张水利，屈聪，严磊，惠志昊

（平顶山学院数学与统计学院，河南平顶山 467000）

概率论与数理统计课程是高校理工、经管类等专业重要的公共数学基础课，对培养学生的综合能力，提高学生的数学素养，后续专业课程的学习及随机问题的处理有重要的作用。提高概率论与数理统计课程的课堂教学质量，注重育人效果，利用概率论与数理统计知识解决实际问题是本课程进行教学改革的一个重要方向。

本文在以学生为中心的理念下，基于BOPPPS教学模式对离散型随机变量的数学期望进行设计，深挖课程思政元素，并把课程思政元素巧妙地融入教学过程中，在教学中既注重知识的传授，又关注思想政治的教育，真正做到知识传授、价值引领与能力培养有机融合。

一、概率论与数理统计课程教学现状

在概率论与数理统计课程的教学中主要存在以下问题：

第一，重理论轻应用。对概率论与数理统计的基本知识、原理等理论讲授比较详细，与实际生活相关的案例讲得比较少，学生应用数学知识分析和解决实际问题的能力培养不够。

第二，教学模式落后。传统的教学模式中以教师讲授为主，缺乏课堂互动，学生是被动学习，不能很好调动学生学习的积极性和主动性，课堂教学目标难以完成。

第三，考核方式单一。在考核方式方面，以期末考试成绩为主，平时成绩以考勤和作业进行评价，占比较小。同时这种考核方式只考核了学生知识掌握情况，缺少能力和素质的考核和评价。

针对教学过程中存在的问题，有必要对概率论与数理统计课堂教学进行改革，国内许多教师在概率论与数理统计课程教学改革方面取得了一定的成果。例如，臧鸿雁、刘林、张志刚[1]给出了两个教学案例，其中一个是利用离散型随机变量的数学期望的知识点，给出了新冠筛查中逐一检验和分组检验的问题，并进行了问题的引申研究；结合概率论与数理统计中相关系数定义以及基于概率的信息熵的概念，给出了图像加密的安全性问题的教学案例，通过案例教学，增加学生学习的兴趣，同时能够培养学生利用概率论与数理统计知识分析和解决实际问题的意识和能力。徐尔等[2]进行翻转课堂和线上线下混合式教学，实施全程性和多元化的考核方式，从“知识传授型”“能力培养型”转变。吴波[3]以概率论与数理统计为案例，对金课的特征进行分析，从教学的难度、教学的深度、教学的广度、教学的高度、教学的强度、教学的精度和教学的温度七个方面进行阐述和分析，在分析过程中列举了大量的案例，具有一定的示范性和推广性。

二、概率论与数理统计课程思政的研究现状

立德树人是高等学校的根本任务，也是时代赋予高等学校的历史使命。为了落实立德树人根本任务，要把立德树人体现在各门课程的教学中，渗透到各个教学环节中。而概率论与数理统计是与实际生活密切相关的一门课程，如何挖掘课程思政元素，并有效融入教育教学过程中是任课教师面临的重要课题。

法国著名的数学家拉普拉斯曾说过一句名言：生活中那些重要的问题绝大部分属于概率问题。概率论与数理统计课程在课程思政方面具有一定的先天优势。目前，已有部分教师在概率论与数理统计课程思政方面进行了探索和实践，例如，沈爱婷、张玉[4]在教学过程中贯彻“以人为本”的教育理念，从学生的角度和实际情况出发，进行教学设计和开展教学，在古典概率中以“生日问题”“体育竞赛中，三局两胜还是五局三胜对于实力较强的队有利”案例来增加学生的学习兴趣；以“设备维护”为案例，引导学生利用概率论与数理统计的思想和方法解决实际问题，培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。闫莉等[5]从以“新冠疫情的基本再生数95%的置信区间”为例，引入置信区间、置信上限、置信上限等概念，激发学生的学习兴趣。刘淑环[6]以教学案例引入大量的生活常识、谚语、搭建知识结构体系等教学方式，引导学生把概率论与数理统计知识应用于实际生活，将辩证唯物主义、社会主义核心价值观等思政元素融入课程教学中，实现立德树人的目标，以“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”为案例，体现出团队合作的力量。张艳伟[7]主要从思政教育融入概率论与数理统计教学中的方法、实施步骤两个方面来阐述如何在概率论与数理统计教学中进行课程思政，在实施步骤方面，从概率统计概念、概率统计定理、概率统计原理、概率统计方法四个方面来阐述实施课程思政的过程。

