【摘 要】  2023年高考数学新课标Ⅰ卷严格依据高中数学课程标准，深化基础性和综合性考查，在试题变化上把握充分，在素养立意上体现充分，在考教衔接上助力充分，精选试题情境，助力高中育人方式改革.

【关键词】  新课标Ⅰ卷;试题变化;素养立意;考教衔接

2023年是八省市全面使用新教材后的新高考元年.2023年高考数学新课标Ⅰ卷（以下简称“Ⅰ卷”）表达简约，给人一种“春风拂面”的舒适感和一种“似曾相识”的熟悉感.数学语言表达精炼，阅读理解上通俗易懂；试题立意与设问十分“友好”；每道题入手容易，且都能拿到与自己水平相当的分数，给学生一种明显的“获得感”.通过比较研究2021年、2022年新课标Ⅰ卷可以发现，2023年Ⅰ卷这种“简约”“友好”和“获得感”，主要归因于本文接下来要论述的“三个充分”.

1   试题变化把握充分

每年的高考试题设问或考点分布都有“变”与“不变”的部分.总结今年的Ⅰ卷，“不变”的部分往往让考生能潜意识地接受，比如第1题考查的“集合的交集”，第2题考查的“复数的运算”；基础解答题中依然是考查“解三角形”，放在17题位置；第18题的立体几何是传统的数学情境，以正四棱柱为载体，第一问考查常規的“线线平行”，第二问还是考查二面角余弦等等.而“变”的部分，能反应高考试题的变化趋势，具体体现如下： 1.1 必备知识的分布调整

首先，2023年Ⅰ卷各大数学主题的分值权重分布稳定.数学主题包括函数、几何与代数、概率与统计、数学建模与数学探究活动四大主题，而对数学建模与数学探究活动的考查往往融合在其他三大主题当中.统计各主题考查的知识点与分值，2023年函数主题部分考查分值为54分，与2021年一致，比2022年多5分；几何与代数主题部分考查分值为69分，与2021年一致，比2022年少5分；概率与统计部分22分，与2021年、2022年一致，具体如下表：

1.2 破除函数与导数的“最难”印象

我们惯性认为函数与导数的应用是最难的压轴题，也是大多学生很难突破的重点，从而备考复习时出现了两种极端情形：要么会放弃该题型的复习，要么会花大量时间来讲解训练.Ⅰ卷最让人意外的是函数与导数应用题以中档题形式位于第19题，突破了备考定势与思维定势.

例1  （2023年新课标Ⅰ卷19题） 已知函数f（x）=a（ex+a）－x．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）证明：当a>0时，f（x）>2lna+ 3 2 ．

该题第（1）问先求导，再确定参数的“临界点”分类讨论a≤0与a>0两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解，第（2）问根据a>0的单调性情况将问题转化为a2－lna－ 1 2 >0的恒成立问题，构造函数g（a）=a2－lna－ 1 2 （a>0），利用导数证得g（a）>0即可.

1.3 凸显解析几何与立体几何的压轴地位

2021年、2022年选择题压轴题型分别为立体几何、函数与导数的应用，2021年、2022年填空题压轴题型分别为数列、解析几何，2021年、2022年解答题压轴题型均为函数与导数的应用，然而2023年Ⅰ卷的选择题、填空题、解答题的压轴都以“几何压轴”的形式出现，规避了猜题、押题的“投机”行为.

例2  （2023年新课标Ⅰ卷12题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有

A.直径为0.99 m的球体

B.所有棱长均为1.4 m的四面体

C.底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体

D.底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体

该题设计以数量关系来刻画位置关系.在正方体内放入其他几何体，需要考虑正方体的面对角线、体对角线.A，B，C选项很容易从数量上进行判断，而D选项中正方体内嵌入底面直径或高超过棱长的圆柱体，要将圆柱体摆放为与体对角线垂直的状态，需要很强的空间想象能力并进行精妙的数据运算.

例3  （2023年新课标Ⅰ卷16题）已知双曲线C： x2 a2 － y2 b2 =1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，F1A ⊥F1B ，F2A =－ 2 3 F2B ，则C的离心率为     ．

该题可以利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到 AF1 ， AF2 ， BF1 ， BF2 关于m，a的表达式，根据垂直的条件得到m=a，接着利用余弦定理得到a，c的齐次方程；也可以设出点A，B的坐标，根据坐标法及坐标运算，得到点A，B的坐标关系，再根据A点在双曲线上，可得到关于a，b，c的齐次方程.

