何益慧

［摘 要］文章探讨基于学生能力发展的数学教学设计，对培养学生的数学学科核心素养，提高数学教学效率有参考意义。

［关键词］圆周角；教学；能力

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）11-0026-03

一、内容分析

“圆周角”是在学习“圆心角”的基础上进行深入探索，为圆有关角的计算，角、弧、弦相等问题的证明提供简便的方法，在有关说理、作图、计算中有着广泛的应用。“圆周角”既是圆心角、弧、弦之间关系的延续，又是下一节“圆周角定理推论”的学习依据，对研究圆内接四边形、判定相似三角形等几何问题有重要作用，为高中阶段学习圆和立体几何奠定基础。

二、学情分析

学生在八年级上册已学习了三角形的外角定理以及圆的基本概念，会判断圆心角，基本掌握了圆心角的相关性质，在知识储备上是足够的。通过类比，学生能较快地掌握圆周角的概念，已具备一定的逻辑推理能力、独立思考和探索能力，但对分类讨论、化归与转化等数学思想方法及“由特殊到一般”的认知能力有待加强。

三、教学目标

（1）让学生理解圆周角的概念，能识别圆周角并画出圆周角；（2）让学生掌握圆周角定理，会求圆周角的度数；（3）让学生会会用符号语言表述圆周角定理；（4）让学生会运用圆周角定理解决简单问题。

四、教学过程

（一）引入新课

教师先播放福建土楼的相关视频，然后提问：为了更好地保护世界文化遗产，某土楼公司正在为圆形土楼安装监控摄像头，每台摄像头的监控角度是[65°]，如图1所示，请思考以下问题。

问题1：若按图2所示，把摄像头安装在土楼中央的矮屋顶上，至少要安装几个摄像头才能监控整个土楼？

问题2：若按图3所示，把摄像头安装在土楼走廊的栏杆上，至少需要安装几个摄像头才能监控整个土楼？

追问：[∠DCE]是圆心角吗？

设计意图：以身边的现实问题为情境，回顾圆心角的概念，引出圆周角，激发学生学习的兴趣和欲望。

（二）类比概念

问题3：请同学们观察图2中的[∠AOB]与图3中的[∠DCE]，它们有何异同？

问题4：你能类比圆心角的概念并给圆周角下定义吗？圆周角的定义要满足哪些条件？

追问：为什么圆心角的概念中可不强调“两边都与圆相交”？

设计意图：通过图形的比对以及概念的类比，让学生经历对圆心角和圆周角的感知、分析、比较、抽象和归纳过程。

（三）应用概念

问题5：如下五个图形中，哪些角是圆周角？为什么？

设计意图：通过具体案例，从正反两个方面加深学生对圆周角本质属性的理解。

问题6：如图5所示，四边形[ABCD]是正方形，你能否找出图中的圆心角及其同一条弧所对的圆周角？

设计意图：让学生在更为复杂的组合图形中辨认圆心角和圆周角。

（四）定理探究

探究1：同一条弧所对的圆周角和圆心角在大小上有关系吗？

设计意图：用[90°]圆心角和[180°]圆心角的特殊性，引导学生观察、猜想。

探究2：利用几何画板，验证猜想。

操作1：用几何画板画出圆周角[∠ABC]，量它的度数，再画[AC]所对的圆心角[∠AOC]并量出它的度数，验证猜想。

操作2：拉动顶点[B]，观察[∠ABC]的角度值是否会改变。

操作3：拉动圆心[O]，改变圆[O]半径， 观察[∠ABC]与[∠AOC]的角度值。

操作4：移动点[A]或点[C]，观察[∠ABC]与[∠AOC]的角度值是否同时改变，[∠ABC]与[∠AOC]的大小关系怎样？

设计意图：用几何画板进行展示，让學生进一步验证猜想，为定理证明做铺垫。

（五）合作提升

活动1：学生讨论圆心与圆周角的位置关系。

活动2：教师用投影仪展示各个小组的学习成果。

经过大家讨论和补充，最终得出圆心与圆周角的三种位置关系，如图6所示。

设计意图：让学生主动参与学习，在合作学习中培养学生的概括能力、空间观念、符号意识、分类讨论思想和数形结合思想。

活动3：分类证明。

当圆心在圆周角的一边上时，学生讨论证明方法和思路；各组派代表分享解题思路和推理过程。

教师总结：把圆心角与圆周角的关系问题转化为等腰三角形外角与内角的关系问题，如图7所示。

设计意图：通过说理活动，让学生在合作与交流中体会转化思想。

当圆心在圆周角的内部时，学生尝试解决相关问题（估计有一定的困难）。教师提示：能否把它转化为第一种情况？（引导学生作辅助线）教师展示正确的解答过程，并补充说明，如图8所示。