三、BOPPPS 教学模式

BOPPPS模式以交际法和建构主义为理论依据，基于以学生为中心的基本教学理念，根据人的注意力集中时间一般为15分钟内的自然特点，采取模块化分解的方式，将教学过程切割为5～15分钟的多个教学模块。BOPPPS模式将教学过程划分为引入（Bridgein）、目标 （Objective）、前测 （Pre-assessment）、参与式学习 （Participatory learning）、后测 （Postassessment）和小结 （Summary）6 个教学模块。上述6个教学模块构成一个完整的、有效的课堂教学过程。该教学模式根据学生和教师特点、实际情况进行教学设计，并且非常注重学生的参与式学习，能够有效地调动学生的积极性和主动性。

BOPPPS教学模式作为一种理念比较先进，实践性比较强的教学模式，国内很多教师在教学过程中积极进行教学改革实践，利用BOPPPS教学模型进行教学创新。例如，王丽霞、李双东[8]以概率论与数理统计课程中极大似然估计法的教学为例，分析BOPPPS教学模式引入独立学院概率论与数理统计课程教学的可行性和实践效果。储亚伟、叶薇薇、王海坤[9]以“一阶非齐次线性微分方程的解法”为例，探讨了基于BOPPPS教学模式的高等数学微课程教学设计的方法，在教学设计中，将数学思想方法融入课堂教学，以学生为中心、以问题为导向的探究式教学，注重知识的认知过程，强调从已知到未知的自然过渡的互动式教学。

四、BOPPPS 模式下“离散型随机变量的数学期望”教学设计

（一）导入（Bridge-in）

导入作为教学的第一个环节，对课堂教学起到至关重要的作用。如果导入案例选择有新意，能够吸引学生，可以激发学生的学习积极性和好奇心，进而跟随教师进行课堂的学习。本节课，教师可以先让学生观看一段关于沉迷于购买彩票，最后走上歧途的视频报道，提出一个问题：国家发行“福利彩票”“体育彩票”的初衷是为了让人一夜暴富吗？为什么有些人为购买彩票而倾家荡产，甚至走上歧途？学生在观看完视频后，针对上面两个问题进行讨论，得出结论并进行分享。针对学生的分享情况，教师进行评价和引导，并向学生说明通过本节课知识的学习，可以探寻国家发行彩票的初衷。

以人们比较关注的彩票问题为引例，既能够激发学生的兴趣，同时引导学生不要沉迷于一夜暴富的美梦，真正体会幸福是奋斗出来的。

（二）教学目标（Objective）

在多媒体PPT中列出学生要达成的学习目标，具体包括知识目标、能力目标和素质目标。

知识目标：理解离散型随机变量数学期望的定义以及随机变量函数的数学期望公式，会利用离散型随机变量的定义及公式进行计算，掌握常见离散型随机变量的数学期望。

能力目标：培养学生自主发现、探究知识的能力；提高学生分析与解决实际问题的能力。

素质目标：学生能更加体会到“只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的明天”，培养学生的奉献精神；具有规则意识，能自觉遵守各类规则；能透过表面现象看到本质。

（三）前测（Pre-assessment）

前测阶段主要是用于测评学生现有的知识水平，了解学生对与本节课相关知识的掌握情况。以习题的形式在学习通里面发布古典概率的计算、正项级数的性质等内容，对学生进行测试，把握学生对基础知识的掌握情况，进而调整教学安排。

（四）参与式学习（Participatory learning）

本阶段是课堂教学的核心环节，参与式学习的过程强调通过生生互动、师生互动来实现课程核心内容的交互式学习。参与式学习强调以学生为主体、以教师为主导，通过分组讨论和问题驱动进行实施，激发学生进行自主思考和凝练总结，整个参与式学习过程是不断提出新问题、解决问题的一个过程。

