场地相关的非平稳相干函数及其工程应用

2023-10-18林奇祥陈灯红许维忠

振动与冲击 2023年19期

林奇祥, 彭刚, 张齐, 陈灯红, 陈忠, 许维忠

(1. 三峡大学防灾减灾湖北省重点实验室, 湖北宜昌 443002; 2. 三峡大学土木与建筑学院, 湖北宜昌 443002;3. 三峡大学湖北省输电线路工程技术研究中心, 湖北宜昌 443002; 4. 三峡大学电气与新能源学院, 湖北宜昌 443002;5.宜昌电力勘测设计院有限公司, 湖北宜昌 443002)

地震动空间变异性是几百米范围内两个台站地震动的振幅和相位变化。地震动的空间变异性对大跨度桥梁、核电站、大坝、地铁、油气管道等大跨度结构的动力响应有很大影响。由于现有地震动密集台阵造价高,数量较少,仅仅依靠密集台阵地震动记录研究地震动空间变异性较困难。因此,多点地震动的模拟必不可少。Hao等[1]提出三角级数法模拟多点地震动,屈铁军等[2]改进了该方法,可以考虑其中一点与其他剩余点的相干性。然而以上研究假定地震动是平稳过程,只考虑强度的非平稳性。为了考虑频率的非平稳性,董汝博等[3]提出分段合成再叠加的合成方法。朱昱等[4]提出相位差谱合成方法,贾宏宇等[5]考虑了地震动的多维性,采用相位差谱合成多维多点非平稳地震动。俞瑞芳等[6]基于实际地震动记录,提出了时频包络函数,考虑强度和频率的非平稳性。这些多点非平稳地震动的研究为地震动的空间变异性提供了基础。

地震动的空间变异性往往由相干函数度量。现有相干函数模型分为经验模型和半理论模型。经验模型主要由现有密集台站记录拟合得到,模型函数形式简单,模型参数仅适用于该次地震。为了更加准确地描述地震动相干性,很多研究者基于理论分析提出了半理论模型,首先确定函数形式,然后通过密集台站记录拟合模型参数。有些半理论模型考虑了场地的影响。Kiurghian[7]基于随机振动理论建立了相干函数的半理论模型,考虑了非相干效应、场地效应和行波效应。Somerville 等[8]分析了行波效应、有限震源、散射效应和场地效应对相干函数的影响。丁海平等[9]基于近场地震动模拟提出了适用于基岩场地的相干函数。Todorovska 等[10]考虑九个场地条件,合成了九个地震动,分析场地条件对相干函数的影响。研究者建立半理论模型的过程中,需要做一些假定,这些假定可能对结果有影响。为了分析不同场地条件下相干函数的差异,研究者基于现有密集台阵地震动记录分析了地震动相干性。Abrahamson[11]比较了软土场地、软岩场地和硬岩场地的平均相干函数。Svay等[12]计算了Argostoli数据库中地震动相干性,并将其与其他模型进行了比较,结果显示这些模型都不合适,而且所有参数都与场地相关。Imtiaz 等[13]比较了Argostoli岩石场地与软土场地密集台阵地震动的相干性。结果显示,当频率小于5 Hz时,岩石场地地震动相干性大于软土场地地震动相干性,当频率大于5 Hz时,岩石场地地震动相干性小于软土场地地震动相干性。Imtiaz等将这一现象归因于与岩石场地有关的土壤异质性。研究表明,在0～5 Hz岩石场地相干函数最大,软岩场地相干函数次之,软土场地相干函数最小。场地条件与相干函数的关系值得研究。

综上所述,以上研究成果都是基于现有密集台阵地震动记录,根据现有密集台阵地震动记录仅能证明相干函数与场地条件有关,无法体现场地条件如何影响相干函数,无法在相干函数中确定场地影响项,这是以上研究的不足,因此本文作者提出了场地条件相关的非平稳傅里叶相干函数,并用实际地震动记录验证本模型的实用性。通过蒙特卡洛方法和连续小波变换得到非平稳相干函数。然后,通过傅里叶级数拟合非平稳相干函数,进而研究场地条件和站点间距对参数的影响,验证模型的有效性,合成多点地震动。通过这种方式产生的相干函数体现了实测地震波的物理特性,如时-频域非平稳特性、场地差异等。最后,以一输电塔线体系为背景进行了实例研究。

1 傅里叶非平稳相干函数模型的构建

为研究场地条件对相干函数影响,现有密集台站无法提供充足的数据,而新建密集台站花费很大,采用蒙特卡洛方法可以克服这一困难。为了获得相干函数时-频特性,采用连续小波变换。

