实心圆柱式超高速永磁电机建模与极限设计

2023-09-19魏嘉麟温旭辉古蕾秦超王又珑

电机与控制学报 2023年8期

魏嘉麟, 温旭辉,, 古蕾, 秦超, 王又珑,

(1.中国科学院电工研究所,中国科学院电力电子与电气驱动重点实验室,北京 100190; 2.中国科学院大学,电子电气与通信工程学院,北京 100049; 3.齐鲁中科电工先进电磁驱动技术研究院,山东济南 250100)

0 引言

超高速永磁电机具有效率高、体积小、功率密度高等优点,并且可与高速负载或原动机直连从而省去变速装置[1-2]。因此在航空航天、微型燃气轮机发电以及超临界二氧化碳发电等领域具有广阔的应用前景[3-5]。

实心圆柱式永磁电机凭借着极限转速等方面的优势,成为超高速电机的常用类型[4-7]。由于稀土永磁材料抗拉强度较低,难以承受高速旋转产生的离心应力,需要装配合金护套。然而,稀土永磁材料和合金材料都具有较高的电导率,电流谐波和非正弦绕组产生的空间谐波会在转子中感应出大量涡流,引起转子发热。过高的温升不仅可能导致永磁体不可逆退磁,还会对护套应力产生影响。此外,由于转速高,风摩损耗不可忽略,应用于超临界二氧化碳发电时更为显著。减小护套厚度有利于降低转子涡流和风摩损耗,但同时也降低了结构强度。因此,转子强度和温升是超高速永磁电机设计的主要约束[8-9]。

针对超高速永磁电机转子结构强度的问题,国内外学者进行了大量的研究。有限元法计算精确度高、能分析复杂结构,常用于分析圆柱式永磁转子的应力[6-7],但其耗时较长、占用计算资源较多,并且难以快速搜寻合理的护套厚度以及对应的过盈量。文献[10]建立解析模型设计护套,分析高速旋转时的护套应力采用自由边界条件,不考虑静态过盈导致护套内壁的压应力,能够较快完成应力迭代计算。考虑过盈配合的影响有助于进一步提高应力分析的精确度。文献[11]建立了永磁转子多边界类型的应力解析模型,并分析特定尺寸转子的应力,模型具有较好的通用性,然而超高速永磁电机同样需要根据转速和工况设计转子尺寸。对于电磁建模方面,文献[4]和文献[12]分别建立了不计及转子涡流效应的精确子域模型和面电流模型,能够分析电机的电磁性能。有限元法同样可用于计算转子涡流损耗[6-7],但其无法直观地反应电机参数对涡流的影响,不利于初始设计。目前,对于实心圆柱式永磁电机转子涡流损耗解析模型以及极限设计的研究相对较少。

护套常选用镍基合金(Inconel718)、钛合金或奥氏体不锈钢合金材料,其中后者抗拉强度相对较低,但具有价格低廉、加工难度小的优点,在实际中应用更为广泛,因此本文选择奥氏体不锈钢作为护套材料,研究其转子的极限转速和功率。首先建立圆柱永磁转子的应力解析模型,可考虑离心应力、热应力和护套过盈配合的共同作用,计算满足多极限工况(高速冷态和热态)应力需求的最小护套厚度和对应的静态过盈量,进而分析装配不锈钢护套的实心转子的极限转速。其次,提出计及转子涡流效应的电磁解析模型,对比分析电机在不控整流或脉宽调制(pulse width modulation,PWM)可控整流发电状态产生的转子涡流损耗及其分布,并分析涡流损耗抑制技术。然后,将损耗提供至有限元软件计算温升。结合应力分析和温升计算分析转子在特定热态温升下的极限功率以及对应的控制策略。最后,设计一台40 kW、60 000 r/min实心圆柱式超高速永磁电机,制造样机用于超临界二氧化碳发电,并进行相关实验。有限元仿真和实验结果验证模型的精确度和设计的有效性。

1 解析模型

实心圆柱式永磁转子轴向截面示意图如图1所示,合金护套和永磁体通过摩擦传递转矩,因此在任意工况下护套都需要提供一定的预紧力。

图1 实心圆柱式永磁转子轴向截面示意图

超高速转子通常较为细长,简化为二维模型也具有较高的精确度。建立模型如图2所示,为了便于分析,作如下假设:

图2 实心圆柱式永磁电机结构与尺寸

1)降阶为二维分析,物理量沿轴向无变化;

2)转子材料应变均为线弹性;

3)不计定子齿槽效应,铁心的磁导率无穷大,并忽略磁滞和涡流效应;

