李 华,龙志文

(1.安徽理工大学 数学与大数据学院, 安徽 淮南 232001; 2.湖南人文科技学院 数学与金融学院, 湖南 娄底 417000 )

Mackey和Glass在文献[1]中提出了如下非线性时滞微分方程

(1)

众所周知,现实世界中,环境的变化如:天气、繁殖、食物供应、资源可用性等季节性因素对生态系统的动力学起着重要作用[7-14].又由于生态系统在波动环境中的选择性与在稳定环境中的选择性不同,特别地,周期性变化的环境对模型的动力学影响十分重要[15-16].因此,在生物种群模型中,考虑生物参数的周期性是合理且有意义的.

基于上述讨论,我们进一步考虑如下非自治造血模型

(2)

其中:n是一个正常数.我们综合运用Brouwer不动点定理,研究模型(2)正周期解的存在性,然后通过运用一些新颖的数学分析技巧和方法进一步研究该周期解的指数稳定性.

为建立本文的主要结果,对模型(2)的生物参数做如下假设:(H1)c(t),d(t),τ(t)是正的连续ω-周期函数.

本文中给出一些记号,对于有界函数f∈C(R,R+),记f+和f-为

其中:R+=[0,+∞),C=C([-τ+,0],R)是连续函数空间,定义C+=C([-τ+,0],R+).

根据模型(2)的生物学解释,实际应用只有正解才有意义,因此,当-τ+≤s≤0时,我们赋予模型(2)如下的初始条件:

x(s)=ψ(s),ψ∈C+,ψ(0)>0

1 预备知识

本小节将给出如下一些基本定义和引理.首先,类似于文献[2]中的引理3.1,我们可以得到如下结果:

引理1[2]假设(H1)成立,存在两个正常数Q2

那么,对于ψ∈C0={ψ|ψ∈C+,Q2<ψ(s)

Q2

进一步,模型(2)每一个解的存在区间为[t0,+∞).

定义1 设x*(t)是模型(2)的周期解.对于模型(2)的任意解x(t),如果存在正数ε,使得

|x(t)-x*(t)|=O(e-εt),t≥0

则称x*(t)是指数稳定的.

h(n)|x-y|,

其中:α是位于x和y之间的数,且

(3)

2 主要……

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