1.1 蒙特卡洛模拟

为了描述地震动幅值和频率的非平稳性, 俞瑞芳等和曲国岩等提出了时-频包络函数B(t,ω)。该函数与场地条件、震级和震源距有关。选用Clough-Penzie模型(1975)[14]。结合该功率谱和随机模型,生成X台站的地震波

y(t)=

(1)

Y台站的地震波可以表示为

cos[ωk(t+τ)+φk]

(2)

(3)

式中:Δω为圆频率的增量;φk为在区间[-2π,2π]的随机相位;B(t,ω)为时-频包络函数;S(ω)为功率谱密度函数;τ为地震波从X台站传播到Y台站所用时间;d12为X台站与Y台站之间的距离;vapp为视速度。

由于时-频包络函数有震源距和场地限制,以上公式适用于任意震级,指定震源距(30～100 km),三类场地(I、II、III)。Lü等[15]将VS30的值作为三类场地的边界,分别为510 m/s、260 m/s、150 m/s。进行3 000 次蒙特卡洛后,取平均值作为生成的地震动[16]。

1.2 基于连续小波变换的相干函数的估算

现有相干函数模型假设地震动在时间上是平稳的,通过傅里叶变换可以精确地获得地震动的频率成分。然而,研究者不仅要获得非平稳地震动频率成分,而且要获得各个非平稳地震动频率成分出现的时间。为了改进傅里叶变换,Cohen[17]提出了短时傅里叶变换(short-time Fourier transform, STFT )。整个时域过程被分解为无数个等长的小过程。每个小过程近似平稳。然后用傅里叶变换知道随时间变化的频率含量。STFT也有一些局限性。例如,窄窗函数时间分辨率好但频率分辨率差,反之亦然。Grinsted等[18]提出了连续小波变换,从而克服STFT固有的局限性。它在低频时具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率,在高频时具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。王盟等[19]基于小波变换进行结构损伤识别,结果显示该方法可以识别结构发生损伤时间。

本文选用连续小波变换方法,将整个地震波用于估算相干函数[20]。本文研究只针对地震动水平分量。

1.3 傅里叶非平稳相干函数

采用上述方法得到地震动相干函数,如图1所示。地震动受震级、震源距离、场地等因素影响,地震动的长度不同。因此,采用归一化持时。归一化持时定义为累积能量等于0.1,0.2和1.0的时刻。由图2可见,相干函数随着频率增大而减小。不同归一化持时相干函数有不同的变化规律。当频率小于1时,不同归一化持时的相干函数表现类似的趋势,即从1开始下降。当频率大于1时,不同归一化持时的相干函数开始与归一化持时有关,并且上下波动毫无规律。因此,相干函数是频率和时间的函数。

图1 非平稳相干函数计算流程图Fig.1 The flowchart of non-stationary coherency

图2 非平稳相干函数Fig.2 The non-stationary coherency

现有相干函数模型形式简单,只有频率和站点间距两个变量。但是相干函数影响因素众多,没有任何一个模型可以将场地因素包括其中。傅里叶级数可以把任何周期函数分解为正弦函数和余弦函数的无穷级数。赵雨皓等[21-22]利用傅里叶级数的优点描述复杂函数均取得不错的效果。为了取得更好的拟合效果,本文提出了傅里叶级数非平稳相干模型( Fourier series non-stationary coherency model, FSNSCM )。

四阶傅里叶级数可以表示为

(4)

Lin(x)=ancos(nx)+bnsin(nx)

(5)

式中:a0,an,bn为拟合系数;x为频率;k为傅里叶级数的阶数,k值越大,精度越高,但是需要拟合的系数也增多。经过反复计算,k=4比较合适。

Imtiaz等[23]发现震级(大多低于5)和震源距不影响相干函数。Imtiaz等认为,选用的地震震级大多在5级以下,因此这些地震可以近似为点源。当两台站间距离与震源距相比较小时,震级对两台站的地震动影响相同。

