张建国，余江慧，罗永贵

(贵州师范大学 数学科学学院，贵州 贵阳 550025)

设S是半群,A是S的非空子集且a,e∈S。若对任意的s∈S,存在a1,a2,…,am∈A使得s=a1a2…am,则称A是半群S的生成集,记为S=〈A〉。若对半群S的任意生成集B都有|A|≤|B|,则称A为半群S的极小生成集。通常半群S的秩定义为

rank(S)=min{|A|:A⊆S,〈A〉=S},

其中|A|为A的基数。若e2=e,则称e为半群S的幂等元,半群S中所有幂等元之集记为E(S)。类似地,A中所有的幂等元之集记为E(A)。若(a2)2=a2且a2≠a,则称a为半群S的平方幂等元,半群S所有平方幂等元之集用E2(S)表示。类似地,A中所有的平方幂等元之集记为E2(A)。若A⊆E2(S)且对任意s∈S,存在b1,b2,…,bt∈A使得s=b1b2…bt,则称A为半群S的平方幂等元生成集。令M是半群S的任意平方幂等元生成集且|A|≤|M|,则称A为半群S的平方幂等元极小生成集,进而称|A|为半群S的平方幂等元秩,记为

rank2(S)=min{|A|:A⊆E2(S),〈A〉=S}。

设Xn={1,2,…,n}并赋予自然序,Pn和Sn分别是Xn上的部分变换半群和对称群,记SPn=PnSn,则SPn是Pn的子半群。令

记Dk=〈gk,δk〉,称Dk为Xn上的k-局部二面体群且令DkPn=Dk∪(PnSn),易证DkPn是半群Pn的子半群。设α∈DkPn,用im(α)表示α的象集,dom(α)表示α的定义域,ker(α)表示dom(α)上的如下等价关系:

ker(α)={(x,y)∈dom(α)×dom(α):xα=yα}。

为叙述方便,引用Green-等价关系[1-2],在半群DkPn中L,R,H,D,J有如下刻划:对任意的α,β∈DkPn有:

(α,β)∈L⟺im(α)=im(β);

(α,β)∈R⟺ker(α)=ker(β);

(α,β)∈J⟺|im(α)|=|im(β)|;

D=J。

对任意的i,j∈Xn,定义R(i,j)={α∈Jn-1:iα=jα},Ri={α∈Jn-1:dom(α)=Xn{i}},易知R(i,j)=R(j,i),当3≤k≤n时,对Jn-1中的所有R-类作如下的分类:

用符号ζi(1≤i≤n)表示Jn-1中如下形式的幂等元:

设n≥3,3≤k≤n,记

E4={ζi:1≤i≤n};

令E(Jn-1)为Jn-1中所有幂等元之集,于是有E(Jn-1)=E1∪E2∪E3∪E4且E1,E2,E3,E4两两相交为空集。记

设δ∈E(Jn-1)且δ的唯一非单点核为(i,j),其中i,j∈Xn,则Jn-1中的平方幂等元形式如下:

其中:q∈Xn{i,j};dom(δi)=Xn{i};s,t∈Xn{i}。

当n≥3,3≤k≤n,令

定理1设n≥3,3≤k≤n,则半群DkPn=〈{gk,δk}∪E〉。

定理3设n≥3,3≤k≤n,则半群DkPn=〈E2(DkPn)〉=〈{gkδk,δk}∪∏〉。

本文未定义的符号及术语参见文献[1-2]。

为完成定理1及定理2的证明先给出以下若干引理。

引理1[1]当n≥3时,SPn=〈E(Jn-1)〉。

引理2当0≤r≤n-2时,Jr⊆Jr+1·Jr+1。

证明由文献[8]引理1.3直接可得。

由引理2直接可得: