1 引言

在美学领域，黄金比例被视为最美的比例。 在线性黄金分割中，摄影构图中的最佳比例是0.618∶0.382，在建筑中存在着边长比为1∶0.618 的黄金矩形，穹顶建筑也存在着黄金分割[1-2]。与黄金比例0.618 相对应的还有黄金角度137.5°，它恰好把圆周分成两条比值为1∶0.618 的半径。 许多植物的生长规律都遵循着黄金角度，如车前草之间的夹角为137.5°，这样排列能更充分地获得光照。 从线性黄金分割到黄金角度，0.618、0.382、1.618 这几个数字常被视为美与最佳的代表，令Φ=0.618，则与0.618 相关的几个 数都可以 用Φ 来表示，Φ2=1-0.618，1/Φ=1.618，这几个数都可被定义为黄金数。

力学中常有最优值问题， 如最优结构形式、 最佳截面比等，而力学问题的最优解往往与形有关。 图解静力学[3]和拓扑优化法作为两种常用的力形分析方法， 在结构优化中发挥很大作用， 而结构优化的结果往往与自然界存在的形态相似[4]。因此可以推测：力学中的最优值与美学中的最优值即黄金数Φ有关。

在力学领域，董天立[5]发现在力学中存在着接近黄金分割率的数值，朱贝贝[6]研究了一类二自由度系统振动的黄金分割率，但该研究仅针对某类特殊的系统进行研究，且与力学最优值无关。 还有学者通过拓扑优化研究了叶脉分布中的黄金分割现象，该现象使得叶脉的力学性能几乎达到最优。 该研究进一步说明， 力学中的最优值与自然界的黄金数之间是存在密切关联的，若能发现两者之间的规律，也许对于工程的设计和优化是个不小的帮助。 本文通过理论推导得到了梁的内力分布、岩石强度、土体内摩擦角与黄金数Φ 的关系，为黄金数应用于工程优化设计打下了基础。……