本文采用式(6)拟合三类场地条件的非平稳相干函数,通过分析三类场地条件对参数的影响建立场地条件与相干函数的联系。

为了分析三类场地条件对九个参数的影响,采用面积法,即首先通过积分计算三类场地每个参数的变化曲线的积分A1、A2、A3,如图3(a)所示,然后计算三者的平均值Am,最后定义变化率为(A1-Am)/A1、(A2-Am)/A2、(A3-Am)/A3。从图3(b)可以看出,场地I条件下的a0变化率大约是4%,场地II和场地III条件下的a0变化率大约是2%,场地I条件下的a1变化率大约是-13%,场地II条件下的a1变化率大约是1%,场地III条件下的a1变化率大约是11%,场地I条件下的a2变化率大约是-12%,场地II和场地III条件下的a2变化率大约是5%,场地I、场地II和场地III条件下的a3变化率大约是0,场地I、场地II和场地III的a4变化率大约是-1%,场地I条件下的b1变化率大约是-50%,场地II条件下的b1变化率大约是10%,场地III条件下的b1变化率大约是20%,场地I条件下的b2变化率大约是15%,场地II条件下的b2变化率大约是0,场地III条件下的b2变化率大约是-18%,场地I和场地II条件下的b3变化率大约是-3%,场地III条件下的b3变化率大约是5%,场地I和场地II条件下的b4变化率大约是3%,场地III条件下的b4变化率大约是-11%。在震级和震源距影响下参数变化率都没有超过10%,因此以10%作为边界。如果参数变化率超过此边界,认为场地条件对该参数有影响,反之亦然。由此可知,a0,a3,a4,b3在三类场地条件下的变化率小于10%,说明场地条件对这四个参数影响有限。而a1,a2,b1,b2,b4在三类场地条件下的变化率都大于10%,说明场地条件对这五个参数有影响。相干函数与场地条件相关。拟合了每个场地条件的九个参数,由于篇幅有限,仅提供场地III条件下的各参数的拟合值,如表1所示。

(a) 三种场地a1的变化曲线

(b) 三种场地条件下九个参数的变化率图3 三种场地条件下九个参数的变化Fig.3 The variation of nine parameters under three site conditions

表1 场地III条件下相干函数的拟合系数Tab.1 Fitting coefficients of the coherence under site III conditions

现有的相干函数模型均与站点间距有关,因此本文需要找出与站点间距有关的参数。大部分大跨结构跨度在50～200 m之间。a0随站点间距的变化,如图4所示。采用面积法计算其变化率,如图5所示。采用相同的方法,计算得到其他参数的变化率,如图5所示。a0,a1,b1所受影响强于其它参数。因此,a0,a1,b1三个参数是站点间距的函数。采用二次多项式进行拟合,并得到相应系数,如表2所示。

图4 不同归一化持时a0的变化曲线Fig.4 The curve of a0versus inter-station distance under different normalized duration

图5 不同站点间距条件下九个参数的变化Fig.5 The variation of nine parameters under different inter-station distances

表2 场地III条件下a0,a1,b1的拟合系数Tab.2 Fitting coefficients of the a0,a1,b1 under site III conditions

a0(T,d)=p11*d2+p21*d+p31

(6)

a1(T,d)=p12*d2+p22*d+p32

(7)

b1(T,d)=p13*d2+p23*d+p33

(8)

式中:T为归一化持时;d为站点间距;pij(i,j=1,2,3)为拟合系数。

1.4 模型验证

为了验证模型的有效性,首先选取SMART-1台阵的45号地震的两水平分量。45号地震的详细信息如表3所示。计算中心台站(C00)和内圈台站的相干性均值和方差,如图6所示。

表3 SMART-1台阵的45号地震信息Tab.3 The information of event 45 in SMART-1 array

(a) 归一化持时为0.3

(b) 归一化持时为0.7图6 归一化持时为0.3和0.7时,傅里叶级数非平稳相干模型与45号地震动相干性及Hao模型比较Fig.6 The comparison among the proposed coherency model, coherence calculated by the Event 45 and Hao model with the normalized duration being 0.3 and 0.7

由于III类场地条件与D场地条件相似,傅里叶级数非平稳相干模型采用表1和2中的数据,归一化持时分别为0.3和0.7,站点间距为200 m。图6给出了模拟值、观测值和Hao等模型的比较,结果显示:① 地震动相干性观测值随归一化持时变化,这是由于地震动包括不同的频率成分,比如面波、剪切波。而傅里叶级数非平稳相干模型模拟值也随归一化持时变化,而Hao模型模拟值不随归一化持时变化;② Hao等模型模拟值最大,当频率大于1时,非平稳相干模型模拟值与观测值比较接近,当频率小于1时,非平稳相干模型模拟值与观测值差异较大,这可能是其他因素(地震波传播方向、震源等)引起的,在以后的研究中,非平稳相干模型需要考虑这些因素。