例4  （2023年新课标Ⅰ卷22题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点 0， 1 2  的距离，记动点P的轨迹为W．

（1）求W的轨迹方程；

（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3 3 ．

本题中抛物线方程不是标准方程，而是顶点不在原点的二次函数的结构形式，同时最值求解的式子是关于两个参数的含双绝对值的结构式 1+k2   2m－k + 1 k  2m+ 1 k   ，需要考虑函数f（m）=|2m－k|+ 1 k |2m+ 1 k |（0 k 2    进行分段讨论．

1.4 巩固概率与统计的“新主角”地位

概率统计专题的复习无固定“套路”可循.2021年位于18题位置，以“一带一路”知识竞赛为情境设置“求累计得分的分布列”“根据期望值做决策选择答题顺序”的问题形式；2022年位于20题位置，以“研究疾病与卫生习惯关系”为情境设置“独立性检验”“证明条件概率等式”“根据样本数据估值”等问题形式.2023年Ⅰ卷将概率统计与等比数列递推公式融合在一起考查，载体与试题位置都类似于2019年全国Ⅰ卷理科第21题，属于偏难题型，可以说直接承担了“人才选拔”的功能，也表明了概率与统计情境与形式上的创新，逐渐成为了高考数学的“新主角”.

例5  （2023年新课标Ⅰ卷21题）甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签确定第1次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第i次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi=1）=1－P（Xi=0）=q1，i=1，2，…，n，则E ∑ n i=1 Xi =∑ n i=1 qi．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮次数为Y，求E（Y）．

该题首先需要思考第（1）问和第（2）问的关系，为什么第（1）问是“求第2次投篮的人是乙的概率”，而第（2）问却是“求第i次投篮的人是甲的概率”？比如i=2时甲、乙投篮概率关系，从而需要建立“第i次投篮是甲的概率是pi，则第i次投篮的人是乙的概率是1－pi”的逻辑关系，再根据递推关系，构造等比数列模型；其次需要思考前一次甲、乙投篮都对后一次投篮产生影响；最后需要理解两点分布的数学期望与甲投篮次数的数学期望满足等式关系.

第（2）问解析：设pi表示第i次投篮是甲的概率，则第i+1次投篮是甲的概率pi+1= 3 5 pi+ 1 5 （1－pi），即pi+1= 2 5 pi+ 1 5 ．

构造{pi+λ}为公比为 2 5 的等比数列，有pi+1+λ= 2 5 （pi+λ），解得λ=－ 1 3 ．由p1－ 1 3 = 1 6 ，可得：当i≥2时，则pi－ 1 3 = 1 6   2 5  i－1，即pi= 1 3 + 1 6   2 5  i－1．又p1= 1 2 也满足该式，故pi= 1 3 + 1 6   2 5  i－1．

第（3）问解析：设第i次投篮人是甲时，Xi=1；第i次投篮人是乙时，Xi=0，则Xi服从两点分布，有P（Xi=1）=pi．从而

E（Y）=E（∑ n i=1 Xi）=∑ n i=1 pi=∑ n i=1   1 3 + 1 6   2 5  i－1 = 1 3 n+ 1 6 ∑ n i=1   2 5  i－1= 1 3 n+ 5 18 － 5 18   2 5  n．

1.5 强化数列的“计算”立意

近两年以来，数列综合应用的计算要求越来越高，比如2021年考查“剪纸艺术中对折纸的种类及表面积问题”“递推关系求通项求和问题”，2022年考查“消和式并累乘求通项问题与裂项相消求和后证明不等式问题”.同样，2023年Ⅰ卷对等差数列的相关计算也提出了相当高的要求，并且计算过程反套路.

例6  （2023年新课标Ⅰ卷第20题）设等差数列{an}的公差为d，且d>1．令bn= n2+n an ，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．

（1）若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求{an}的通项公式；

（2）若{bn}为等差数列，且S99－T99=99，求d．

该题命题意图是研究两个等差数列乘积，第（1）问需要在“S3+T3=21”的条件下通过例举b1，b2，b3计算得到a1，a2，a3之间的关系，从而求得d；第（2）问借助{bn}为等差数列通过2b2=b1+b3计算得到a1与d的关系，再通过条件S99－T99=99分情况讨论计算得出结果．

2   素养立意体现充分

高考命题体现的是“价值引领、素养立意、能力为重、知识为基”的变化趋势，而“素养立意”在2023年Ⅰ卷中的体现是：在“重点考查逻辑推理素养、深化考查直观想象素养、扎实考查数学运算素养”[1]基础上，还兼顾了充分考查数学抽象素养、简化考查数学建模素养.2.1 充分考查数学抽象素养

例7  （2023年新课标Ⅰ卷第11题）已知函数f（x）的定义域为 R ，f（xy）=y2f（x）+x2f（y），则

A．f（0）=0  B．f（1）=0

C．f（x）是偶函數

D．x=0为f（x）的极小值点

该题考查抽象函数的性质，A，B，C可通过赋值得出，而D选项需要根据前面三个选项，通过抽象到具体构造特殊函数

f（x）= x2ln|x|，x≠0，0，x=0.

2.2 简化考查数学建模素养

模型是“数学的语言”，是描述世界的工具.模型在高考数学中包括了函数模型、几何模型、不等式模型、概率模型等.2023年Ⅰ卷中选取科学情境“噪声污染问题”，简化地考查了函数模型选择与应用过程.