4)三相绕组对称分布。

基于以上假设,以磁体圆心为原点建立极坐标系,r为半径,θ为机械角度,以逆时针为正方向。Rm、Rsl和Rs分别为磁体外径、护套外径和定子铁心内径。

1.1 应力解析模型

圆柱永磁转子具有对称性,可使用等厚旋转圆盘理论进行建模,应力平衡方程[13]如下:

(1)

式中:σr和σθ分别为径向和切向应力;ρ为材料密度。磁体和合金护套材料的力学性能都具有各向同性,在线弹性范围内,应力和应变的关系为:

(2)

其中:E和μ′分别是材料的弹性模量和泊松比;β和ΔT分别为材料的热膨胀系数和温升;u为位移量。通过式(1)、式(2)可获得位移量的微分方程,其通解为

(3)

其中C、D分别为待定系数。对于圆柱磁体,圆心处位移有限,因此半径的负一次项系数Dpm=0。下标pm表示磁体,sl表示护套。

分别将磁体和护套的位移量代入式(2)求解,可获得磁体和护套内部应力的解析表达式,其中含有待定系数。

待定系数需要结合边界条件求解,护套和磁体的静态过盈量为δs;由于磁体和合金材料导热性较好,转子径向温度梯度较小,可假设热态时转子各区域温升相同。

边界条件如下:护套外径处不受压应力;护套和磁体始终保持接触,因此接触面上压应力相等,位移差值恒等于静态过盈量:

(4)

将护套和磁体外径比值的平方定义为变量

(5)

代入位移和应力的解析式至式(4)所示边界条件,求解方程组即可获得待定系数。为简化公式,定义中间变量:

(6)

限于篇幅,仅展示Dsl的解析式为

(7)

求解出待定系数即可计算转子应力分布,应保证在任意工况下转子各部分应力低于材料抗拉强度,以及护套对磁体施加一定的预紧力。钐钴永磁材料和奥氏体不锈钢材料相关性能如表1所示,不锈钢的热膨胀系数大于永磁材料,因此转子高速热态时护套所受最大切向应力以及对磁体的压应力均低于高速冷态时[14],护套设计需要满足多极限工况。

表1 材料性能

对于特定的磁体外径Rm,需要设计合理的护套厚度和过盈量,使高速冷态时护套内侧拉应力等于不锈钢许用应力σθ_max,高速热态时护套对磁体的压应力等于最小接触应力σcon_min。此时护套已经尽限使用,所设计的护套厚度为最小厚度。

为了一定的安全裕量,计算所用最高转速ωmax为额定转速1.15～1.25倍;许用应力为抗拉强度的三分之二,取350 MPa;由于预紧力和传递扭矩的需要,最小接触应力可取10 MPa。高速冷态时,即ω=ωmax、ΔT=0,满足

σθ_sl|r=Rm=σθ_max。

(8)

高速热态时,设定温升ΔT,满足

σr_sl|r=Rm=-σcon_max。

(9)

根据式(8)、式(9)可列出方程如下

(10)

式(10)是关于变量ksl的三次方程,分布在1～2之间的实数根为最小护套外径与磁体外径比值的平方。若不存在符合条件的解,表示不存在满足需求的护套厚度,即该转速下护套的应力需求超出了不锈钢材料的极限。

1.2 电磁模型

为抑制转子涡流损耗,定子选择多槽结构。对于多槽电机,建立子域模型存在求解复杂的问题。并且超高速电机气隙较宽,齿槽效应相对较弱,因此本文基于绕组函数理论[15-16]将相电流等效为分布于定子内表面的面电流进行建模。

对三相电流进行傅里叶级数分解:

(11)

式中:Ik为k次电流时间谐波幅值;ω为电机的电磁频率;t为时间。三相绕组对称的假设下,绕组函数如下:

(12)

式中:Np为每相绕组匝数;kwn为n次绕组系数,即为分布系数和短距系数的乘积。

绕组函数与绕组电流的乘积为磁动势,定子内壁面电流则根据磁动势相同原则等效,即

(13)

式中:K为面电流矢量;Fkn为k次电流时间谐波、n次空间谐波对应的磁动势,表达式为

(14)

模型中存在电流,因此需要使用磁矢位函数进行建模求解。由磁矢位函数的定义可知,其只存在z轴分量。

气隙中磁矢位满足拉普拉斯方程

▽2Ag=0。

(15)

由模型的周期性可知通解中不存在非周期项,通解如下:

(16)

式中Cgkn和Dgkn分别为待定系数。

合金护套中存在涡流,因此磁矢位满足泊松方程

(17)

式中:σsl为护套材料的电导率;μ0为真空磁导率;j为虚数单位。当谐波场量不与转子同步,即k+n≠0时,会在转子中感应出涡流,方程存在非平凡解。为了便于求解,定义变量