希腊Cephalonia岛的Argostoli部署了包括一个岩石站点和软土站点。这两个密集台阵由21个测速仪和一个中心站组成。其他站分别位于四个同心圆上,直径分别为10～180 m和20～360 m。台站从2014年2月6日运行至2014年3月10日。Argostoli数据库共记录了约2 000条地震动。Svay 等从Argostoli数据库选择了93个地震动分析了地震动相干性。这93个地震动的震级范围是2.7～3.6,震源距范围是9～77 km,最大速度范围是0.05～2.40 mm/s,场地条件是岩石。傅里叶级数非平稳相干模型采用场地I的拟合参数,归一化持时为0.3,站点间距分别为55 m 和100 m。傅里叶级数非平稳相干模型计算结果与Svay等计算结果对比,如图7所示。由图7可知,在0～5 Hz,Svay 等计算结果较大,这可能是由于岩石场地的VS30=830 m/s,而I类场地的VS30=510 m/s。Imtiaz等将这一现象归因于与岩石场地有关的土壤异质性。

(a) 间距为55 m

(b) 间距为100 m图7 间距为55 m 和100 m时傅里叶级数非平稳相干模型计算值与Svay 等 (2017)计算值比较Fig.7 The comparison between coherence from Svay et al (2017) and the proposed model with the inter-station distance of 55 m and 100 m

2 多点地震动的模拟方法

大尺度结构采用多点输入更加符合实际的输入模式[24-26],本章将基于傅里叶级数非平稳相干函数合成多点地震动,并分析一致和非一致激励作用一输电塔线体系响应的区别。

2.1 基于傅里叶级数非平稳相干函数多点地震动模拟及调整

傅里叶级数非平稳相干函数具有非平稳特性,模拟地震动期间,地震动时程被切分成十段。假定地震动在每个时段里都是平稳的。地面运动的n个不同地点的平稳地震动可以由地面加速度的演化功率谱密度函数矩阵表达,采用Cholesky方法分解演化功率谱矩阵,得到下三角矩阵H(t,ω)。

(9)

(10)

φ(ωl)=ωlt-θjm(ωl)+Φml

(11)

(12)

贾宏宇等[27]提出了地震动时程在频域上的迭代修正方法,以提高计算精度。

以目标反应谱为标准,人工反应谱与其比较,按照下式对人工地震动时程幅值进行调整

amn,(I+1)(ω)=amn,I(ω)R(ω,ζ)

(13)

式中:amn,(I+1)(ω)为修正的人工地震动时程值;amn,I(ω)为待修正的人工地震动时程值;R(ω,ζ)为人工地震动时程反应谱修正值。

2.2 有限元模型建立

以实际工程中输电线路中某高压耐张型输电塔线体系为依托,建立输电塔线体系有限元模型。塔身总高度为29 m,横担长度为6.5 m,塔腿根开为3 m,塔顶横截面尺寸为1.4 m,档距100 m,导线截面尺寸为451.54 mm2,质量为1 509.3 kg/km,地线截面尺寸为148.07 mm2,质量为989.4 kg /km。塔身杆件均为等边角钢,主材采用Q420钢,斜材和辅材分别为Q345钢和Q235钢。导线为单回路交流三相导线,地线为两相地线。采用ABAQUS有限元软件进行建模,输电塔身主材选择BEAM单元进行模拟,采用TRUSS单元模拟导地线,选择瑞雷阻尼来考虑输电塔在振动过程中的耗能特性。其中输电塔线体系为“四塔三线”模型,包括四座输电耐张塔和三跨导地线。不考虑桩土共同作用,塔腿与基础固结。共划分4 350个单元,3 734个节点,最终建立的塔线体系如图8所示。选取输电塔线体系顺线向作为地震输入方向,采用加速度输入法。

图8 “四塔三线”有限元模型Fig.8 Finite element model of “four towers and three lines”

四座输电耐张塔从左至右依次编号1#,2#,3#,4#。对于输电塔系,由于导地线的存在,大多数模态分析结果都是以导地线振动为主,选取塔线体系前1 000阶模态中塔线一起平动和扭转的模态,单塔和塔线体系自振频率,如表4所示。

表4 输电单塔和塔线体系自振频率对比Tab.4 The comparison of natural frequencies between single tower and tower-line system

2.3 四点地震动的模拟

以该四塔三线输电塔线(间距100 m)为例,采用上述模拟技术,模拟目标反应谱采用GB 50011—2010《建筑抗震设计规范》[28]中的反应谱,场地类型为III,特征周期Tg=0.45 s,抗震设防烈度为6,地震影响系数最大值为0.125。各支撑点模拟地震加速度时程,如图9所示。支撑点1地震加速度时程反应谱比,如图10所示。