车晋 卢丑丽 杜建慧

晋中信息学院 山西晋中 030800

0 引言

2016 年12 月，习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上强调，高校思想政治工作关系高校培养什么样的人、如何培养人以及为谁培养人这个根本问题。要坚持把立德树人作为中心环节，把思想政治工作贯穿教育教学全过程，实现全程育人、全方位育人，努力开创我国高等教育事业发展新局面。同时，新工科对我国理工科教育提出了新的要求。高等数学是理工科大一学生的必修课，也是在现代科学技术、经济管理、人文科学中应用最广泛的一门课程。但是目前应用性本科高校的高数教学现状存在以下一些问题：

1）高等数学课程面对的是大一新生，大一新生是很具有可塑性的，但是我们目前的教学内容体系只注重传授学生知识，没有注重培养学生通过学习高等数学来科学解决问题的能力和处理问题的思想；

2）教学方式单一；

3）教师的教学思想和教学观念没有显著改变，在教学过程中拘泥于教材，不能提升学生各方面的素质和能力；

4）在教学中没有注重培养大学生的国家观、民族观、文化观[1]。

本文对高等数学的教学设计借鉴了加拿大技师技能培训的BOPPPS 教学模式。BOPPPS 教学模式源于加拿大的教师技能培训，是一种以教学目标为导向、以学生为中心的教学模式。它由导言（Bridge-in）、学习目标（Objective/Outcome）、前测（Pre-assessment）、参与式学习（Participatory Learning）、后测（Post-assessment）和总结（Summary）六个教学环节构成。BOPPPS 名称是由这六个教学环节的英文单词的首字母构成。BOPPPS 是教师进行教学设计及课堂组织教学的一种有效模式，突出以学生为中心，以学习目标为导向的有效教学模式。在BOPPPS 模式的各个教学环节，根据教学内容渗透思政元素，通过思政元素的融入引导学生树立正确的世界观、人生观和价值观。所以通过有效的课程教学设计和“润物细无声”地渗透课程思政元素，使大学生在理论学习中有获得感，而且能够通过理论知识解决实际问题，从而充实自我提升自我，解决思想困惑，提升道德水平，形成正确的价值标准，满足新时代下教育育人发展的需要，这也是本文进行探索和研究的意义所在。

1 教学设计思路

BOPPPS 教学模式与课程思政相融合，就是在BOPPPS 的各个教学环节中，根据课程内容渗透思政元素，达到教学育人的培养目标。具体融合措施如下。

引言（B）：开始上课时，教师通过引入网络中精彩视频、时事热点等吸引学生注意力，激发学生的好奇心和学习兴趣，引出本节知识，借助超星平台发放活动区和群聊互动区开展互动。

学习目标（O）：该阶段的目的是让学生明确本节课需要掌握的目标知识点，掌握学习的重点。可通过板书、PPT 等进行展示。本环节旨在培养学生勇于探索、追求真理、团结协作的素质。

前测（P）：前测的目的是掌握学生的受训能力，了解学生对本课内容的兴趣及先备知识，以便调整后续教学内容的深度和进度，让课程的目标更加聚焦。一般采用问答、小测验、集体讨论等方式进行。此环节要求学生根据课前任务单，观看微课视频资料等内容，了解相关数学发展史等，激发和培养学生追求真理的责任感和使命感。

参与式学习（P）：此环节是BOPPPS 教学模型最核心的理念，体现以学生为中心的教学理念。在讲清楚概念、重点、难点等知识点后，可以采用报告、分组讨论、角色扮演、专题研讨、案例分析等各种有趣的方式让学生参与到教学中去，理解数学思想，透过现象看本质，揭示其所蕴含的普遍规律、哲学思想等思政元素，使学科内容更有深度，此环节不仅培养了学生严谨思维能力，帮助学生树立正确的世界观和价值观，同时，强化了学生的语言表达能力、沟通能力及合作能力等。

后测（P）：后测试判断学生是否达到预期的学习目标，目的是验收学习成果。此环节可提前在学习通平台设置测试题、借助超星平台开展抢答、测验等活动，激发学生学习的积极性，并根据评估结果进行教学反思，及时调整教学设计，从而更好地达到教学目标。