例8  （2023年新课标Ⅰ卷第10题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=20×lg p p0 ，其中参数p0（p0>0）是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同生源的声压级：

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，則

A．p1≥p2     B．p2>10p3C．p3=100p0 D．p1≤100p2

该题联系实际，注重应用，利用对数函数研究噪声声压水平，通过对声压级的研究，可以直接用原函数模型Lp=20×lg p p0 处理，也可以转化为实际声压函数p=p0×10 Lp 20 处理，体现了模型选择和应用过程. 3   考教衔接助力充分

高考的核心功能之一就是“引导教学”，高考数学试题中呈现“考教衔接”的导向就是对“双减”政策最好的呼应.教育部教育考试院在“高考命题实现由‘以纲定考到‘考教衔接的转变中”指出，高考命题要严格依据高中课程标准，确保“内容不超范围，深度不超要求”，考查内容限定在课程标准范围之内，考查难度限定在技能能力要求之内.2023年Ⅰ卷，很好地从这两个方面作了呈现.3.1 深度充分衔接课标 例9  （2023年新课标Ⅰ卷第9题）有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则

A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数

B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数

C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差

D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差

该题考查了统计抽样中样本的基本数字特征，考查考生对样本的平均数、标准差、中位数、极差概念的理解和掌握，难度要求符合课标要求，对接如下：

用样本估计总体 能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数）；能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差） 结合具体实例，理解

3.2 内容充分回归教材

“源于教材，但不拘泥于教材”是新高考的命题特点，那么可以从高考试题的显性要素与隐性要素两方面去建立与教材的对接点[2].比如，Ⅰ卷第3题含参数的向量的垂直关系，来源于必修二第60页复习题参考题第6题；第10题噪声污染问题来源于数学必修第一册第141页习题4.4中第10题“声强”问题，具体内容为：

教材对接  声强级L1（单位：dB）由公式L1=10lg  I 10－12  给出，其中I为声强（单位：W/m2）.

（1）一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W/m2，能听到的最低声强为10－12W/m2.求人听觉的声强级范围.

（2）平时常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级.

鉴于此，2023年Ⅰ卷选择题部分与教材的显性链接可初步统计如下：

4   考教衔接背景下的备考策略

总的来说，2023年Ⅰ卷严格依据高中数学课程标准，深化基础性和综合性考查，聚焦学科核心素养，体现“考教衔接”导向.“考”与“教”的衔接，并不是简单的“以考定教”或者是“以教定考”，而是一定要明确“衔接什么”“怎么衔接”“衔接后如何教学”的问题.因此，高考与教学的衔接就需要研究“衔接”的标准是什么，相关的“衔接”机制如何建立.

4.1 归纳考点，对标课标

要及时准确归纳每年高考考点，从“四翼”（怎么考）的角度，对标课标内容范围与能力要求，这样教学才能实现“高考导向”，才能实现“引导中学依标教学”的目标.

4.2 梳理教材，整合教材

复习备考中要思考如何通过对高考题和教材习题的比较、研究，建立高考试题与教材的对接点. 比如灵活运用显性关联和隐性关联两种方式，梳理试题材料呼应教材的出处，梳理题干设问、答案设计与教材中的重点内容建立知识链接等.同时，在梳理教材的基础上，挖掘教材资源，进行考点专题分类，提炼数学思想与通性通法，增强和教材的关联度.

4.3 转变方式，单元教学

因为教师往往对考试内容变化敏感，即“考了什么没考什么”“哪个主题考的多，哪个主题考的少”如数家珍，并且能够积极主动调整复习方向，但教学方法的调整却受诸多因素的影响而“一成不变”.所以高考数学内容的变化对教学内容范围的影响迅速而深刻，但对教学方式方法的影响十分不明显，很多高三的复习课堂现实情况往往是“不管你怎么考，我就是这样教”.因此，在新课程、新课标、新教材和新高考的背景下，要顺应高考命题“价值引领、素养立意、能力为重、知识为基”的变化趋势，就必须变革课堂教学方式，实现真正意义上的由“解题”到“解决问题”的转变；要实行大概念单元教学，落实必备知识，通过“情境创设—问题设计—探究活动”的教学过程，精心设计问题链，强调在深刻理解基础之上的融会贯通、灵活运用，让学生掌握原理、内化方法、举一反三，引导学生主动探究，达到实现深度学习的目的.

参考文献

［1］  教育部教育考试院.2023年高考数学全国卷试题评析[EB/OL]. （2023-06-07）[2023-06-08].https：//mp.weixin.qq.com/s/7SgNZ_RKg7V4FGJvbh_w9g.

［2］  周威.高考导向下的数学复习教材回归策略浅谈[J].数学通讯，2020（20）：43-45.

作者简介  周威（1985—），男，中学一级教师，基础数学硕士；湖北省恩施州教育科学研究院高中数学教研员，恩施州高中数学教学指导委员会秘书;研究方向为教育评估与高中数学教育；发表论文80余篇.