(18)

式中τkn为该谐波的集肤深度。其通解需要使用贝塞尔函数

sin(nθ+kωt)。

(19)

式中:Jn为n阶第一类贝塞尔函数;Nn为n阶第二类贝塞尔函数;Cslkn和Dslkn分别为各阶贝塞尔函数对应的待定系数。

永磁体中同样会感应出涡流,并且存在剩磁。因此磁矢位满足泊松方程

▽2Am=-μ0▽×M-μmJ。

(20)

其中:M和μm分别为永磁材料的剩余磁化强度和磁导率;J为涡流密度。磁矢位的解由剩磁和涡流效应两部分组成,不计铁磁材料饱和时,场量满足叠加性定理,此处可以只求解涡流相关通解。通解形式与护套中相近,定义变量

(21)

式中σm为永磁材料的电导率。永磁体圆心处磁矢位数值有限,因此通解中不存在第二类贝塞尔函数项,形式如下:

(22)

根据磁矢位在分界面的衔接条件,边界条件如下:

(23)

由磁矢位通解和边界条件可得下面方程组,为对其进行求解,定义中间变量Ykn如下:

(24)

(25)

限于篇幅,仅展示部分系数的表达式,定义中间变量:

(26)

气隙中磁矢位的系数为

(27)

护套中磁矢位系数的关系为

Cslkn=YknDslkn。

(28)

当k+n=0时,该类谐(基)波与转子同步旋转,不产生涡流,因此可以进一步简化,将永磁体磁导率近似为真空磁导率。磁矢位满足拉普拉斯方程,且圆心处磁矢位数值有限,其解为

(29)

对于平行磁化的实心圆柱永磁转子,求解式(20)中与剩磁相关通解可得空载气隙磁密为

(30)

式中Br为永磁材料剩磁磁密,和剩余磁化强度的关系为

(31)

2 模型验证

2.1 应力解析模型验证

使用有限元仿真与应力解析模型对比,验证应力模型精确度以及多极限工况设计的有效性。

钐钴永磁材料和奥氏体不锈钢的性能参数如表1所示。以外径Rm为16 mm的圆柱磁体为例,计算转速为50 000 r/min、热态温升为100 K时的应力分布。护套最大拉应力σθ_max取300 MPa,最小接触应力σcon_min取10 MPa,根据模型计算护套外径约为17.5 mm,对应过盈量为25.6 μm。高速冷态和热态工况转子应力分布如图3所示,图4为有限元计算高速冷态工况转子切向应力云图。

图3 转子应力分布

图4 高速冷态工况转子切向应力云图

表2以高速冷态工况为例展示了有限元和解析计算结果的数值对比。应力解析解和有限元仿真结果非常吻合,高速热态时护套对磁体的接触应力以及高速冷态时护套最大切向应力与设定值基本相同,验证了模型的精确度。

表2 高速冷态工况转子应力

2.2 电磁解析模型验证

以一台实心圆柱式超高速永磁电机为例,通过与场路耦合有限元仿真对比电枢反应磁密波形和转子涡流损耗计算结果,验证电磁解析模型精确度。电机系统部分参数如表3所示。

表3 永磁电机系统参数

2.2.1 电枢反应磁密验证

额定正弦电流为激励时电枢反应气隙磁密(r=19 mm处)对比结果如图5所示,不计空载磁密,并引入了气隙比磁导函数补偿齿槽的影响[17]。有限元和解析解吻合程度较高。

2.2.2 转子涡流损耗验证

永磁发电机常选用不控整流或PWM可控整流发电方式,分别验证两种控制策略下产生的转子涡流损耗。均在直流侧并联电阻负载,发电功率约为15 kW。

不控整流发电的相电流和转子涡流损耗仿真波形如图6所示,母线电压约为550 V。涡流损耗的瞬时尖峰由电流换相造成。

图6 超高速永磁电机场路耦合仿真结果

解析模型获得转子内部的涡流分布,可通过对涡流焦耳热积分计算损耗。但贝塞尔函数积分较为复杂,因此采用坡印廷矢量法,如下:

(32)

式中E为电场强度,由电磁学理论可知其只存在z轴分量。A为面积,S为积分面,如果取护套外表面为积分面,所计算的是转子涡流损耗;取磁体外表面为积分面,则计算磁体的涡流损耗。

由于三角函数具有正交性,对电流波形做傅里叶分析并代入解析模型,即可计算各次时空谐波产生的涡流损耗。计算结果如表4所示,对于不控整流发电,5次和7次谐波对涡流损耗贡献较大。解析模型计算总损耗和有限元误差仅为3.4%,各次谐波对应损耗的计算结果都较为接近。