总结（S）：此环节的目的在于归纳总结本节课的知识点和清理知识脉络，进一步加深学生的印象。与传统教学模式不同的是，BOPPPS 模型更加强调由学生自己进行知识的归纳总结。教师可以在学生总结的基础上做提升，将数学体现的思想与学生的人生经历、成事之道等联系起来，帮助学生树立正确的人生观；另外，学生可以课下搜集与本节课内容类似的其他实际案例，自主延伸学习，拓展本节内容，增强学习兴趣，明确学习目标，自觉地学习科学文化知识。培养学生探索创新的科学精神，为祖国的建设添砖加瓦。

采用BOPPPS 教学模式，将课程思政融入BOPPPS模式的教学环节中。思政元素的挖掘大概可以从这几个方面出发：可以通过提炼高等数学课程中所蕴含的人文精神、社会责任、爱国情怀等，树立和践行社会主义核心价值观，逐步增强学生的社会责任感、使命感和爱国热情；或者结合数学史和数学文化，贯彻数学精神，感受数学魅力，培养数学素养，使学生坚定文化自信，继承和发扬中华民族的优秀文化传统；借助高等数学课程具有科学严密、逻辑性强等特点，引导学生坚守科学理念，强化数学意识，在教学过程中逐步提升学生精益求精、勇于创新的品质。在BOPPPS 教学模式的各个环节中融入思政元素的框架图如图1 所示。

图1 在BOPPPS 教学模式的各个环节中融入思政元素的框架图

2 以常数项级数的概念为例

回顾数学历史素材：2 400 多年前，希腊数学家芝诺（Zeno）提出几个著名的悖论，其中一个叫做“二分说”的悖论声称：一个人永远无法从甲地走到乙地。芝诺的推理是：这个人想从甲地到乙地，他首先要通过整个路程的一半，然后又要通过剩下的路程的一半，以后永远要通过剩下路程的一半，把整个路程的长度设为1，则所走的路程为1/2+1/4+1/8+1/16……，这个过程没有完结，所以这个人不可能从甲地到达乙地。换句话说，芝诺将这段路程划分成无限多段，他认为一个人不可能在有限的时间内通过无限多段路程。

事实上，一个人能够从甲地走到乙地，可芝诺的推理似乎也有一些道理。这一悖论的提出是针对事物无限可分的观点。当时的数学家在没有极限等抽象概念支撑的情况下，并不能严格准确地解释这究竟是不是真理。如何解释芝诺悖论留给学生下去查阅相关资料[2]。而现在的任务是探究1/2+1/4+1/8+1/16……如果一直加下去，它的和是否存在。通过此悖论的引入，调动学生学习的积极性，培养学生坚持真理、勇于探索的求真精神。

2.1 教学目标

通过PPT 向学生明确本节课的学习目标：理解常数项级数的定义；掌握常数项级数敛散性的概念；会用级数敛散性的概念判断级数的敛散性；能够用常数项级数敛散性解决一些生活中的实际问题，从而认识到数学是有用的。采用学生为主体的教学方式，让学生对这堂课感兴趣，以饱满的热情投入课堂中，借此培养学生主动思考问题，探索问题的能力，提高学生对待学业的认真态度与完成学业的信心。

2.2 前测

提前在上课前发布任务，庄子在《天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭，一直截下去，得到的总长度为：1/2+1/4+1/8+1/16…，这个和是否存在，如果存在，我们采用什么方法计算它的和。看看学生是否能想到无限项的和可以通过有限项和的极限来进行计算。

通过前测的学习，学生已经可以理解常数项级数的定义、部分和数列、会无穷多项的和。

2.3 参与式学习

接下来教师给出几个常数项无穷级数的例子，例如：

学生分组讨论这两个级数的和分别是多少，把第三个级数的和留在课下让学生先自己去思考解决。然后学生把分组讨论的结果上传到学习通，在学生讨论的过程中，教师可以参与到其中，以便了解学生在解答的过程中存在的问题。通过分组讨论发现级数的和存在，而级数的和为sn=1+2+3+…+n=n(n+1)/2 的极限为不存在，那怎么定义级数和的存在性呢？