首先结合离散型随机变量数学期望的定义，让学生讨论算术平均和加权平均的区别和联系，为什么要求级数绝对收敛，并给出结论。教师强调在计算离散型随机变量的数学期望时，融入思政元素，要严格按照规则进行计算，否则会出现错误。一方面对概念的关键点进行强调，另一方面引导学生在生活中一定要严格遵守规则，遵纪守法（如交通规则、学校规章制度等），否则会付出惨重代价。

让学生利用数学期望的定义计算两点分布、二项分布和泊松分布的数学期望，并让学生进行分享自己的结果。教师根据学生的分享情况进行点评和讲解。

例1 （彩票的真实价值，以福彩3D直选为例）从0～9中任选3个数字排成一列进行投注，中奖奖金为1 000元。该彩票中奖奖金的期望值是多少？

解：用x表示彩票中奖的奖金，则随机变量X的取值为0元和1000元，而中奖的概率为1/1000，因此随机变量x的分布列为

X 0 1000 P 0.999 0.001

由数学期望的定义可知，

E(X)=0×0.999+1000×0.001=1

即该彩票中奖奖金的期望值是1元。

通过计算可知，2元钱购买的一张彩票真实价值在1元左右，剩余的1元钱用于什么呢？从中国福利彩票官网公开的信息可知，中央专项彩票公益金具体支出包括以下方面：支持地方社会公益金、扶贫事业、残疾人事业、医疗救助、教育助学、养老公共服务、文化公益事业、红十字事业、法律援助等。

通过计算彩票中奖奖金的期望值或一张彩票的真实价值，了解福利彩票公益金的分配和使用情况，让学生自己体会国家发行福利彩票的初衷，不是为了让人们一夜暴富，而是为了人们献出一点爱心，为国家的公益事业做出贡献。

例2 （免费摸奖的真相）袋中有大小相同的球20个，10个10分，10个5分，从中摸出10个球，摸出的球分数之和即为中奖的分数，获奖如下：

等级 分数 奖金 等级 分数 奖金一等奖 100 2500元 六等奖 65 8元二等奖 50 1000元 七等奖 70 5元三等奖 95 176元 八等奖 85 3元四等奖 55 88元 九等奖 90 2元五等奖 60 44元 十等奖 75或85 -22元

以免费摸奖为例，利用古典概率计算每次中奖的概率，可以得到每次摸奖中奖奖金的期望值，来揭示免费摸奖的真相，让学生体会到不要被表面现象所迷惑，需要透过现象看到本质。

（五）后测（Post-assessment）

后测指在学习者学习后，对教学效果进行评价，以了解学习者的学习成效是否达成教学目标，为后续的教学做铺垫。具体为：给出一些具有实际应用背景的例题，把实际问题进行数学化处理，得到离散型随机变量的分布列，利用随机变量的数学期望公式进行计算。

为了提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，考查学生对本节课内容的掌握情况，让学生利用古典概率和离散型随机变量的数学期望为福彩中心设计一种彩票，并说明设计理由和分析优缺点。

（六）总结（Summary）

课堂总结能够帮助学习者回顾和整理所学内容、形成总体认识，促进学习者反思自己的学习成果，并提供机会将所学知识系统化。总结本次课主要内容为：“三公式三结论”，即三个离散型随机变量的数学期望公式，三个常见离散型随机变量的数学期望。通过比较简单的语言，把本节课的核心框架进行总结，便于学习进行理解和掌握。

五、结束语

本文基于BOPPPS教学模型对离散型随机变量的数学期望进行教学设计，通过改变传统教学模式，学生在课堂学习过程中能够积极参与教学过程，体现了教师主导、学生主体的教学理念。同时在教学中融入的课程思政元素，将概率统计知识与思想教育进行有机结合，逐步把本课程打造为不仅含有丰富专业知识元素，还包含丰富思政元素的课程，帮助学生树立正确的世界观、人生观和价值观，培养合格的社会主义建设者和接班人。