表4 各次电流谐波产生涡流损耗计算结果

可控整流发电母线电压为750 V,发电功率为15 kW,电机相电流基波幅值约为23.8 A。两种控制策略对应的转子涡流损耗损耗及其分布如表5所示,解析解和有限元计算结果较为接近,验证了解析模型的精确度。

表5 转子涡流损耗及其分布

可控整流发电的相电流中高频边带谐波含量较大,对于电导率较高的不锈钢材料,涡流的集肤深度小,为电感限制的涡流。因此可控整流发电工况的转子涡流损耗较小,并且护套损耗占总损耗的66.1%,高于不控整流发电的53.7%。

3 极限设计

基于上述模型对60 000 r/min超高速永磁电机进行极限设计,研究转子涡流损耗抑制技术,并结合应力分析设计电机径向尺寸。使用有限元软件计算电机在特定热态温升下的极限功率。

3.1 转子涡流损耗抑制

转子强度和温升是超高速永磁电机设计的主要约束,而转子温升由转子损耗导致。因此需要研究转子涡流损耗抑制技术,在特定热态温升的约束下实现最大功率。

使用解析模型对比分析两种控制策略产生的涡流损耗及其影响因素。以表2所示参数的超高速永磁电机为例,分析护套选择不同(合金)材料对涡流损耗的影响。转子涡流损耗随护套材料电导率的变化如图7所示。护套厚度和电流激励不变时,采用两种控制策略的总涡流损耗都随着护套电导率增加而降低,并且护套中涡流损耗所占比重增加,更利于转子散热。不锈钢材料电导率较高,有利于抑制涡流损耗和转子温升。

图7 转子涡流损耗随护套电导率的变化

保持磁体外径和电流激励不变,分析转子涡流损耗随不锈钢护套厚度的变化趋势,如图8所示。首先保持定子内径不变,护套厚度低于2.5 mm时(物理气隙为1.5 mm)涡流损耗随着护套厚度的增加而缓慢上升,厚度超过2.5 mm时涡流损耗随着护套厚度的增加迅速上升;其次,保持物理气隙为1.5 mm不变,涡流损耗均随着护套厚度的增加而缓慢下降。

图8 转子涡流损耗随护套厚度的变化

因此,设计电机需要保证一定物理气隙宽度,避免涡流损耗激增;物理气隙宽度过大,则涡流损耗抑制效果不再明显。

3.2 转子极限转速

不考虑轴向长度的影响,转子的极限转速仅受限于结构应力。由图3转子应力分布可知,高速热态时磁体中心处和高速冷态时护套内径处所受拉应力较大,应确保其均不超过材料抗拉强度。

本文所提出的应力解析模型能够计算满足多极限工况应力需求的最小护套厚度,此时护套已尽限使用。对于特定的磁体半径Rm、热态温升ΔT和高速热态时护套与磁体之间的接触应力σcon _min,不考虑永磁体的应力约束,转速超过一定值时式(10)不存在满足条件的实数解,表明无论护套厚度取何值,高速冷态时内径处切向应力都将超出奥氏体不锈钢材料的许用应力,必须使用抗拉强度更高的合金。此转速为护套限制的极限转速。

同样,对于特定的磁体半径、热态温升和高速热态的接触应力,不考虑护套应力的约束,转速超过一定值时磁体中心处拉应力将超出永磁材料的许用应力,此时的转速为磁体限制的极限转速。

以半径为16 mm圆柱磁体为例,以防永磁体在电枢反应作用下磁性能下降或发生不可逆退磁,热态温升设定为150 K。护套和磁体的许用应力分别为350 MPa和30 MPa,根据应力解析式可计算磁体中心的拉应力达到许用应力时对应的转速。

极限转速随高速热态接触应力的变化如图9所示,随着高速热态接触应力的增大,护套限制的极限转速下降,磁体限制的极限转速上升。显然,转子的极限转速应取二者中的较小值,因此两条曲线的交点即为该转子能够达到的最高转速,约为65 250 r/min,对应接触应力约为10.5 MPa。

图9 转子极限转速随高速热态接触应力的变化

采用上述方法计算转子的极限转速随磁体半径变化趋势,如图10所示。对于特定的极限转速,为了获得较大的功率,应选择相对较大的磁体半径,从而避免转子过于细长,同时需要保证一定的转速裕量。因此,样机磁体半径选择15 mm,对应极限转速70 000 r/min,为额定转速的1.17倍,所需护套厚度为4 mm。综合气隙磁密和转子损耗,物理气隙设定为1.5 mm。