教师进行总结，想要求无穷多项的和，可以先求有限项和，然后求项数n→∞的极限。总结出级数收敛与发散的定义，即：如果级数的部分和数列{sn}有极限s，即，则称无穷级数收敛，这时极限s叫做这级数的和，并写成；如果{sn}没有极限，则称无穷级数发散。

2.4 后测

学生掌握了级数敛散性的概念后，教师在学习通发布随堂练习。

【例2】某人耳朵感染，每4 h 服用一次氨卡西林，每次服用200 mg,在一个4 h 的区间内，人体在该区间的末期将存留开始时人体所含该药量的12%,请问长期服用该药，人体中该药物的含量为多少[3]？

解：设Qn表示刚刚服下第n次药时人体中氨卡西林的含量（以mg 为单位），则Q1=200，Q2=200+200·(0.12)，Q3=[200+200·(0.12)]·(0.12)+200=200+200·(0.12)+200·(0.12)2，Qn=200+200·(0.12)+200·(0.12)2+…+200·(0.12)n-1。

这是一个首项a1=200,公比q=0.12 的等比数列的前n项的和，因此如何病人长期服用此药，刚服下第n次药时人体中氨卡西林的含量为：

减去刚刚服下的200 mg,说明人体内残留的药物含量为27.27 mg,由此可以看出，定期给一个病人服用某一剂量的药物，由于新陈代谢的作用，总有一些药物被排出，而人身体中该药物的含量将趋于一个稳态。

2.5 总结

通过本节课的学习，学生掌握了常数项级数的概念、敛散性的概念、会求无穷多个常数的和，并且会用本节课的知识解决一些实际的问题。

S=1-1+1-1+…=(1-1)+(1-1)+…=0

或者S=1-1+1-1+…=1-(1-1)-(1-1)-…=1

甚至1-S=1-(1-1+1-1+…)=1-1+1-1+…=S

即S=1/2

发现用不同的方式给此级数加括号后得出的和是不相同的。出现这些错误的原因在于有限个数的加减法对于无限个数是不成立的。通过对本题的学习，学生深刻感受到对于新的问题，明白不能采用惯有的思维进行思考，需要持谨慎认真的态度，从而培养学生不怕挫折，追求真理，积极向上的品质。

3 教学效果评价

引入著名的芝诺悖论以及关于格兰迪级数和的争论，可以使学生对数学家及数学家的想法产生更深入的了解，体会数学家追求真理的过程并不是一帆风顺的，而是经历了千锤百炼。通过这些事迹鼓励学生不怕困难，迎难而上的做事态度。同时，推翻悖论的过程会激发学生的求知欲。学生自己查阅资料，可以拓宽自己的知识面，感受数学的发展史，深刻地认识数学的伟大与严谨。前测环节引用我国古代数学史上的割圆术，增强学生的爱国情怀和文化自信。

一改以往灌输式的教学，本文采用BOPPPS 的教学模式，以学生为主体，让学生真正参与到课堂中，激发了学生思考问题的兴趣，提升学生的思考能力。课堂气氛活跃，学习的积极性明显提高，学生会积极主动地思考问题，而且发现数学其实没有想象中的那么枯燥。

在后测环节让学生通过本节知识来解决生活中的实际问题，激发学生的学习兴趣，然后将教学目标进行了升级，让学生自己发现和挖掘与本节内容相关的生活常识，让学生充分感受到数学存在于生活中的方方面面。

本节课采用线上+线下的教学方式，网络资源丰富，教学方式灵活多样，充分鼓励学生积极参与教学过程。前测、参与式学习、后测、作业等都用到了网络教学平台，方式灵活，学生不容易走神，很大程度提高了课堂教学效率。

4 结束语

参与式学习的教学真正地实现了以学生为主、教师为辅的教学方式。后续高等数学的其他知识点的教学也会采用这样的教学方式，让学生主动积极地学习。在合适的教学环节融入思政元素，引导学生于生活、历史文化中发现数学之美，改变学生原来对数学课程枯燥难懂的固有印象，在时政、科学前沿、专业应用中、人生经验中体会数学的重要性，培养学生的开放性思维，帮助学生树立正确的世界观、人生观、价值观，激发学生实现中华民族伟大复兴的责任感。