)的解是

T0(t0,t1)=A(t1)eit0+cc

(19)

式中,cc为等式右边函数的共轭复数部分,其中

(20)

将式(19)代入式(18)右端,并消去长期项得

(21)

即得

(22)

将式(20)代入式(22)得

(23)

将式(23)的实部和虚部分离可得

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

式(30)为幅频响应方程,式(31)为相频响应方程。

3 计算实例

为了具体分析不同参数对振幅响应曲线的影响,应用幅频响应方程绘制出玻璃主共振响应的曲线。现取玻璃的参数为:玻璃边长a=b=1.5 m,h=0.006 m,μ=0.2,E=7.2×1010Pa,ρ=2.5×103kg/m3,c=0.1,Fp=500 N/m2,q=1 000 N/m2。采用控制变量法,分别以阻尼系数、玻璃边长、玻璃厚度等因素为变量,研究其对玻璃主共振的影响。

阻尼系数是影响结构共振的重要参数之一,为了研究阻尼系数对振幅的影响,绘制振幅与阻尼系数的关系,如图3所示。从图3 可以看出,在不同阻尼系数幅频响应曲线中,随着阻尼系数的增大,曲线中振幅的峰值变小;调谐值σ从0增加至2时,振幅减小速度较快;调谐值σ大于2后,随着σ的增加,振幅依旧减小,但其减小速度较为平缓。在同一外荷载作用下,随着阻尼系数的增大,振幅的数值随之减小;随着外荷载的增大,振幅也随之增大,如图4所示。

图3 不同阻尼系数幅频响应Fig.3 Amplitude-frequency response of different damping coefficients

图4 不同阻尼系数力幅响应σ=0Fig.4 Force amplitude response of different damping coefficients

为了验算玻璃边长对振幅的影响,绘制不同玻璃边长的幅频响应曲线,如图5和图6所示。从图5和图6可以看出,随着玻璃边长的增大,振幅随之减小,说明了玻璃的边长在一定程度上影响结构的共振特性。

图5 不同玻璃边长幅频响应Fig.5 Amplitude-frequency response of different glass edge lengths

图6 不同玻璃边长力幅响应σ=0Fig.6 Force amplitude response of different glass edge lengths

图7和图8是验算玻璃厚度对振幅的影响,分析图7可知,随着玻璃厚度的增加,振幅随之减小;如图8所示,三种不同玻璃厚度的力频响应曲线近似叠合成一条,其原因是玻璃厚度对振幅的影响相对于玻璃的边长、阻尼等参数为较小值。综合分析图7和图8可知,玻璃的厚度对共振特性有一定的影响,但其影响不大,当同时考虑玻璃的边长、阻尼系数等参数时,可以忽略玻璃厚度对振幅的影响。

图7 不同玻璃厚度幅频响应Fig.7 Amplitude-frequency response of different glass thickness

图8 不同玻璃厚度力幅响应σ=0Fig.8 Force amplitude response of different glass thickness

为了综合考虑阻尼系数与玻璃厚度对振幅的影响,绘制了不同阻尼系数下的玻璃厚度与振幅关系曲线,如图9所示。分析图9可知,与阻尼系数相比,玻璃厚度对振幅的影响较小,可忽略不计。另一方面,为了更好的反映阻尼系数与玻璃边长对振幅的影响,同时改变阻尼系数与玻璃边长的大小,振幅的变化趋势如图10所示;对图10进行分析可知,随着玻璃边长的增加,不同阻尼系数对应的振幅曲线的变化趋势基本一致,同时可以看出随着阻尼系数的增加以及玻璃边长的增加,振幅在持续减小,这与图3和图5所得出的结论相一致。