当圆心在圆周角的外部时：

小组成员共同完成证明过程，请小组代表上台讲解，教师点评，如图9所示。

设计意图：让学生在构造基本图形的过程中培养空间观念、推理能力和转化思想。

教师引导学生总结归纳上述证明过程，如图10所示。

通过圆心在圆周角的一边上、圆周角的内部、圆周角的外部三种情况的证明，得出圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

设计意图：通过动画演示，引导学生一起归纳，厘清学生的解题思路，锻炼学生的概括能力。

（六）引导发展

若按图3所示，把摄像头安装在土楼走廊的栏杆上，至少需要安装几个摄像头才能监控整个土楼？

设计意图：与课堂引入问题相呼应，提高学生解决实际问题的能力。

（七）当堂检测

1.下列说法正确的是（        ）。

A.顶点在圆上的角是圆周角

B.两边都和圆相交的角是圆周角

C.圆心角是圆周角的 2 倍

D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半

2.如图11所示，[A、B、C、D]是圆[Ο]上的点，若[∠1=80°]，则[∠C=]             ，[∠D=]             。

设计意图：通过解答本题，让学生加深对圆周角定理的理解，也为证明圆内接四边形对角互补埋下伏笔。

3.我校是省足球特色校及示范校，七年级的甲、乙两名新球员在足球场进行无人防守的射门训练，他们分别站在球门前的圆上Ａ、Ｂ位置上（如图12所示）。他们都说自己的位置射门好，对球门CD的张角大。

（1）甲、乙两名足球运动员谁说得对？

（2）我校足球运动员在一次比赛中正在向对方球门进攻，当后卫李明带球冲到Ｅ点时，兩名队友也到达了Ａ、Ｂ点的位置（如图13所示），单从射门角度的大小考虑，李明应把球传给谁？

设计意图：检测学生课堂学习效果，便于改进教学。

（八）课后作业

1.必做题：（1）写一篇关于本节课的学习体会（300字以上）；（2）课本习题24.1第5、第14题。

2.选做题：课本第91页“拓广探索”第17题。

设计意图：分层布置作业，调动学生的学习积极性，让不同的学生有不同的收获。

五、设计思考

（一）创设情境是设计的切入点

学生数学能力的发展和素养的形成与情境密不可分。本节课通过世界文化遗产福建土楼的视频引入新课，在当堂检测中借助足球射门训练的问题，创设了真实的问题情境，让数学问题的生成更加自然，学生学习数学的热情倍增，感受数学的真实有用。围绕圆心角、圆周角等重要概念、原理和解决问题的思维方式，落实学科育人，引导学生学会用数学的眼光去观察现象、发现问题，学会用恰当的数学语言、模型描述问题，学会用数学的思想、方法解决问题。情境和情境活动的设计，可以关注学生与未来学习的关联和对数学学科的深度探索，也可以关注学生与社会实践的关联，体现分析问题、解决问题的全过程，提升学生的思考能力。

（二）基于问题导向是设计的着眼点

问题是学生数学学习的起点，精准的问题为学生提供了更多表现机会。关键教学点的设计要以问题为导向，通过设计有层次的问题，引导学生深入开展学习活动，让学生感悟数学知识的发生与发展，经历解决问题的全过程，将转变学生的学习方式落在实处，实现知识向能力的转化。本节课自始至终都以问题为教学主线，为学生提供了基于发现的学习活动，在圆周角概念的引入中提高观察能力和抽象素养，在定理的探究中通过几何画板的动态演示，提升学生发现、归纳、猜想的能力，在概念及定理的应用中增强合作探究、逻辑推理、交流表达、解决实际问题等能力，有效突破了教学难点。

（三）渗透数学思想是设计的着力点

数学思想方法是数学的灵魂，是夯实“四基”、发展“四能”的突破口，关键教学点的设计要重视数学思想方法的渗透。教师多引导学生用数学眼光去审视问题，才能促进学生创新思维和实践能力的发展。本节课在圆周角概念的引入中，运用类比推理的方法，根据圆心角的特征去推测圆周角的特征。在圆周角定理的证明中，由于圆心与圆周角位置关系具有不确定性，教师可通过分类与整合思想引导学生加以讨论，全面而具体，做到不重不漏，培养了学生思维的严谨性和灵活性，还渗透着“数形结合”“化归与转化”“特殊与一般”等数学思想，这对学生今后的数学学习将产生深远的影响。

（责任编辑 黄桂坚）